Фишбейн, колебания

СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Общий вид движения(колебания)

в

результате сложения

колебаний

с разными амплитудами A1 , A2

и фазами j1 , j2 вдоль одного направления

с одинаковой частотой w

x (t) = A cos(wt + j ),

x

(t) = A cos(wt + j

),

1

1

1

2

2

2

где

x(t) = x1 (t) + =x2 (t)

Acos(wt + j) ,

A1 sin j1 + A2 sin j2

tgj =

.

A = A2

+ A2

+ 2A A cos(j - j )

,

1

2

1

2

2

1

A1 cos j1 + A2 cos j2

Общий вид движения(колебания) в

результате сложения

колебаний

с разными амплитудами A1 , A2

и фазами

j1 , j2

вдоль двух взаимно пер-

пендикулярных направлений с одинаковой частотой w

x(t) = A cos(wt + j ),

=y(t)

A cos(wt + j

),

1

1

2

2

x2

y2

2xy

2

+

-

cos(j

- j =) sin

(j

- j ).

A2

A2

A A

2

1

2

1

1

2

1

2

Если j

2

- j = 0,±2p,... ,то

y =

A2

x –

прямая линия

1

A1

Если j

2

- j = ±p, ±3p,... ,то

y = -

A2

x –

прямая линия

1

A1

Если и A1 = A2 , то прямые идут по биссектрисе угла, т. е. y = x и y = -x.

Если j

- j

±p=/ 2, ±3p/ 2, ± …,то

x2

+

y2

=1– эллипс

A2

A2

2

1

1

2

Если и

A = A = A , то

x2

+

y2

=1 – окружность

1

2

A2

A2

Общий вид движения в результатесложения

колебаний с

разными

амплитудами A1 ,

A2 и фазами

j1 ,

j2 вдоль двух взаимно

перпендику-

лярных направлений с кратными частотами

(Фигуры Лиссажу)

x(t) = A cos(mwt + j ),

y=(t)

A cos(nwt + j

) , m ¹ n

1

1

2

2

m =1, n = 2

y A

y

A2

y A

y

2

A1

1

A1

x

A

x

x

x

-A1

-A

1

-A1

1

-A1

-A

-A

j2 - j1= p/ 2

2

2

Прямая

Эллипс

Окружность

Фигуры

Лиссажу

Уравнение колебаний

q¢¢ + 2bq¢ + w02q =

e(t)

, b =

R

, w0 =

1

.

R

C

L

L

Определения

2L

LC

dI

d 2q

e

dq

q

I =

= RI , U

= L

= L

, U

=

.

, U

R

L

C

dt

dt

dt2

C

X

C

=

1

– емкостное (реактивное) сопротивление по переменному току

wC

1

X = X

L

- X=

wL -

– полное реактивное сопротивление

C

wC

R2 + (wL -

1

)2 – полное сопротивление

Z =

R2 + X 2

=

R2 + (X L - XC )2=

1

wC

wL -

j(w) = arctg

wC

.

I = I0 cos(wt - j)

I0

=

U0

U0

=

-амплитуда тока в контуре

Z

R2 + (wL -

1

)2

U R =U Rm cos(wt - j)

wC

U Rm = I0 R - амплитуда напряжения на резисторе

U L

=U Lm cos(wt - j +

p

)

U Lm = I0=X L

I0wL - амплитуда напряжения на катушке

2

I0

U

C

=U

Cm

cos(wt - j -

p

)

U

= I

X =

-амплитуда напряжения на конденсаторе

2

Cm

0

C

wC

q = qm cos(wt - j -

p

)

qm = I0w -амплитуда заряда на конденсаторе

2

(U L

на

p

опережает по

фазе U R

и I , UC на

p

отстает по фазе от U R и I )

2

2

амплитудному напряжению на катушке индуктивностиU Lm = wLI0

вектор ULm ,

направленный по оси ОY.

I0

r

амплитудному напряжению на конденсатореU

=

Cm

вектор U

Cm

, направлен-

wC

ный по оси –ОY.

r

амплитудному напряжению на

источнике(генераторе)

U0 вектор U0 ,

равный

r r

r

r

векторной сумме векторов напряжений U0 =URm +ULm +UCm Тогда

U02 = (RI0 )2 + I02 (wL -

1

)2.

U0

=

URm2 + (ULm -UCm )2

или

wC

Y

U0

U Lm = wLI0

U

Cm

=

I0

j

wC

U Rm = RI0

X

Резонанс тока

U

U

0

I

¥.

Если w = w =

w ,

то I

0рез

= I

0

(w

рез

) =

. Если

R

= 0 , то

0рез

= = 0

рез

0

R

0

I0рез2 =

U0

I0

R

R2

2

R1

I0рез1

=

U

0

w

R1

w0

R2 < R1,b2 < b1

Средняя за период Т мощность на катушке, конденсаторе, резисторе

и в цепи по переменному току

RI 2

< P >= <U

I >=< P >= < U

I >=

< P > =<U

I > =< P >

=< eI >

=

L

C

0,

R

T

T

0

.

L T

C T

T

R T

T

2

Iэфф

=

I

0