Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

матем 1 уск 2009

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

490.79 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

В формуле (8.1) отрезок [a, b] называется отрезком интегрирования, а числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. Переменная x называется переменной интегрирования.

Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Пусть f (x) ≥ 0 на отрезке [a, b] (см. рис. 6.). Фигура АВСД, снизу ограниченная осью Ox , сверху графиком функции y = f (x) и прямыми x = a, x = b, называ-

ется криволинейной трапецией. Определённый интеграл ∫ f (x) dx равен

площади криволинейной трапеции ABCD .

Основные свойства определённого интеграла. Пусть функции f (x) и g(x) интегрируемы на рассматриваемых отрезках. Тогда выполняются следующие свойства для интегралов:

	b		b	b
1.	∫( f (x) ± g(x)) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g(x) dx ,
	a		a	a
	b		b
2.	∫k f (x) dx = k ∫ f (x) dx ,			(k = const) .
	a		a
	b		a
3.	∫ f (x) dx = − ∫ f (x) dx .
	a		b
	b	c	b
4.	∫ f (x) dx = ∫		f (x) dx + ∫	f (x) dx , где c [a;b].
	a	a	c

Формула Ньютона-Лейбница. Если F(x) – какая-либо первообразная функции f (x) , то

∫ f (x) dx = F(x)

b a

= F(b) − F(a) .

(8.2)

Эта формула сводит задачу вычисления определённого интеграла к отысканию первообразной, т. е. к нахождению неопределённого интеграла.

e ln2 x

ln3 x

ln3 e

ln3 1

Пример. ∫

dx =∫ln2 x d(ln x) =

1 =

−

− 0 =

Замена переменной в определённом интеграле.

Если дан интеграл

∫ f (x)dx , то при замене x =ϕ(t) нужно заменить не только x на ϕ(t)

и dx на

ϕ′(t)dt , но и поменять пределы формуле

b	x =ϕ(t),
∫ f (x)dx =
a	a =ϕ(α),

интегрирования a и b , согласно следующей

′	dt	β	′
dx =ϕ (t)
b =ϕ(β)		= ∫ f (ϕ(t)) ϕ (t)dt .
		α

После вычисления интеграла не нужно возвращаться к прежней переменной x , так как пределы интегрирования меняются с учетом замены переменной.

		3		x dx								2	−1,		dx = 2t dt			2	2t(t	2	−1) dt =
	Пример. ∫			x dx			= t = x +1, x =t						−1,		dx = 2t dt			= ∫	2t(t	t	−1) dt =
		0			x +1			при		x = 0 t =1, при x =3 t = 2								1		t
2	2		t		3			2	8		1					8
2					3			2

= 2∫(t −1)dt = 2
								1	= 2	− 2	− 2			−1	=		.
				3		−t		1	= 2	− 2	− 2			−1	=	3	.
1				3					3		3					3

Приближённое вычисление определённого интеграла. Довольно час-

то возникают ситуации, когда определённый интеграл затруднительно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница. В этих случаях интеграл можно вычислить приближённо, например, по формуле прямоугольников или по формуле трапеций. Рассмотрим методы приближённого вычисления по этим формулам.

1.Метод средних прямоугольников. Разобьём отрезок [a;b] на n равных

частей длины h = b −n a следующим образом

a = x0 < x1 < x2 <K< xn = b ,

здесь x0 = a, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, K, xn = b .

Определим значение середины каждого интервала xi = xi −1 + xi .

Вычислим значение функции в этих точках:

y1 = f (x1), y2 = f (x2 ), K, yn = f (xn ) .

