Закон сохранения импульса

Импульс – одна из самых фундаментальных характеристик физической системы. Начнем с рассмотрения материальной точки. Импульсом Р материальной точки массой m, движущейся со скоростью V, называется произведение mV:

Р= mV.

Второй закон Ньютона можно переписать через изменение импульса. Действительно, ∆Р=m∆V.

Если на тело действует постоянная сила, то

F=ma=m∆V/∆t=∆Р/∆t.

Видим, что скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей всех сил. При постоянной силе F промежуток времени ∆t можно взять любым. Поэтому для изменения импульса частицы за это время справедливо:

∆Р=mV–mV₀=F∆t.

Величину, стоящую в правой части, называют импульсом силы.

Понятие импульса становится особенно содержательным, когда оно применяется к системе взаимодействующих материальных точек. Полным импульсом Р системы частиц называется векторная сумма импульсов отдельных частиц в один и тот же момент времени:

Р=m₁V₁ + m₂V₂ + m₃V₃ + … .

К закону сохранения импульса системы взаимодействующих частиц можно прийти непосредственно из второго и третьего законов Ньютона. Силы, действующие на каждую частицу, разобьем на две группы: внутренние и внешние. Внутренние силы – это силы, с которыми частицы действуют друг на друга. Внешняя сила – это сила, с которой на какую-то частицу действуют внешние тела, не входящие в рассматриваемую нами совокупность частиц.

Уравнение движения для отдельной частицы примет вид:

р'=F + f_{внут ,}

если сложить все подобные уравнения, записанные для всех участников движения выбранной нами системы, то получим

Р ' = F₁ + F₂ + F₃ +…= F_рез .

Все внутренние силы в правой части уравнения будут встречаться парами. А в соответствии с третьим законом Ньютона эти пары обратятся в ноль.

Мы получили важное свойство системы частиц.

Скорость изменения полного импульса системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на данные частицы.

Отсюда вытекает следствие, которое называют законом сохранения импульса. В замкнутой системе, где внешнее воздействие отсутствует, полный импульс сохраняется независимо от того, какие при этом возникают внутренние силы. Полный импульс не меняется, если действующие на систему силы взаимоуничтожаются.

Удобно движение совокупности частиц представить как движение одной частицы с импульсом, равным суммарному импульсу системы, и массой, равной сумме масс частиц.

Скорость такой псевдочастицы равна

V_ц=P/M,

где Р=m₁V₁ + m₂V₂ + m₃V₃ + …; M= m₁ + m₂ + m₃ + … .

У такой псевдочастицы можно определить положение, т. е. радиус-вектор. Это, конечно, абстрактная точка, т. е. частиц там может и не быть, но она полезна при решении задач. Эту точку называют центром масс системы. По определению, он находится так:

R=( m₁R₁ + m₂R₂ + m₃R₃ + …) / (m₁ + m₂ + m₃ + …).

Центр масс характеризует не только положение, но и движение системы частиц как целого. Скорость V_ц центра масс определяется равенством

V_ц = R'(t).

Если импульс системы сохраняется, то центр масс движется прямолинейно и равномерно, независимо от внутренних столкновений частиц системы.

История.

Диалог Ангела с Богом.

– Господи, физики синтезировали еще один трансурановый элемент. Как будем реагировать?

– Добавим еще один нелинейный член в Истинное Уравнение Единого Поля.

Вопросы и задания

2.11.1. Почему центр масс трубки находится посередине, а для вашей ноги это не так?

2.11.2. Покажите схематично на рисунке, как меняется положение центра масс вашего тела, когда вы поднимаетесь утром с кровати и садитесь на нее, не очень спеша в колледж на первую пару.

2.11.3. Станьте у края открытой двери так, чтобы этого никто не видел. Ноги поставьте по обе стороны двери, а живот, нет, не выпячивайте, а слегка прикоснитесь им к двери. Кончиком носа также дотроньтесь до края двери. Попытайтесь стать на цыпочки, не отрывая от двери ни носа, ни живота. Ну, как, получилось?

