umm_1943
.pdf
Вариант 5
1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость
2 xdx
∫1 x2 −1 .
2.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4 − x2 ; y = x2 − 2x. Построить чертеж.
3.Найти площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярной системе координат ρ = 4cosφ.
4. Найти длину дуги кривой y = x3 на промежутке 0 ≤ x ≤ 4 .
5. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y = x2 + x; y = 0 . Построить чертеж.
1 |
(x +3 |
|
6. Интеграл ∫0 |
2)3 dx вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница и |
приближенно по формуле прямоугольников. Отрезок интегрирования разбить на 10 частей. Все вычисления проводить, сохраняя четыре знака после запятой. Приближенное значение интеграла округлить до третьего десятичного знака. Найти абсолютную и относительную погрешность результата вычислений.
Вариант 6
1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость
∫5 |
xdx2 |
. |
3 |
x −9 |
|
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x2 + y2 =9; y = x +3; y = 0; x ≤ 0. Построить чертеж.
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярной системе координат ρ =3cos 2φ .
4. Найти длину дуги кривой x =8sin t + 6cost; |
на промежутке |
0 ≤t ≤ |
π . |
y = 6sin t −8cost |
|
|
2 |
5. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y = ex +e−x ; x = 0; x =1; y = 0 . Построить чертеж.
6. Интеграл ∫4 |
(x +1)dx вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница и |
0 |
|
приближенно по формуле прямоугольников. Отрезок интегрирования разбить на 10 частей. Все вычисления проводить, сохраняя четыре знака после запятой. Приближенное значение интеграла округлить до третьего десятичного знака. Найти абсолютную и относительную погрешность результата вычислений.
20
Вариант 7
1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость
2 |
(x −dx2)2 . |
∫0 |
2.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = (x −2)2 ; y = x. Построить чертеж.
3.Найти площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярной сис-
теме координат ρ = 4sin 2φ . |
|
|
|
|
|
4. Найти длину дуги кривой |
|
|
3 |
t; на промежутке 0 ≤t ≤ |
π . |
x = a cos |
|
||||
|
y = asin |
3 |
t |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
5. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y = 2x + 2; y = x +1. Построить чертеж.
6. Интеграл ∫3 |
1 + |
|
x |
dx вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница и |
|
|
x |
2 |
|
||
1 |
|
|
|
|
|
приближенно по формуле прямоугольников. Отрезок интегрирования разбить на 10 частей. Все вычисления проводить, сохраняя четыре знака после запятой. Приближенное значение интеграла округлить до третьего десятичного знака. Найти абсолютную и относительную погрешность результата вычислений.
Вариант 8
1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость
∞ dx .
∫1 x2 +2x
2.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 −2x + 2; y = 2 + 4x − x2. Построить чертеж.
3.Найти площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярной сис-
теме координат ρ = 2(1 −sinφ) .
x2 ln x
4.Найти длину дуги кривой y = 4 − 2 на промежутке 1 ≤ x ≤ e .
5.Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, огра-
ниченной линиями y =3x − x2 ; y = 2 . Построить чертеж.
6. Интеграл ∫3 |
x3 |
+1 |
dx вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница и |
x |
2 |
||
1 |
|
|
приближенно по формуле прямоугольников. Отрезок интегрирования разбить на 10 частей. Все вычисления проводить, сохраняя четыре знака после запятой. Приближенное значение интеграла округлить до третьего десятичного знака. Найти абсолютную и относительную погрешность результата вычислений.
21
Вариант 9
1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость
|
|
|
|
∫3 |
4 |
xdx2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x −4 |
|
|
|
|
2. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями |
|
|
|||||||
y = |
x; y = −x2 ; |
x = 4. Построить чертеж. |
|
|
|
|
||||
3. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярной сис- |
|||||||||
теме координат |
ρ = 2(1 +sinφ) . |
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
Найти длину дуги кривой y = ln sin x |
на промежутке |
π |
≤ x ≤ π . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
5. |
Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, огра- |
|||||||||
ниченной линиями y = x2 ; y2 = x . Построить чертеж. |
|
|
||||||||
6. |
Интеграл ∫4 |
(x + |
1 |
)dx вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница |
||||||
3 2 |
||||||||||
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
и приближенно по формуле прямоугольников. Отрезок интегрирования разбить на 10 частей. Все вычисления проводить, сохраняя четыре знака после запятой. Приближенное значение интеграла округлить до третьего десятичного знака. Найти абсолютную и относительную погрешность результата вычислений.