Тогда значение исходного интеграла будет приближённо равно

b − a

i −1

+ x

I = ∫ f (x)dx ≈

( y1

+ y2

+K+ yn ) =

∑ f

, (8.3)

i =1

2.Метод трапеций. В методе трапеций значения функции вычисляют в

точках	x = a +		b − a	i . А формула трапеций имеет вид
точках	x = a +			i . А формула трапеций имеет вид
	i		n
			n
			b	(x)dx ≈ b − a		y0 + yn	+ y1 + y2 + y3 +K+ yn−1) .
		I = ∫ f			(	y0 + yn		(8.4)
		I = ∫ f			(			(8.4)
			a	n	2

Поскольку значение определённого интеграла вычислено приближённо, следовательно, существует некоторая погрешность вычислений. Дадим понятия относительной и абсолютной погрешностей. Положительное число, заведомо превышающее ошибку приближённого вычисления по абсолютному значению,

называется абсолютной погрешностью, которая вычисляется по правилу

A = Iточное − Iприближ .

Отношение абсолютной погрешности к точному значению интеграла называет-

ся относительной погрешностью и вычисляется по формуле

Q =	A	100% .
	Iточное

Под точным значением интеграла здесь понимается значение интеграла, полученное с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Под приближённым значением интеграла понимается значение, полученное с помощью одной из фор-

мул (8.3), (8.4).

Пример. Вычислить ∫(x +1)2 dx приближенно по формуле прямоуголь-

ников и по формуле трапеций, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Найти абсолютную и относительную погрешности.

Решение. Найдем точное значение интеграла:

	4			2			(x	+1)3				4	1			3		3		1				124
	4			2			(x	+1)3				4	1			3		3		1				124
	∫(x	+1)			dx =							0 =		(5			−1 ) =				(125 −1)		=		≈ 41,333.
	∫(x	+1)			dx =			3				0 =	3	(5			−1 ) =			3	(125 −1)		=	3	≈ 41,333.
	0							3					3							3				3
	Пусть			f (x) = (x +1)2 , тогда разобьем отрезок интегрирования на 10 час-
тей с шагом			h =			4 − 0			= 0.4 и составим таблицу, в которой найдены середины
тей с шагом			h =			10			= 0.4 и составим таблицу, в которой найдены середины
						10
отрезков		xi	=		xi−1 + xi				,	i =1,2,...,10								и	значение				функции			в	этих		точках
отрезков		xi	=						,	i =1,2,...,10								и	значение				функции			в	этих		точках
yi = f (xi ) :						2
yi = f (xi ) :
x	0		0,4				0,8				1,2				1,6				2,0			2,4		2,8		3,2		3,6		4,0
y	1		1,96				3,24				4,84				6,76				9			11,56		14,44		17,64		21,16		25
xi	0,2		0,6				1,0				1,4				1,8				2,2			2,6		3,0		3,4		3,8
xi
yi	1,44		2,56				4				5,76				7,84				10,24			12,96		16		19,36		23,04
yi

Теперь по формуле средних прямоугольников получим:

I = ∫ f (x)dx ≈ b − a ( y1 + y2 +K+ yn ) = 0,4 (1,44 + 2,56 + 4 + 5,76 + 7,84 +

+10,24 +12,96 +16 +19,36 + 23,04) = 0,4 103,2 = 41,28.

Абсолютная погрешность равна A =

Iточное − Iприближ

= 0,053.

Относительная погрешность равна Q

100% =

0,053

100% ≈13% .

Iточное

41,333

По формуле трапеций будем иметь

+ y3 +K+ yn−1 ) = 0,4 (1 + 25 +1,96 + 3,24 +

I = ∫ f (x)dx ≈ b − a ( y0 + yn + y1 + y2

+ 4,84 + 6,76 + 9 +11,56 +14,44 +17,64 + 21,16) = 0,4 103,6 = 41,44.

Абсолютная погрешность равна A =

Iточное − Iприближ

=0,107.

Относительная погрешность для формулы трапеций равна

Q =

100% =

0,107

100% ≈ 25,8% .

Iточное

41,333

Сравнивая полученные результаты, можно сказать, что интеграл, вычисленный по формуле средних прямоугольников, оказался более точным, чем интеграл, вычисленный по формуле трапеций.

Задания для контрольной работы № 2

61–70. Найти предел функции.