2.11.4. Почему труднее сесть из лежачего положения, когда ваши колени согнуты, чем когда они вытянуты вперед?

2.11.5. Почему практически невозможно подняться со стула непосредственно из положения «с прямой спиной», а необходимо предварительно наклониться вперед?

2.11.6. Объясните, почему однородный прямоугольный брусок можно поместить на стол только так, чтобы над столом выступало не больше половины его длины?

2.11.7. Если центр масс тела может двигаться только под действием внешней силы, то как же внутренняя сила, развиваемая двигателем, разгоняет не только «Мерседес» и даже «Жигули»?

2.11.8. Каким образом можно повернуть движение ракеты, когда космонавты захотят домой?

2.11.9. Может ли тело иметь импульс и не иметь при этом энергии? А наоборот?

2.11.10. Мы много говорили о законе сохранения импульса. Но оглянитесь вокруг. Оглянулись? Все движущиеся относительно вас тела, в конце концов, остановятся. Как быть с этим законом?

2.11.11. Два шарика массами М₁ и М₂, соединенные пружиной, медленно разводят в стороны. Пружина при этом растянулась. Тела отпускают. Опишите движение шариков. Трения нет.

2.11.12. Ракета (китайская) при неудачном испытании сначала двигалась по параболической траектории и внезапно взорвалась. Что можно сказать о движении системы осколков?

2.11.13. Есть два тела. Одно легкое, другое тяжелое. Известно, что у них, тем не менее, одинаковая кинетическая энергия. Сравните их импульсы.

2.11.14. Что происходит с импульсом студента, когда он спрыгивает с перил парадного входа колледжа?

2.11.15. Вы наблюдали рыбок в аквариуме? Откуда они «берут» свой импульс?

2.11.16. Почему, когда вы отпускаете надутый шарик, он начинает хаотически летать по комнате?

2.11.17. Объясните принцип действия «подушки безопасности» в автомобиле. Почему она уменьшает возможность получения травмы, хотя импульс человека все равно меняется с начального до нулевого?

2.11.18. В каком случае телу будет передаваться больший импульс: когда приложенная сила мала или когда она велика?

2.11.19. Какой вариант столкновения автомобилей более опасный для пассажиров: когда автомобили разлетаются в разные стороны или когда они, сцепившись, продолжают свое движение?

2.11.20. Объясните, каким образом центр масс может оставаться в покое, если две сталкивающиеся частицы двигаются?

2.11.21. Можно ли выбрать систему отсчета, в которой центр масс двух сталкивающихся тел движется со скоростью, превышающей величину скорости каждого из тел?

Задачи

2.11.22. Девушка стоит на коньках лицом к юноше, который скользит к ней со скоростью 2 м/с. Её масса – 50 кг, его – 70 кг. Если они обнимутся (и не будут тормозить коньками), чему будет равна их общая скорость?

2.11.23. На хоккейном столе шайба, скользящая со скоростью 4 м/с, сталкивается с неподвижной шайбой такой же массы. Первая шайба отскакивает под углом 30^о к первоначальному направлению со скоростью V₁, вторая шайба отлетает под углом 60^о к тому же направлению со скоростью V₂. Чему равны значения V₁ и V₂?

2.11.24. В лобовом столкновении протон с относительной массой 1, движущийся со скоростью 3·10⁷ м/с, сталкивается с неподвижным ядром атома гелия, относительная масса которого 4, и отскакивает точно назад со скоростью 1,8·10⁷ м/с. Чему равна скорость ядра гелия?

2.11.25. При радиоактивном распаде урана альфа-частица, имеющая массу 4 а. е., испускается со скоростью 1,5·10⁷ м/с. Чему равна скорость отдачи остающегося атома тория, масса которого составляет 234 а. е.?

2.11.26. Ракетный корабль испускает раскаленные газы со скоростью 2000 м/с относительно корабля. Чему равна результирующая тяга, т. е. действующая на ракету сила, если каждую секунду отбрасывается масса 100 кг?

