2. Электроемкость и конденсаторы (эк)

2.1. Расчетные формулы по теме «эк»

P = xε₀E – поляризованность диэлектрика, где x – диэлектрическая восприимчивость вещества.

Е – напряженность результирующего поля внутри диэлектрика.

D = ε₀E + P = ε₀E₀ + xε₀E – электрическое смещение.

–теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике.

p = |q|l– дипольный момент.

E = - – напряженность Е в случае неоднородных полей.

(Ф) – определение электроемкости уединенного проводника.

q = CU (Кл) – заряд конденсатора.

(Ф) – определение электроемкости конденсатора.

– определение электроемкости плоского конденсатора с диэлектриком.

C_ш = 4πε₀εR – электроемкость уединенного проводящего шара.

– электроемкость цилиндрического конденсатора.

– потенциал уединенного проводящего шара.

– электрическое поле Е вблизи поверхности заряженной сферы в диэлектрике.

D = ε₀εE (Кл/м²) – диэлектрическое смещение.

Параллельное соединение одинаковых конденсаторов:

U = U₁ = U₂ = U_n = const; q = ∑q_i; C = ∑C_i.

Последовательное соединение одинаковых конденсаторов:

U = U₁ + U₂ + … + U_n; q = q₁ + q₂ + … + q_n; 1/C = ∑1/C_i.

W = Cφ²/2 = qφ/2 = q²/2C – энергия уединенного заряженного проводника.

W = CU²/2 = qU/2 = q²/2C – энергия электрического поля заряженного конденсатора.

ω = W/V = εε₀E²/2 = DE/2 = D²/2ε₀ε (Дж/м³) – объемная плотность энергии электростатического поля конденсатора.

F = −ωS (Н) – сила взаимодействия между пластинами плоского заряженного конденсатора.

– разряд конденсатора через активное сопротивление R.

τ_э = – экспериментальное значение релаксации разряда конденсатора через активное сопротивление.

τ_т = RC – теоретическое значение времени релаксации.

2.2. Тестовые задания по теме «эк»

ЭК 1. Конденсатор заряжен и отключен от источника. Плоский воздушный (ε₁ = 1) конденсатор, имеет расстояние между пластинами d₁, площадь пластин S =. Сначала конденсатору сообщили заряд q₁. Это его первое (1) состояние. Далее конденсатор отключили от источника, расстояние между пластинами увеличили (уменьшили) в n раз, затем его полностью поместили в среду с диэлектрической проницаемостью ε₂. Это второе (2) состояние. Электрическое поле однородно. Во сколько раз (Е₂/Е₁) изменятся параметры ЭП в конденсаторе: 1) U – разность потенциалов, 2) E – напряженность электрического поля, 3) ω – объемная плотность энергии электрического поля, 4) W – энергия электрического поля, 5) F – сила взаимодействия между пластинами? Дано: q₁ ↑36, d ↓ 4, ε₂ ↑ 2, S = .

Ответы: U ↑ 18, E ↑ 36, ω ↑ 72, W ↑ 648, F ↑ 72.

Расчетные формулы:

, – электроемкость.

q₁ = q₂ – заряд (закон сохранения заряда).

– поверхностная плотность заряда.

,– напряженность электрического поля.

– разность потенциалов.

– энергия электрического поля.

– объемная плотность энергии.

– сила взаимодействия между пластинами.

Задаваемые параметры: q, σ, E, U, W, ω, F, ε, d, n.

ЭК 2. Конденсатор не отключен от источника. Плоский воздушный (ε₁ = 1) конденсатор имеет расстояние между пластинами d₁, площадь пластин S =. Сначала конденсатор зарядили до разности потенциалов U₁. Это его первое (1) состояние. Не отключая конденсатор от источника, расстояние между пластинами увеличили (уменьшили) в n раз, затем его полностью поместили в среду с относительной диэлектрической проницаемостью ε₂. Это второе (2) состояние. Электрическое поле однородно. Во сколько раз изменятся параметры ЭП в конденсаторе: 1) q – электрический заряд, 2) W – энергия электрического поля, 3) E – напряженность электрического поля, 4) ω – объемная плотность энергии, 5) F – сила взаимодействия между пластинами?

Дано: U ↑ 8, d ↑ 4, ε₂ ↑ 2, S =.

Ответы: q ↑ 4, W ↑ 32, E ↑ 2, ω ↑ 8, F ↑ 8.

Расчетные формулы:

, – электроемкость.

U₁ = U₂ – разность потенциалов.

q₁ = C₁U; – заряд конденсатора.

– поверхностная плотность заряда.

;– напряженность электрического поля.

– энергия электрического поля конденсатора.

– объемная плотность энергии.

Задаваемые параметры: q, σ, E, U, W, ω, F, n, ε₂, d.

ЭК 3. Взаимодействие заряженных шаров. Два металлических шара радиусами R₁ (емкостью С₁) и R₂ (C₂) находятся на значительном расстоянии r друг от друга и имеют одноименные заряды: q₁' и q₂'. Как (во сколько раз) изменятся начальные (1) параметры ЭП, если шары привели в соприкосновение и раздвинули (2) на прежнее расстояние r: 1) F – модуль силы взаимодействия зарядов, 2) W – потенциальная энергия взаимодействия зарядов, 3) заряд q₁, потенциал φ₁, напряженность Е₁, энергия электрического поля W₁ первого шара, 4) заряд q₂, потенциал φ₂, напряженность Е₂, энергия электрического поля W₂ второго шара, 5) напряженность Е₃, потенциал φ₃ в точке на равном (кратчайшем) расстоянии r/2 от шаров?

Дано: R₁ = 1,0 см, R₂ = 2,0 см, q₁' = 22 нКл, q₂' = 2,0 нКл.

C = 4πε₀R = kR, где k ~ 10^–10 Ф/м – электроемкость шара.

– потенциал поля на поверхности шара.

– напряженность поля на поверхности шара.

– энергия электрического поля шара.

– потенциальная энергия взаимодействия шаров.

– модуль силы взаимодействия шаров.

C = C₁ + C₂; q = q₁ + q₂; – электроемкость, заряд, потенциал поля на поверхности при соприкосновении шаров.

q₁ = C₁φ, q₂ = C₂φ, φ₁ = φ₂ = φ, , , W₁ ~ C₁φ², W₂ ~ C₂φ² – заряды, потенциалы, напряженности, энергии электрического поля шаров после соприкосновения и раздвинутых на прежнее расстояние r.

, φ₃ = φ₁ + φ₂ – напряженность и потенциал электрического поля в точке на равном (кратчайшем) расстоянии r/2 от шаров.

Задаваемые параметры шаров: R, q', E', φ', W', C.

ЭК 4. Соединение конденсаторов. Последовательное (1) соединение n одинаковых конденсаторов емкостью c каждый (первый опыт) в электрической цепи во втором опыте заменено на параллельное (2) соединение k таких же конденсаторов емкостью c каждый. Напряжение не меняется. Во сколько раз (c₂/c₁) изменятся параметры ЭП в цепи: 1) c₁ – емкость всей цепи, 2) q – заряд всей цепи, 3) ω – плотность энергии электрического поля в одном конденсаторе, 4) E – напряженность электрического поля в одном конденсаторе, 5) W – энергия электрического поля всей цепи? Дано: n = 6, k = 2.

Ответы: 12, 12, 6, 36, 12.

Задаваемые параметры: k, n.