61.	а)	lim			x2	+5x −14			,
					x2	+ 6x −16
		x→2
62.	а)	lim	x2 − 2x				,
			5x3			− x2
		x→0
63.	а)	lim		x2		+5x + 6		,
				x2		+ 6x +8
		x→−2
64.	а)	lim		x2		+ 6x +5		,
						+5x + 4
		x→−1 x2

б)

lim			2x		3 − x +1				.
					− x2 + x
x→∞ 4x3
lim	− 2x2 + x −1							.
			x2		−3x
x→∞
lim			2x − x2 −1					.
		4x		2	−3x +	3
x→∞
lim			x4	− x2 −1			.
				−	3x4 +1
x→∞ x2

65.

а)

lim

+ 6x −7

б)

lim

1 − x3 +3x

+5x −

−3x4

x→1 x2

x→∞

66.

а)

lim

x3 −1

б)

lim

−3x3 +3x

+3x −

x3 −3x2

x→1 x2

x→∞

67.

а)

lim

+ 6x − 27

б)

lim

2x3 − x +1

+5x − 24

4x2 − x3

x→3

x→∞ x +

68.

а)

lim

x2 − 4

б)

lim

5x2 − 4x +1

x2 −6x +

x2 +

4x −3

x→2

x→∞

69.

а)

lim

x2 −9

б)

lim

− 2x − 2

+ x −12

− x3

−7

x→3

x→∞ 3x2

70.

а)

lim

x3 +8

б)

lim

8x5

+ 6x2 +1

x2 − 4

4x5

− x3

x→−2

x→∞

71–75. Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента времени t = 0 , определено зависимостью Q = Q(t) (Кл). Найти силу

тока в конце T секунды.

71.	Q = 3t3	− 2t +3 ,	T = 6 .	72.	Q = 4t2 + 6t +1, T = 7 .
73.	Q = t3 / 2 + 4t − 2,		T = 9 .	74.	Q = t4 / 4 +3t 2 − 2t , T = 5.
75.	Q = 5t5	+ 4t2 + 4,	T = 2 .

76–80. Точка М движется так, что за время t(c) от начала движения она проходит расстояние, равное S(t)(м) . Найти скорость точки через T секунд после начала движения.

76.

S(t) =

+ 2t 2

, T = 6 .

77.

S(t) =

2t4

−5t + 4 ,

T = 3.

78.

S(t) =

t 4

+3t2

−3 ,

T = 2 .

79.

S(t) = 5t3

−t + 24 ,

T = 5.

80.

S(t) = t3 + 7t ,

T = 4 .

81–90. Найти производные функций.

81.

а) y = sin3 (x2 − x) ,

б)

y =

ln(x − 2x2 )

в)

y = x tg(2 − x3 ) .

82.	а)	y = cos4 (ln x) ,	б)
83.	а)	y = x5 42 x ,	б)
84.	а)	y = tg4 (x − x2 ) ,	б)
85.	а)	y =sin2 (x − x3 ) ,	б)
86.	а)	y = 52 x+1 x ,	б)
87.	а)	y = ctg2 (x2 − 2) ,	б)
88.	а)	y = (x2 −5) log3 x ,	б)
89.	а)	y = sin2 (1 − x) ,	б)
90.	а)	y = x 4 x −1,	б)

y =	x3 −8		,
	sin(5x)

y =	2x +	1		,
	ln(6 − x2 )

y =		x2				,
		x − x2
y =	e2x −1		,
y =		x2	,
		x2
y =		sin x			,
		x −3
y =		log2 x			,
y =					,
		sin x
y =		e2x			,
y =		x + 3			,
		x + 3
y =		x		,
y =		cos x		,
		cos x
y =		x −1				,
		x +1

в) y = (x4 − 2) ctg(x) .

в) y = tg2 (2 − x3 ) .

в) y = 52x ln(1 −7x3 ) .

в) y =sin x tg(x3 ) .

в) y = ln3 (1 − x) .

в) y = 3x sin(2 − x) .

в) y = 3 (2 − x2 )4 .

в) y = x 6(3x−1) .

в) y =sin2 (x2 + x +1) .

91–100. Записать уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке графика с абсциссой x0 . Сделать чертёж.

