матем 1 уск 2009

Решение. Используем сначала третье правило дифференцирования. В нашем

=ln x + 12 . Здесь учитывали, что g(x) = ln x – сложная функция.

6.Исследование функций с помощью производной

Вэтом разделе мы рассмотрим исследование функций и построение их

графиков с помощью производной. Введём несколько понятий.

Функция y = f (x) называется возрастающей на интервале (a;b), если

случае точка x0 называется точкой минимума функции.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции. Область определения функции с помощью производной легко разбить на

интервалы монотонности. Точка x0 называется критической, если в ней про-

изводная функции не существует или равна нулю.

Критические точки разбивают область определения на интервалы. На каждом промежутке интервала следует проверить знак производной. В зависимости от того, какой знак имеет производная на промежутке, возникают следующие ситуации:

если при переходе через критическую точку x0 производная меняет знак с плюса на минус, то точка x0 – точка максимума функции;

если при переходе через критическую точку x0 производная меняет знак с минуса на плюс, то точка x0 – точка минимума функции;

23

правление выпуклости графика функции y = f (x) .

Если на интервале (a;b)вторая производная положительна f ′′(x) > 0, то график функции является выпуклым вниз. И наоборот, если на интервале (a;b)

вторая производная отрицательна, то график функции является выпуклым

вверх.

Точки, при переходе через которые вторая производная меняет знак, т.е. график функции меняет направление выпуклости, называют точками переги-

ба.

Для построения графика функции полезно находить асимптоты. Асимптотой графика функции называется прямая, к которой график функции неограниченно приближается при неограниченном увеличении аргумента, но никогда ее не пересечет. Асимптоты бывают наклонные, горизонтальные и вертикальные.

Наклонной асимптотой графика функции y = f (x) называется прямая

b = lim f (x) . Очевидно, что это частный случай наклонной асимптоты, кото-

x→∞

рый получается при k = 0

Вертикальной асимптотой называется прямая x = a , если lim f (x) = ∞.

x→a

Итак, исследование функции состоит из следующих этапов:

1)нахождение области определения функции;

2)нахождение точек пересечения графика с осями координат Ox и Oy;

3)нахождение асимптот графика;

4)нахождение критических точек, промежутков монотонности, точек экстремума функции;

5)нахождение интервалов выпуклости и вогнутости, точек перегиба. Используя проведённые исследования, можно постепенно строить график

функции.

Пример. Провести исследование и построить график функции y = 1 +1x2 .

Исследование. 1. Область определения функции – вся числовая прямая, то есть x (−∞;+∞) . Точек разрыва нет, следовательно, нет вертикальных асим-

птот графика функции.

24

2. Находим точки пересечения с осями координат:

с осью Oy график пересекается, если x = 0 , откуда y =1, т.е. M (0;1) – точка пересечения с осью Oy . Нарисуем точку

С осью Ox график пересекается, если

1 2 = 0. Поскольку это уравнение не имеет решений, то точек пересечения с

1 + x

Поскольку в точке (0;1) производная меняет знак с «+» на «-», то точка M (0;1)

является точкой максимума функции. Нанесем эту информацию на чертеже. 5. Найдём точки перегиба функции. Вторая производная имеет вид:

Полезность этого равенства определяется тем, что часто дифференциал функции вычислить легче, чем приращение. Например, требуется вычислить

значение функции y = x4 в точке x = 2,03. Дифференциал по формуле (6.2) ра-

x= 2,03 − 2 = 0,03, приращение функции равно

y≈ dy = 4 23 0,03 = 32 0,03 = 0,96 .

Следовательно, y(2,03) = y(2) + y ≈ y(2) + dy =16,96 .

Так для функции y = sin(2x) дифференциал равен dy = 2 cos(2x)dx . Равенство (6.3) позволяет рассматривать производную как отношение двух

дифференциалов f ′(x) = dydx .

7. Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл. Сформулируем задачу, обратную дифференцированию: для функции f (x) найти такую функцию F(x) , для которой

выполняется F′(x) = f (x) . Такая функция F(x) называется первообразной для функции f (x).

Задача отыскания первообразной решается неоднозначно, так как, если F′(x) = f (x) , то это выполняется и для функций

(F(x) +C)′ = f (x) ,

где C – любая постоянная величина. То есть F(x) +C – также первообразная

для f (x) . Например, для y = 2x функции F1(x) = x2 и F2 (x) = x2 + 2 являются первообразными.

27

Определение. Если функция F(x) является первообразной от функции f (x), то выражение F(x) +C называется неопределённым интегралом от функции f (x) и обозначается символом ∫ f (x) dx .

Согласно определению можно записать

∫ f (x) dx = F(x) +C .

Например, ∫cos x dx = sin x +C .

Основные свойства неопределённого интеграла:

1) производная любой первообразной равна подынтегральной функции

(∫ f (x) dx)′ = f (x) .

2)∫( f (x) ± g(x)) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g(x) dx .

3)∫k f (x)dx = k ∫ f (x) dx .

Первое свойство позволяет проверять путём дифференцирования правильность результата интегрирования. Для нахождения первообразной будем пользоваться следующей таблицей интегралов.

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

Часто задача отыскания первообразной решается сведением интеграла к сумме табличных интегралов путём несложных алгебраических преобразований. Рассмотрим этот способ на следующем примере.

28

затем следует найти интеграл из правой части равенства (если это возможно) и вернуться к исходной переменной.

Следует отметить, что в равенстве (7.4) ϕ′(t)dt = dx . Таким образом, ме-

== −3cos t +C = −3cos 3 x +C .

Часто приходится замену переменной делать иначе: заменять некоторое алгебраическое выражение u(x) = t . При этом необходимо заботиться о том,

чтобы x однозначно определялась из этой замены. Рассмотрим ещё несколько примеров нахождения первообразной функции.

где u = u(x), v = v(x) – дифференцируемые функции. В исходном интеграле нужно обозначить некоторую функцию за u =u(x) , а остальные сомножители обозначим за дифференциал некоторой функции dv .

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение этой формулы.

=x2 ln(x +1) − x + ln x +1 + C . 2

8.Определённый интеграл

Понятие определённого интеграла. Пусть функция y = f (x) опреде-

лена на отрезке [a, b]. Разобьём отрезок произвольным образом точками

a = x0 < x1 < x2 <K< xn = b

на n частичных отрезков. Длина каждого отрезка равна xi = xi − xi −1 , 1 ≤ i ≤ n .

Выберем в каждом из них произвольную точку ci , xi−1 ≤ ci ≤ xi .

Сумма, составленная из n слагаемых

31

Sn = f (c1) x1 + f (c2 ) x2 +K+ f (ci ) xi +K+ f (cn ) xn ,

называется n -ой интегральной суммой функции y = f (x) на отрезке [a, b]. Для сокращения записи используется математический знак суммы

зывается предел интегральной суммы Sn при стремлении к нулю максимальной длины частичных отрезков.

Определённый интеграл от функции f (x) на отрезке [a, b] обозначается

b

∫ f (x) dx .

a

Согласно этому определению можно записать

Рис. 6. Геометрический смысл определённого интеграла

32