Фишбейн, колебания

Циклическая частота колебаний точки равна ….2 с-1.

= ω

=

ω

−2

Решение

Амплитудные значения скорости и ускорения определяются по формулам

по

,

=

, где

амплитуда

координаты (максимальное

=

циклическая частота. Используя графики,

смещение материальной точки),

2

;

ω

4

4

с

находим:

м/с

ω −

определению. Следовательно,

Примечание. На рисунке

изображены зависимости от времени проекций.

=

= 2

= 2 .

2. На рисунках изображены зависимости от времени координаты и ускорения

материальной

точки,

колеблющейся

по

гармоническому

. закону

Решение

−

,

ω −

Амплитудное значение ускорения определяется по формуле

=

=

где

точки),

амплитуда координаты (максимальное смещение материальной= ω

циклическая частота. Используя графики, находим:

1м,

4 м/с2.

Следовательно,

ω

=

4

= 1 = 2 c .

сия изменяется со временем по закону синуса или косинуса.

Пусть

ω

. Скорость

есть

первая производная

по времени от

точки:

cos=

.−ω sinω

.

Тогда

амплитудное значение скорости

смещения

и

=

м/с и

м. Тогда

Приведенные

графики позволяют найти

= ω

ω =

/

= 2

= 1

циклическая частота колебаний точки

изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Пусть

ω .

Ускорение тела равно второй производной от координаты по

времени, зависи-

=

cos

мость ускорения от времени дается выражением

ω

ω

ω .

Отсюда следует, что ускорение равно нулю в тех

точках траектории, в которых

= −

cos

= −

тенциальную энергию можно найти по формуле

= −

, где

коэффи-

циент жесткости

пружины,

растяжение

(

сжатие)

пружины.

Жесткость

П =

/2

−

пружины можно определить,

используя график:

и

−

−

−2

= 50 м.

=

= −

пружины40в ·положении10

Н

Величину растяжения

В также можно определить

из графика:

= 40 · 10

м. Тогда

П =

2

=

50 · 16 · 10

= 4 · 10 Дж = 0,04 Дж = 40 мДж.

2

= 40 мДж.

Следовательно, кинетическая энергия в положении О равна:

Решение

Так как сила упругости консервативная, то ее работа по перемещению

шарика из точки 1 в точку 2 равна

A12 =W1 -W2 . Тогда

A

=W -W

kx

2

kx2

, x

-3

x =0 мм.

=

B

-

O

B

= 40 мм = 40·10

м,

BO

B

O

2

2

O

−2

= 50

Н.

= −

и

= −

= −

Жесткость пружины можно определить, используя график:

2

-403 2

· 10

-м4

50

×(40 ×10

16 ×10

-3

ABO = WB -WO

kxB

)

50 ×

=

=

= 40·10

Дж = 40мДж.

2

2

2

7.

Материальная

точка

совершает

гармонические колебания

с амплитудой

А = 4 см и периодом Т = 2 с. Если смещение точки в момент времени, принятый

за начальный, равно 2 см, то точка колеблется в соответствии с уравнением(в

.

= ,

(

+

),

СИ)…

π

π

2.

+π ),

= 0,04cos(4π

π

3

3.

+π ),

= 0,04sin(4

4.

= 0,04cos(2

6

+ 3).

Решение

ω =

2π = 22π = π

с

Так период колебаний Т = 2 с, то

Проверим. Пусть

=

sin(ω + φ ). По

φ

и единственно возможное решение – 1.

) =

,

то

(0) =

sin(0 +

условию задачи

sinφ

= 1 , φ

= π.

2

Следовательно,

= 0,04sin(π

+ π).

= 1/3 c

2

6

0,

см/с,

18

следует, что модуль скорости в

8. Из графика колебаний материальной точки6

момент времени

равен …

x, cм

9

√3

-18

см/с,

9π

см/c,

= 0 c

0

1

( ) =

2

3 t, c

Решение

Так как

(0) = 0

sinω

( ) =

́( ) = ω

cosω .

= 2 c,

2π

рад

Так

как в

момент

2π

и

то

см, то

(1/3) = |

(1/3)| =

3

=

18 cos

3

= 9

.

cos

Тогда

ω =

=

2

= π

с

.