91.	y = 2 + 2				x ,
93.	y =sin x ,
95.	y =			1	+1,
			x −1

97.	y = 2			x +3 −1,
99.	y =			2	,
		1		− x

x0 = 4 .			92.	y = 2 − x2 ,	x0 = 2 .
x0	=	π .	94.	y = (x − 2)3 ,	x0 =1.
		4

x0 = 2 .	96.	y =	x2		− 4x	,	x0 = 3 .
					2

x0 =1.	98.	y = x2 + 2x −3,					x0 =1
x0 = −1.	100.	y =		x2	+ 0.5,		x0 = −2 .
			4

101–110. С помощью производной провести исследование функции y = f (x) и построить её график.

101. y =	(x −1)3	− 4x .	102. y =	x3 − 2	.	103. y = x3 −	x4	.
	3
				x		4
			38

104.	y =16x(x −1)3 .						105. y = x2 −		x3	.	106. y =		x2		.
104.	y =16x(x −1)3 .						105. y = x2 −			.	106. y =		x + 2		.
								3					x + 2
107.	y =	x5	− 2x		4 .		108. y =	(x − 2)3			−9x . 109.	y =				2
107.	y =	5	− 2x		4 .		108. y =	3			−9x . 109.	y =		(x		− 2)2
		5						3						(x		− 2)2
110.	y =	x3	+	5x	2	+ 6x .
110.	y =	3	+	2		+ 6x .
		3		2

111–120. Найти неопределённые интегралы.

111.а)

112.а)

113.а)

114.а)

115.а)

116.а)

117.а)

118.а)

119.а)

120.а)

∫(3x −1)4 / 3 dx ,

∫x ex 2 dx ,

∫ 3 (1 − 2x)2 dx ,

∫ (ln x + 2)2 dx , x

ctgx

∫sin2 x dx ,

∫(3 − 4x)12 dx ,

∫sin x cos4 xdx ,

∫ 2dx−5x , ∫ x2 2x3 dx ,

∫4(1−2 x) dx ,

б)	∫ x cos x dx ,	в)
б)	∫ x ln xdx ,	в)
б) ∫(x −1) exdx ,		в)
б)	∫arcsin xdx ,	в)
б)	∫ x sin(x +1)dx ,	в)
б) ∫x e2xdx ,		в)
б)	∫arccos xdx ,	в)
б) ∫ x 3x dx ,		в)
б)	∫ x sin(2x)dx ,	в)
б)	∫x cos 2xdx ,	в)

	dx
∫1 +		1 − x .
∫2 +dx		x .
	x +1
∫	2x −1 dx .
∫		1	x) dx .
	x(1 +
∫		dx	x) .
	x(1 + 2
		dx
∫	x(2 x + 4) .
∫		dx	x) .
	x(1 −

∫ x −x1 dx .

	dx
∫	x −1(1 − x −1) .
	dx
∫	x(2 + x) .

121–125. Интеграл вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница и приближённо по формуле прямоугольников. Указать абсолютную и относительную погрешности приближённого значения.

Примечание. 1. Отрезок [a;b] разбить на 10 частей. Привести таблицу значений функции f (x) в точках разбиения.

2.Промежуточные вычисления вести с четырьмя знаками после запятой. Приближённое значение интеграла дать с округлением до третьего десятичного знака.

3.При решении этой задачи рекомендуется пользоваться вычислительными средствами.

	3	x dx					7				5
121.	∫			.		122.	∫3	x +1dx .			123. ∫(x2 −1)dx .
121.	∫	x2 +	1	.		122.	∫3	x +1dx .			123. ∫(x2 −1)dx .
	1	x2 +	1				−1				0
124.	4	1 − 2		x	dx .	125.	3		2	dx .
124.	∫	3x			dx .	125.	∫(x −1)			dx .
	1	3x					1

126–130. Интеграл вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница и приближённо по формуле трапеций. Указать абсолютную и относительную погрешности приближённого значения.

Примечание. 1. Отрезок [a;b] разбить на 10 частей. Привести таблицу значений функции f (x) в точках разбиения.

