Глава 3. Механика в задачах

§ 3.1

Вращение и закон сохранения энергии

Рассмотрим задачу 3.1. Тело массой m соскальзывает без трения с верхушки вертикально поставленного обруча радиусом R. С какой силой оно будет давить на обруч, проходя точку, высота которой меньше высоты верхушки обруча на h? Начальная скорость тела на вершине обруча равна нулю.

Рис.3.1.1

Студент: – Начнём с расстановки сил. В данном случае их две: сила тяжести G и сила реакции опоры N. Дальше я найду равнодействующую этих сил и разложу ее на составляющие: вдоль радиуса и по касательной к окружности.

Автор: – Всё правильно. Однако проще не искать равнодействующую, а сразу разложить силы, приложенные к телу, на два указанных Вами направления. Тем более что разлагать придется только одну силу тяжести.

Студент: – Выполню такое разложение на рис.3.1.1. Сила G₁ обусловливает тангенциальное ускорение и нас не интересует. Равнодействующая сил G₂ и N вызывает центростремительное ускорение, т. е.

G₂ – N=mV²/R.

Автор: – Вы знаете, что, находясь на высоте h, тело обладает потенциальной энергией mgh, которая при падении тела перейдет в кинетическую mV²/2. Воспользуйтесь этим свойством.

Студент: – mgh=mV²/2. Потенциальную энергию отсчитываем от точки А рис.3.1.1. Учитывая, что G₂ = mgcosα=mg(R–h)/R, получаем

Мg(R–h)/R – N=2mgh/R.

Искомая сила давления тела на обруч равна по модулю N в соответствии с третьим законом Ньютона

◄N= mg(R–3h)/R►.

Автор: – Теперь найдите точку, в которой тело оторвется от обруча.

Студент: – А как написать уравнение отрыва?

Автор: – Специального уравнения писать не нужно. Точка отрыва соответствует крайнему случаю, когда сила давления тела на обруч уменьшается до нуля. Поэтому надо приравнять N нулю и решить полученное уравнение относительно переменной h.

Студент: – Сразу видно, что ◄h=R/3►.

Автор: Это правильный ответ. Разберем следующую задачу 3.2.

Телу сообщают начальную скорость V₀, чтобы оно смогло попасть из точки А в точку В. Предполагаются два варианта пути от А к В (рис.3.1.2). В обоих случаях тело должно преодолеть одну и ту же высоту Н, но по-разному. Найти минимальную начальную скорость для обоих случаев. Трения нет.

Рис.3.1.2

Студент: – Я думаю, что в обоих случаях минимальная скорость должна быть одна и та же. Телу надо преодолеть одну и ту же высоту, трения нет, и от пути ничего не зависит. Значит, скорость вычислим из закона сохранения энергии так: mgH=mV₀²/2. Откуда V₀ =.

Автор: – Это неправильный ответ. В первом случае тело в высшей точке будет иметь скорость V, соответствующую центростремительному ускорению, которое создается равнодействующей силы тяжести и силы реакции опоры. Поскольку рассматривается задача на минимум, то следует считать, что в верхней точке окружности давление на опору исчезает, а следовательно, и реакция опоры сводится к нулю. При этом на тело действует только сила тяжести, которая и сообщает ему центростремительное ускорение, т. е.

mg=mV²/R, где R=Н/2.

Добавим к динамическому равенству энергетическое соотношение mV₀²/2= mV²/2+ mgH , получаем, что минимальная начальная скорость равна ◄V₀=►.

Во втором случае частица может проходить верхнюю точку траектории при скорости, бесконечно близкой к нулю, так что можно ограничиться энергетическими соображениями. И этот результат Вы уже получали.

◄V₀ =►.

Студент: – Я понял, что в первом случае, если бы тело не имело в верхней точке скорости, то оно просто свалилось бы вниз.

Автор: – Да, если бы в первом случае тело имело скорость V₀=, то оно "не дотянуло" бы до верхушки обруча и оторвалось бы от опоры несколько раньше. Найдите, пожалуйста, эту высоту отрываh.

Студент: – В точке отрыва реакция опоры равна нулю. Значит, на частицу действует только сила тяжести G. Разложим ее на составляющие вдоль радиуса (mgcosα) и перпендикулярно ему (mgsinα), как показано на рис.3.1.2. Составляющая вдоль радиуса сообщает телу центростремительное ускорение

mgcosα= mV₁²/R, где V₁– скорость тела в точке отрыва.

Воспользуемся энергетическим равенством

mV₀²/2= mV₁²/2+mgh.

Учитывая, что cosα=(h–R)/R, получаем

mg(h–R)= mV₀² –2 mgh.

Отсюда находим

h=( 2V₀²+gH)/(6g). (3.1)

Подставляя V₀=, получим искомый результат:

h =5Н/6.

Автор: – Все правильно. Замечу, что, используя выражение (3.1), можно найти такую начальную скорость V₀ , которая позволила бы телу описать мертвую петлю. Для этого надо приравнять h=H. Тогда

Н=(2V₀²+gH)/(6g),

откуда следует уже известный нам результат

V₀=.

Студент: – Правильно ли я понял, что в самой верхней точке мертвой петли тело не отрывается, а, пройдя эту точку, продолжает движение по окружности? Можно даже сказать, что тело оторвалось как бы на одно мгновение.

Автор: – Да вы правы.

История.

На экзамене по физике профессор пишет уравнение и спрашивает студента:

– Что такое ?

– Постоянная планки!

– А ?

– Высота этой планки.

§ 3.2