π

см

ω

ω

1

π

π

с

сации (в c) равно …4

φ = 0,03

cos30

Свободные затухающие механические

10. Тело совершает колебания по закону

,

. Время релак-

Решение

1

(t) =

=

τ = 1/β

амплитуда колебаний

β

φ

β

и

время релак-

сацииТак как

, то

τ = 0,25 = 4 с.

11. Амплитуда затухающих колебаний уменьшилась

в

раз (

– основание

натурального логарифма) за 100 мс. Коэффициент затухания (в

c

) равен …20

/ = (t) = . Тогда β = 2

βи

2

Решение

Амплитуда затухающих колебаний изменяется со временем по закону ко-

лебаний

β , где β – коэффициент затухания. По условию

β

=

0,1

= 20c .

уравнению

+ 900

= 0.

Время релаксации равно …..4 c.+ 0,5

Решение

+ 2β

+ ω

= 0,

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид

время

2

= 0,5

= 1/ = 1/0,25 = 4 c.

= 0,25

колеба-

где β

коэффициент затухания, ω

собственная круговая

частота

ний.

Время релаксации связано с коэффициентом затухания формулойτ

β

−

−

Значит

Так как β

с

, то коэффициент затухания равен: β

с .

= 1/

релаксации τ

β

Решение

π

( )

где

Формула для добротности, при малых затуханиях, выраженная через по-

и

= 2

( ) − ( + ),

тери энергии за период имеет вид

тя

( )

( + ) −

энергия контура в некоторый момент времени и спус-

π

( )

= 157.

14. Уравнение движения

= 2

пружинного маятника

0,04 ( )

+

+

= 0.

– увеличится в 2 раза,

– уменьшится в 2 раза,

– увеличится в 4 раза,

– уменьшится в 4 раза.

Решение

τ = 2 ,

Так как

то правильный ответ – первый.

Вынужденные

16. Маятник совершает вынужденные колебания со слабым коэффициентом за-

тухания (β ω

), которые подчиняются дифференциальному уравнению

+ 0,5 + 900 = 0,1cos150 .

−

−

β

ω

−

ω

затухания, ω

собственная круговая частота

где

β

коэффициент

+ 2

+

= cos

,

колебаний,

амплитудное значение вынуждающей силы, деленное на массу;

ω

частота−

вынуждающей

силы. При

слабом

затухании(коэффициент

силы совпадет с собственной частотой колебаний маятника(явление резонан-

ходимо

= 150

с

,

частота выну-

са). Собственная частота колебаний равна: ω

ждающей силы ω

с . Следовательно,

частоту вынуждающей силы необ-

= √900 = 30

уменьшить в 5 раз.

17. Пружинный маятник с жесткостью пружины

Н м

совершает выну-

жденные

колебания с

малым

коэффициентом

затуханияβ

ω , которые

= 90 /

(

)

+ 0,5

+ 900 = 0,1cos10 .

подчиняются дифференциальному уравнению

Сравнивая указанное выше уравнение с его общим видом

+ 2β

,

+ ω

=

cosω ,

мы, можно

= √900 = 30

с

= 10

с

.

Меняя характеристики систе-

получаем, что ω

а ω

уменьшить собственную частоту колебаний так, чтобы она совпала

с частотой вынуждающей силы.

=

ω

=

0,1 кг.

90

=

Для пружинного маятника ω

=

/

и соответственно

совпала с собственной частотой колеба-

Чтобы частота вынуждающей силы ω900

= 0,9 кг.

ний маятника ώ

= ω

=

ω

=

90

, масса должна быть равна ( ώ = ω)

́

Следовательно, массу груза нужно

увеличить в 9 раз.

100

тигает максимального значения. При слабом затухании резонансная частота

практически равна собственной частоте колебаний математического маятника

Следовательно,

ωрез

= ω =

g = 10 c .

м

см

ωрез

10

=

g

= 0,1

= 10 .

= 100

затухающих колебаний LC контура, т. е.

1

Тогда

ωрез = ω

=

.

1

1

Гн

мГн

ω

=

1рез

= 10

= 1

.

= 10

· (10 )

= 10