Вариант 10
1. |
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость |
||||
|
∫2 |
dx |
1) |
2 . |
|
|
0 3 (x − |
|
|
||
2. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями |
|
|||
y = 16 ; y =17 − x2 ; x > 0; y > 0. Построить чертеж. |
|
||||
x2 |
|
|
|
|
|
3. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярной сис- |
||||
теме координат ρ = (1 −sin 2φ) . |
|
|
|
|
|
4. |
Найти длину дуги кривой y = |
1 −ln cos x на промежутке 0 ≤ x ≤ |
π . |
||
|
|
|
|
|
4 |
5. |
Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, огра- |
||||
ниченной линиями y = 2x − x2 ; y = 0 . Построить чертеж.
6. Интеграл 17∫4 x −1dx вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница и
1
приближенно по формуле прямоугольников. Отрезок интегрирования разбить на 10 частей. Все вычисления проводить, сохраняя четыре знака после запятой. Приближенное значение интеграла округлить до третьего десятичного знака. Найти абсолютную и относительную погрешность результата вычислений.
22
Вариант 11
1.Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость
∞dx
∫x2 + 4x +5 .−∞
2.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 4 y =8x − x2 ; 4 y = 6 + x. Построить чертеж.
3.Найти площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярной сис-
теме координат ρ = sin 2φ . |
|
|
4. Найти длину дуги кривой y = 1 − x2 +arcsin x на промежутке |
0 ≤ x ≤ |
7 . |
|
|
9 |
5. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, огра-
ниченной линиями y = |
(x −1)3 ; x = 2. |
||
6. Интеграл ∫2 |
|
x |
dx вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница и |
x |
2 |
||
0 |
+ 2 |
|
|
приближенно по формуле прямоугольников. Отрезок интегрирования разбить на 10 частей. Все вычисления проводить, сохраняя четыре знака после запятой. Приближенное значение интеграла округлить до третьего десятичного знака. Найти абсолютную и относительную погрешность результата вычислений.
Вариант 12
1.Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость
∞xdx
∫(x2 +1)3 .3
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями xy = 20; x2 + y2 = 41; x ≥ 0; y ≥ 0. Построить чертеж.
3. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярной сис- |
|||
теме координат ρ = |
cos 2φ . |
|||
4. |
Найти длину |
дуги кривой заданной в полярной системе координат |
||
ρ =1 +cosϕ . |
|
|
||
5. |
Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, огра- |
|||
ниченной линиями y =1 −cos x; y = 0; x =π . Построить чертеж. |
||||
|
5 |
|
2 |
|
6. |
Интеграл ∫1 |
x |
dx вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница и |
|
2 + x3 |
||||
приближенно по формуле прямоугольников. Отрезок интегрирования разбить на 10 частей. Все вычисления проводить, сохраняя четыре знака после запятой. Приближенное значение интеграла округлить до третьего десятичного знака. Найти абсолютную и относительную погрешность результата вычислений.
23
Вариант 13
1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость
∞ dx
∫2 x ln x .
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2x + 2; y = x +1. Построить чертеж.
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярной системе координат ρ = 3 cosφ; ρ =sinφ .
x =5(t −sin t);
4.Найти длину дуги кривой на промежутке 0 ≤t ≤π .
y =5(1 −cost)
5.Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, огра-
ниченной линиями y = 6x ; y =5 − x . Построить чертеж.
6. Интеграл ∫3 x 3 3 − x2 dx вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница
0
и приближенно по формуле прямоугольников. Отрезок интегрирования разбить на 10 частей. Все вычисления проводить, сохраняя четыре знака после запятой. Приближенное значение интеграла округлить до третьего десятичного знака. Найти абсолютную и относительную погрешность результата вычислений.
Вариант 14
1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость
∞∫arctgx . 0 1 + x2 dx
2.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 14 x2 ; y =3x − 12 x2. Построить чертеж.
3.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярной
системе координат ρ = 2cosφ; |
ρ = 4cosφ; |
π |
≤φ ≤ |
π . |
|
|
6 |
|
3 |
4. Найти длину дуги кривой |
y = ln(x2 −1) |
на промежутке 2 ≤ x ≤3 . |
||
5. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями x = y; x = 2 y; y = 4 . Построить чертеж.
6. Интеграл ∫8 |
(x −3)3 dx вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница и |
3 |
|
приближенно по формуле прямоугольников. Отрезок интегрирования разбить на 10 частей. Все вычисления проводить, сохраняя четыре знака после запятой. Приближенное значение интеграла округлить до третьего десятичного знака. Найти абсолютную и относительную погрешность результата вычислений.
24
Вариант 15
1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость
3π |
|
|
|
|
4 |
dx |
|
|
|
∫π |
|
. |
||
cos2 |
x |
|||
− |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x−2 ; y = x; x = 2. Построить чертеж.
3.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярной
системе координат ρ2 =16sin 2φ; ρ = 2 2 (вне окружности).
