5.2. Тестовые задания по гк

ГК 1. В двух опытах материальная точка массой m совершает свободные гармонические колебания. Индексом 0 обозначены максимальные значения величин. Во сколько раз изменятся параметры движения м.т.: 1) – скорость, 2)– ускорение, 3) ν –частота, 4) – возвращающая сила, 5) К₀ – кинетическая энергия, 1) П₀ – потенциальная энергия, 2) Е – полная энергия, 3) k – коэффициент упругости, 4) Е – средняя энергия за один период, 5) Т – период, если во втором опыте изменить задаваемые параметры: импульс ↑3, m↓2, = ?

Решение. Максимальный импульс = mωA ↑ 3, значит амплитуда А ↑ 6. Далее приведены отношения значений величин второго опыта к первому. Колебаний м.т.: 1) скорость = ωA ↑ 6; 2) ускорение = A ↑6; 3) частота ν =; 4) возвращающая сила = mA ↑ 3; 5) кинетическая энергия ∼ m↑18; 1) потенциальная энергия ↑ 18; 2) полная энергия =Е ↑ 18; 3) коэффициент упругости k = m↓2; 4) средняя энергия Е = ↑ 9; 5) период Т = const.

ГК 2. Масса на пружине. В двух опытах грузы совершают свободные гармонические колебания. В первом опыте груз m₁ подвесили к упругой пружине жесткостью k₁. Во втором опыте груз m₂= 0,5 m₁ подвесили к упругой пружине жесткостью k₂. В обоих опытах груз (материальная точка) отклоняли от положения равновесия на небольшое равное смещение х₁= х₂ и отпускали. Индексом 0 обозначены максимальные значения величин. Масса пружины мала по сравнению с массой груза. Во сколько раз изменятся параметры колебаний пружинного маятника: 1) ω – циклическая частота, 2) Т – период, 3) Е – средняя энергия за период, 4) – кинетическая энергия, 5) – скорость, 1) – возвращающая сила, 2) k – коэффициент жесткости, 3)– ускорение, 4) – импульс, 5) – потенциальная энергия, если во втором опыте полную энергию материальной точки Е ↑ 8, массу m ↓ 2, максимальные смещения х₁ = х₂?

Решение. Полная энергия м.т. Е ∼ m ↑ 8, откуда ω ↑ 4. Далее приведены отношения значений параметров второго опыта к первому. Колебания м.т.: 1) циклическая частота ω ↑ 4; 2) период Т = (2π / ω) ↓ 4; 3) средняя энергия за период Е ∼ 0,5 ↑ 4; 4) кинетическая энергия ↑ 8; 5) скорость = ωA ↑ 4; 1) возвращающая сила = mA ↑8; 2) коэффициент жесткости k = m ↑ 8; 3) ускорение = A ↑ 16; 4) импульс = mωA ↑2; 5) потенциальная энергия ↑ 8.

ГК 3. Математический маятник (м.м.). В двух опытах грузы совершают колебания на м.м. В первом опыте к нити длиной L₁ подвесили груз m₁. Во втором опыте груз m₂ = 2m₁ подвесили к нити длиной L₂. В обоих опытах грузам сообщили равный импульс р₁ = р₂ в горизонтальном направлении, достаточный для малых колебаний. Смещение хL. Груз считать материальной точкой. Индексом 0 обозначены максимальные значения величин. Нити невесомы и нерастяжимы. Во сколько раз изменятся параметры гармонических колебаний м.т.: 1) Т – период, 2) ω – циклическая частота, 3) – скорость, 4) – кинетическая энергия, 5) Е – средняя энергия за период, 1) k – коэффициент жесткости, 2) – ускорение, 3) – возвращающая сила, 4) П₀ – потенциальная энергия, 5) Е – полная энергия, если во втором опыте изменить задаваемые параметры: длину нити L ↑ 25, массу груза m ↓ 5, импульсы р₁ = р₂?

Решение. Приведены отношения значений параметров второго опыта к первому. Колебаний м.т.: 1) период Т ↑5; 2) циклическая частота ω 1/↓5; 3) скорость = р/m ↑ 5; амплитуда А = /ω ↑ 25; 4) кинетическая энергия m ↑ 5; 5) средняя энергия за период ‹Е› ↑ 5; 1) коэффициент жесткости k = m ↓ 125; 2) ускорение а = А = const; 3) возвращающая сила F = mA ↓ 5; 4) потенциальная энергия = ↑ 5; 5) полная энергия Е ↑ 5.

ГК 4. Материальная точка совершает свободные гармонические колебания по закону синуса с периодом Т = 3,14 с. Начальная фаза = 0 при t = 0. Найти смещение м.т. от положения равновесия в момент времени t = 3Т/4, если ускорение м.т. в это время а = 0,08 м/с².

Решение. Материальная точка движется по закону х = Аsin(ωt), скорость м.т. , ускорение м.т. A. В момент времени t ускорение а = А, т.к. )= –1. Амплитуда А = а/=0,02 м. Смещение х = Аsin(ωt)=– 0,02 м.

ГК 5. Тело (материальная точка) совершает свободные гармонические колебания по закону синуса с периодом Т. Начальная фаза равна нулю. Определите промежуток времени t (с), в течение которого значение импульса точки изменяется на величину от 0 до р. Дано t = 0, = 0, Т = 8 с, р = .

Решение. Материальная точка совершает свободные гармонические колебания по закону х = Аsin(ωt). Скорость м.т. = ωАcos). Импульс м.т. р = mυ = mωАcos(ωt). По условию cos) = /2; фаза ωt = arсcos/2 = π/4. Значит, t = 2π/8 = π/4; время t = 1. Ответ: За время t = 1 с значение импульса точки изменяется от 0 до .