матем 1 уск 2009

единиц вправо при a < 0 .

Пример 2. С помощью преобразования графиков элементарных функций построить график функции y = −log2 (x +3) .

Решение. Строим график элементарной логарифмической функции y1 = log2 x .

График функции y2 = −log2 (x + 3) получаем из графика функции y1 путём симметричного отражения относительно оси Oy .

График функции y3 = log2 (x + 3) получаем путём сдвига графика функции y2

по оси Ox на 3 единицы влево.

На рис.1. построены все три графика функции.

13

Рис.1. Построение графика функций с помощью преобразований

Пример 3. Решить графически уравнение x2 − 2 = x +1.

Решение. Графическим решением уравнения называются абсциссы точек пе-

ресечения двух графиков функций. Построим графики двух функций

вательно, данное уравнение имеет единственный корень – абсциссу точки пересечения x0 ≈2,76.

Рис. 2. Графический способ решения уравнения

Ответ. Корень уравнения x ≈ 2,76.

14

21–30. Найти решение системы линейных уравнений методом Крамера

31–40. С помощью преобразования графиков основных элементарных функций построить графики функций

При вычислении пределов функций следует пользоваться основными свойствами пределов:

Эти свойства применимы только тогда, когда пределы функций f (x) и g(x) конечны. Если же обе функции являются бесконечно малыми или беско-

нечно большими, то при вычислении пределов могут потребоваться дополнительные преобразования. Неопределенные ситуации складываются также при делении двух функций, стремящихся к нулю (бесконечно малые функции), при умножении бесконечно малой на бесконечно большую функцию, при возведении функции, значения которой в данном процессе приближаются к единице в бесконечно большую степень.

аргумента при переходе из точки x0 в какую-либо другую точку x называется приращением аргумента и обозначается x . Т.е. x = x − x0 и отсюда x = x0 + x . Если аргумент получит приращение, то и значение функции тоже получит соответствующее приращение y = f (x0 + x) − f (x0 ) и примет значение y = y0 + y .

Рис. 3. Приращение функции и приращение аргумента

Определение. Предел отношения приращения функции к приращению

Если названный предел существует и конечен, то функция называется дифференцируемой в точке x0 , а операция нахождения производной называ-

ется дифференцированием.

Роль производной определяется, прежде всего тем, что она характеризует скорость изменения некоторых физических величин. Так, если S(t) это

путь, который проходит точка за время t , то S′(t) =V (t) – это скорость этой точки в момент времени t .

Производная функции y = f (x) в точке x0 также описывает предельное положение секущей к графику этой функции в точке с координатами M (x0 ; y0 ) , т.е. касательную (рис. 4).

20

Рис. 4. График касательной к графику функции y = f (x) в точке x0

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

1. Постоянную С можно выносить за знак производной:

(Cf (x))′ = C f ′(x).

2.Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных от этих функций:

( f (x) ± g(x))′ = f ′(x) ± g′(x) .

3.Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго:

( f (x) g(x))′= f ′(x)g(x) + f (x)g′(x) .

числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:

5. Правило дифференцирования сложной функции. Если y = f (u) – неко-

торая функция аргумента u , а u = g(x) – другая функция аргумента x ,

то говорят, что y = f (g(x)) сложная функция по переменной x .

y′ = (cos u)′u u′x = −sin(u) (x5 )′ = −sin(x5 ) 5x4 = −5x4 sin(x5 ) .

Пример 2. Найти производную функции y = x ln x .

22