4. Найти длину дуги кривой x = 4(cost +t sin t); на промежутке 0 ≤t ≤ 2π .
y = 4(sin t −t cost)
5. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y =3x2 +1; y =3x +7 . Построить чертеж.
1 |
1 − (x +1)3 |
|
||
6. Интеграл ∫ |
|
|
dx |
вычислить точно по формуле Ньютона- |
(x +1) |
2 |
|||
0 |
|
|
|
|
Лейбница и приближенно по формуле прямоугольников. Отрезок интегрирования разбить на 10 частей. Все вычисления проводить, сохраняя четыре знака после запятой. Приближенное значение интеграла округлить до третьего десятичного знака. Найти абсолютную и относительную погрешность результата вычислений.
Вариант 16
1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость
0 dx
−∫4 (x + 4)4 .
2.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = −x2 +6x −5; y = 2x −5. Построить чертеж.
3.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярной
системе координат ρ = 2(1−cosφ); ρ = 2; (ρ ≤ 2) .
4. Найти длину дуги кривой y = arcsin(e−x ) на промежутке 0 ≤ x ≤1.
5. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями x2 − y = 0; 2x − y +3 = 0 . Построить чертеж.
2 |
(x +1 |
|
6. Интеграл ∫0 |
4)3 dx вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница и |
приближенно по формуле прямоугольников. Отрезок интегрирования разбить на 10 частей. Все вычисления проводить, сохраняя четыре знака после запятой. Приближенное значение интеграла округлить до третьего десятичного знака. Найти абсолютную и относительную погрешность результата вычислений.
25
Вариант 17
1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость
1 dx .
∫0 3 x
2.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = −x2 ; x + y + 2 = 0. Построить чертеж.
3.Найти площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярной системе координат ρ = 2sin 3φ .
4. Найти длину дуги кривой x = −ln cos y на промежутке 0 ≤ y ≤ |
π . |
|||
|
|
|
|
3 |
5. |
Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, огра- |
|||
ниченной линиями 2 y = x2 ; 2x + 2 y −3 = 0 . Построить чертеж. |
|
|||
6. |
Интеграл ∫1 |
x +1 |
dx вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница и |
|
3 4 |
||||
|
0 |
x |
|
|
приближенно по формуле прямоугольников. Отрезок интегрирования разбить на 10 частей. Все вычисления проводить, сохраняя четыре знака после запятой. Приближенное значение интеграла округлить до третьего десятичного знака. Найти абсолютную и относительную погрешность результата вычислений.
Вариант 18
1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость
∫2 |
dx |
|
|
. |
3 (x − |
1) |
2 |
||
0 |
|
|
2.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями xy = 6; x + y −7 = 0. Построить чертеж.
3.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярной
системе координат ρ = (1 +cosφ); ρ =3cosφ; |
(ρ ≥1+cosφ) . |
||
4. Найти длину дуги кривой y = |
1 |
(ex +e−x ) |
на промежутке −a ≤ x ≤ a; при |
(a > 0) . |
2 |
|
|
|
|
|
|
5. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y = xex ; y = 0; x =1. Построить чертеж.
6. Интеграл ∫3 |
(x + |
2 |
)dx вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница и |
3 |
|||
1 |
|
x |
|
приближенно по формуле прямоугольников. Отрезок интегрирования разбить на 10 частей. Все вычисления проводить, сохраняя четыре знака после запятой. Приближенное значение интеграла округлить до третьего десятичного знака. Найти абсолютную и относительную погрешность результата вычислений.
26
Вариант 19
1.Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость
∞(x −2)dx
∫x(x +1) .1
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y = x3; y = x; y = 2x. Построить чертеж. |
|
|||||||
3. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярной |
|||||||
системе координат |
ρ = 2 cos 2φ; |
ρ = |
2; (ρ ≥ |
2) . |
||||
4. |
Найти длину дуги кривой |
y = |
(3 − x) x , |
заключенной между точками |
||||
пересечения кривой с осью Ox. |
|
3 |
|
|||||
|
|
|
||||||
5. |
Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, огра- |
|||||||
ниченной линиями y = ln x; y = 0; |
x = e . Построить чертеж. |
|||||||
6. |
Интеграл ∫3 |
(x |
2 + |
5 |
)dx вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница и |
|||
4 |
||||||||
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
приближенно по формуле прямоугольников. Отрезок интегрирования разбить на 10 частей. Все вычисления проводить, сохраняя четыре знака после запятой. Приближенное значение интеграла округлить до третьего десятичного знака. Найти абсолютную и относительную погрешность результата вычислений.
Вариант 20
1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость
∫2 |
dx |
. |
2 |
||
1 |
x −1 |
|
2.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 + 4x; x − y + 4 = 0. Построить чертеж.