2.11.27. Мальчик массой 22 кг, бегущий со скоростью 2,5 м/с, вскакивает сзади на платформу массой 12 кг. Чему равна результирующая скорость платформы и мальчика?

2.11.28. Мяч массой 1,8 кг, двигавшийся со скоростью 6,5 м/с, под прямым углом ударяется в стену и отскакивает со скоростью 4,8 м/с. Чему равен импульс силы, воспринятый мячом?

2.11.29. Платформу массой 12 кг в течение 1,5 с толкают с силой 7,9 Н, затем в течение 1,2 с – с силой 4,5 Н и затем в течение 2,0 с – с силой 10,0 Н. Чему равен полный импульс силы, сообщенный платформе? Чему равно изменение скорости платформы?

2.11.30. Допустим, что ниже приведены графики зависимости силы от времени, создаваемой при ударе каратистом и боксером. Чему равен импульс силы, сообщаемый в каждом из этих случаев? Подумайте, какой из этих ударов будет более опасным? Какой из ударов заставит вас отлететь через всю комнату? Какой удар может сломать кость?

2.11.31. Теннисный мяч массой 50 г ударяется в ракетку перпендикулярно её плоскости. Его скорость равна 10 м/с до и после отскока. Приложенная к мячу сила линейно возрастает до наибольшего значения в течение 0,01 с и затем линейно уменьшается до нуля в течение следующей 0,01 с. Чему равна средняя сила, с которой ракетка действует на мяч? Чему равна максимальная сила, с которой ракетка действует на мяч?

2.11.32. Какая сила нужна для ускорения за 5 с ракеты массой 30 кг из состояния покоя до скорости 30 м/с?

2.11.33. Винтовка массой 5 кг, подвешенная на шнурах, выстреливает из дула пулей (m_пули =10 г) со скоростью 520 м/с. Чему равна скорость отдачи винтовки?

2.11.34. Четыре человека стоят друг за другом на длинной доске, лежащей на льду. Все они по очереди спрыгивают с доски, отталкиваясь от ее конца, со скоростью 2 м/с относительно доски. Масса каждого равна 60 кг, масса доски 10 кг. Чему равна конечная скорость доски?

2.11.35. Вы катитесь на велосипеде по инерции со скоростью 5 м/с. Ваша масса вместе с велосипедом составляет 70 кг. Вы наклоняетесь и подхватываете лежащий на земле рюкзак массой 15 кг. Чему станет равна ваша скорость? Если вы подхватываете его в течение 0,1 с, какую среднюю силу развивает ваша рука?

2.11.36. Сила тяги ракеты сразу после отрыва от Земли равна 1,8·10⁶ Н. Если скорость выхлопа составляет 2500 м/с, чему равен расход массы продуктов сгорания?

2.11.37. Пули выстреливают из пулемета со скоростью 800 м/с, попадают в стальную мишень. Масса каждой пули – 20 г. Скорость стрельбы – 20 выстрелов в секунду. Если каждая пуля отскакивает назад со скоростью 200 м/с, чему равна средняя по времени сила, с которой действует на мишень пулеметная очередь?

2.11.38. Молоток массой 1 кг, движущийся со скоростью 3 м/с, ударяет по гвоздю. Гвоздь вошел в твердое дерево и продвигается на очень небольшое расстояние. Молоток отталкивается с малой скоростью. Электронный прибор для измерения промежутков времени показывает, что соприкосновение молотка с гвоздем длится примерно 0,02 с. Оцените среднее значение силы, действующей на гвоздь во время соприкосновения с молотком.

2.11.39. Фирма, изготовляющая пулеметы, пишет в своей рекламе: «Наш пулемет настолько эффективен, что способен держаться в воздухе под действием направленного вниз непрерывного потока выпускаемых пуль». Воспользовавшись приведенными ниже данными, выясните, какой темп стрельбы у пулемета. Масса пулемета 25 кг, масса каждой пули 0,1 кг, скорость пули при вылете 1300 м/с.