3.При решении этой задачи рекомендуется пользоваться вычислительными средствами.

10	− 2x)2 dx .
126. ∫(1	− 2x)2 dx .
0

8 (x +1)2

129.∫ 2 dx .−1

4	x −1	6 ln x
127. ∫	dx .	128. ∫		dx .
127. ∫	dx .	128. ∫	x	dx .
1	x	2	x
3

130.∫(x −3)2 dx .

−2

131–140. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертёж.

131.	y = x +1,	y = x +1.	132.	y = x2 −1,	y = 3.
133.	y = (x +1)2 ,	y = x +3 .	134.	y = 4 − x,	y = 2 −0,5x .
135.	y = 4 − x2 ,	y = x + 2 .	136.	y = −x2 + 2x, y = 2 − x .
137.	y = x2 , y = 4.		138.	y = (x + 2)2 ,	y = x +14.
139.	y = x2 +6,	y = −5x .	140.	y = − x,	y = −x .

Вопросы для подготовки к экзамену в первом семестре

1.Матрицы и действия над ними.

2.Определитель третьего порядка и его вычисление по правилу треугольников.

3.Формула разложения определителя по элементам строки.

4.Правило Крамера для решения систем трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

5.Понятие функции.

6.Линейная функция. Понятие об уравнении прямой.

7. Степенная функция y = xα . Графики функций y = x2 , y = x , y =	1	,
	x

y= ax2 +bx + c .

8.Показательная функция y = ax и её график.

9.Логарифмическая функция y = loga x и её график.

10.Функция y = sin x и её график.

11.Функция y = cos x и её график.

12.Функция y = tg x и её график.

13.Построение графиков путём преобразований графиков основных элементарных функций.

14.Графическое решение уравнений.

15.Понятие предела. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.

16.Конечные пределы и их свойства.

0 , ∞

17. Раскрытие неопределенностей вида .

0 ∞

18.Определение производной функции.

19.Задача о вычислении скорости движения.

20.Уравнение касательной к графику функции.

21.Производные основных элементарных функций.

22.Определение возрастающей и убывающей функции. Нахождение интервалов возрастания и убывания функции.

23.Определение максимального и минимального значений функций.

24.Применение производной к построению графиков функций.

25.Неопределённый интеграл. Таблица интегралов.

26.Свойства неопределённого интеграла.

27.Интегрирование заменой переменной. Метод интегрирования по частям.

28.Понятие определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

29.Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.

Для подготовки к экзамену необходимо изучить материал из [1] приложение §§ 1, 3, 4, 14, 16, 20. Полезно ознакомиться с материалом из [2] гл. 1, гл. 2. Рекомендуется использовать методические пособия [5], [6].

Для выполнения практических заданий на экзамене необходимо:

1.Научиться вычислять определители второго и третьего порядка.

2.Строить графики путём преобразования графиков элементарных функций.

3.Находить предел функции при x →∞ или x → x0 .

4.Находить производные от различных функций, правильно применять правила дифференцирования.

5.Составлять уравнение касательной к графику функции.

6.Находить экстремумы функции и промежутки возрастания и убывания с помощью производной.

7.Находить первообразные методом замены переменной, методом интегрирования по частям.

8.Уметь вычислять определенный интеграл по формуле НьютонаЛейбница.

9.Уметь находить площадь фигуры при помощи определенного интеграла.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.2018319.49 Кб5МАРИНА КАПАРИНА.doc
#
17.05.2015575.08 Кб38маркетинг .pdf
#
17.05.2015185.86 Кб26марущак отформат.doc
#
18.03.2016742.91 Кб50Маршрутные карты.doc
#
17.05.2015518.98 Кб35матан.pdf
#
17.05.2015490.79 Кб26матем 1 уск 2009.pdf
#
17.05.201511.02 Кб18Матем.docx
#
17.05.2015632.36 Кб40математика II 2008 6 лет.pdf
#
17.05.2015457.66 Кб26математика ч 2.pdf
#
17.05.2015664.38 Кб37Математика ч.2.pdf
#
17.05.2015637.39 Кб56Математика.pdf