3.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярной
системе координат ρ = 2sinφ; |
ρ =1; |
(ρ ≥1) . |
|
|
|
||
4. Найти длину дуги кривой |
|
|
3 |
t; на промежутке |
0 ≤t ≤ |
π |
. |
x = 2cos |
|
2 |
|||||
|
y = 2sin3 t |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y = ln x; y = 0; x = e . Построить чертеж.
6. Интеграл ∫2 |
x5 dx вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница и при- |
0 |
|
ближенно по формуле прямоугольников. Отрезок интегрирования разбить на 10 частей. Все вычисления проводить, сохраняя четыре знака после запятой. Приближенное значение интеграла округлить до третьего десятичного знака. Найти абсолютную и относительную погрешность результата вычислений.
27
Вариант 21
1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость
∫1 |
dx |
. |
|
x(x +1) |
|||
0 |
|
2.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y2 −2x −3 = 0; x + y = 0. Построить чертеж.
3.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярной
системе координат ρ = 6cos3φ; |
ρ =3; (ρ ≥3) . |
|
4. Найти длину дуги кривой |
y = ln(2cos x) на промежутке 0 ≤ x ≤ |
π . |
|
|
3 |
5. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями y =1 − x2 ; x + y =1. Построить чертеж.
6.Интеграл ∫6 ( x + 32 )dx вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница
1x
иприближенно по формуле прямоугольников. Отрезок интегрирования разбить
на 10 частей. Все вычисления проводить, сохраняя четыре знака после запятой. Приближенное значение интеграла округлить до третьего десятичного знака. Найти абсолютную и относительную погрешность результата вычислений.
Вариант 22
1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость
π
∫2 ctgxdx .
0
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 4 + x; x +3y = 0. Построить чертеж.
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярной
системе координат ρ =3sinφ; ρ =5sinφ; |
π |
≤φ ≤ |
π . |
|
4 |
|
2 |
4. Найти длину дуги кривой заданной в полярной системе координат
ρ=1 +sinϕ .
5.Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, огра-
ниченной линиями y2 = 2x; y = ±2; x = 0 . Построить чертеж.
6. Интеграл ∫9 |
( |
x |
+ |
4 |
)dx |
вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница и |
|
x |
|||||
1 |
4 |
|
|
|
||
приближенно по формуле прямоугольников. Отрезок интегрирования разбить на 10 частей. Все вычисления проводить, сохраняя четыре знака после запятой. Приближенное значение интеграла округлить до третьего десятичного знака. Найти абсолютную и относительную погрешность результата вычислений.
28
Вариант 23
1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость
1 |
3 2dx− 4x . |
∫0 |
2.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = (x +1)2 ; y2 = x +1. Построить чертеж.
3.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярной
системе координат ρ = 2sin(φ − |
π ); |
φ = π ; φ =π . |
|
3 |
2 |
4. Найти длину дуги кривой |
x = 2(cost +t sin t); на промежутке 0 ≤t ≤ 2π . |
|
|
y = 2(sin t −t cost) |
|
5. |
Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, огра- |
|||
ниченной линиями x2 +( y −2)2 =1. Построить чертеж. |
||||
6. |
Интеграл ∫5 |
( 3 x2 + |
4 |
)dx вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница |
4 |
||||
|
3 |
|
x |
|
и приближенно по формуле прямоугольников. Отрезок интегрирования разбить на 10 частей. Все вычисления проводить, сохраняя четыре знака после запятой. Приближенное значение интеграла округлить до третьего десятичного знака. Найти абсолютную и относительную погрешность результата вычислений.
Вариант 24
1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
xdx |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
−1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|||||
2. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями |
|
||||||||||||||
y = x2 +1; y = x; |
|
x = 0; |
x =1. Построить чертеж. |
|
||||||||||||
3. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярной |
|||||||||||||||
системе координат |
ρ = (cos2 φ)−1; |
φ = − |
π ; |
φ = |
π . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
Найти длину дуги кривой x = |
2 |
(t |
−sin t); |
на промежутке 0 ≤t ≤ |
π . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(1 |
−cost) |
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
y = |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, огра- |
|||||||||||||||
ниченной линиями |
x + y =1; |
y ≥ 0; |
|
x ≥ 0 . |
|
|
||||||||||
6. |
Интеграл ∫3 |
( |
x2 + |
x |
)dx вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница |
|||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и приближенно по формуле прямоугольников. Отрезок интегрирования разбить на 10 частей. Все вычисления проводить, сохраняя четыре знака после запятой. Приближенное значение интеграла округлить до третьего десятичного знака. Найти абсолютную и относительную погрешность результата вычислений.
29