7.3. Расчетные формулы по теме «эмк»

Свободные ЭМК (0 – максимальное значение).

• – дифференциальное уравнение, описывающее свободные гармонические колебания заряда в колебательном контуре.

– закон изменения заряда q (силы тока , ЭДС самоиндукции) в зависимости от времени электромагнитных гармонических колебаний .

• – закон изменения напряжения на конденсаторе.

• – закон изменения силы тока в контуре.

• – закон изменения ЭДС самоиндукции в контуре.

• – амплитуда напряжения.

• – амплитуда силы тока.

• C – изменение ЭДС самоиндукции.

• – собственная частота контура, q₀ – амплитуда колебаний заряда.

• – формула Томсона.

• / 2C + Li² / 2 – полная энергия электромагнитного поля колебательного контура.

Затухающие ЭМК

• – уравнение затухающих колебаний.

• – закон изменения заряда.

• – циклическая частота затухающих колебаний.

• – коэффициент затухания.

• = ln(A_t / A_{t +T}) = – логарифмический декремент затухания,N_e – число колебаний за время релаксации.

• – добротность контура.

7.4. Расчетные формулы в заданиии «переменный ток»

(приложено напряжение

• – переменный ток текущий через резистор сопротивлением R.

• − переменный ток, текущий через катушку индуктивностью L.

• – индуктивное сопротивление.

• – переменный ток, текущий через конденсатор емкостью С.

• – емкостное сопротивление.

• ; – переменный ток, текущий в цепи (последовательное RLC, ).

• − полное сопротивление цепи RLC переменному току(R_L>R_C).

• – резонансная циклическая частота.

• Действующее (эффективное) значение тока и напряжения .

• – средняя мощность цепи переменного тока.

• – коэффициент мощности.

7.5. Тестовые задания по теме эмк

ЭМК 1. В LC контуре конденсатор зарядили и отключили. Свободные ЭМК в LC контуре. Находятся параметры в конденсаторе: C – электрическая емкость, q – заряд, W_оэ− энергия электрического поля, E₀ – напряженность электрического поля, ₀ – объемная плотность энергии. В катушке: W_0м – энергия магнитного поля, L – индуктивность катушки, ₀ – потокосцепление, В₀ – индукция магнитного поля, Ф – магнитный поток, _ом – плотность энергии магнитного поля, _so – ЭДС самоиндукции, R_L – индуктивное сопротивление, R_c – емкостное сопротивление. Индекс 0 обозначает амплитудное значение колеблющихся величин (). Сначала конденсатор был заряжен, а затем отключен от источника. Это первое (1) состояние контура. Далее в конденсатор ввели диэлектрик (2) (). Параметры конденсатораd, S и катушки , N, S не меняются. Во сколько раз изменятся максимальные значения параметров контура?

Решение: емкость, заряд не меняется (q =), энергия электрического поля в конденсаторе , напряженность электрического поля, объемная плотность энергии электрического поля, энергия магнитного поляW_ОЭ = W_ОМ4, индуктивность не меняется. Из соотношенияq²/C ~ Li² получим I ↓ 2, В ↓ 2, магнитный поток , потокосцепление. Объемная плотность энергии магнитного поля_ОМ = (B²/2μ₀μ)4, ЭДС самоиндукции , циклическая частота, индуктивное сопротивление, период, частота = (1/T)  2, емкостное сопротивление , сила взаимодействия между пластинами_.

ЭМК 2. Контур в цепи переменного тока. Как изменятся параметры переменного тока, если частоту колебаний переменного тока увеличить (ω): φ – сдвиг фазы между током и напряжением, – амплитуда силы тока,I_д – действующее значение силы тока, U_д – действующее значение напряжения, Q – реактивная мощность. Параметры ,L, ,не меняются, причем .

_{Решение.} Сдвиг фазы между током и напряжением импеданс сопротивлений, максимальное значение силы тока, действующее значение силы тока, действующее значение напряженияне меняется, реактивная мощность. Активная мощность

ЭМК 3. Свободные электромагнитные колебания в контуре. Напряжение на конденсаторе изменяется по закону синуса (). При _→ ;. Параметры конденсатораS, d, ε и катушки N, S, 𝓁, μ не меняются. Находятся параметры конденсатора: q, E, ,,R_c, , катушки:W_м, ,B, H, ψ, ,,, далееT, ω. С учетом сдвига фазы колебаний определите параметры контура, которые в момент времени t = T/4 принимают положительные максимальное , равное нулю, отрицательное минимальноезначения. Значение величины не меняется (=).

Решение. Напряжение , значит,,,,,,. В этот момент времени сила тока, значит W_м=0, ,,,,,,,,T = .

ЭМК 4. В контуре RLC конденсатор зарядили, затем его отключили от источника, и далее ввели в него диэлектрик . В ЭМК заряд не меняется (q=) с увеличением емкости (приd=) напряженность электрического поля в конденсаторе , напряжение, энергия электрического поля, плотность энергии, период, циклическая частота колебаний, емкостное сопротивление, коэффициент затухания.

ЭМК 5. Свободные ЭМК в LC контуре. Сначала конденсатор был заряжен и отключен от источника (). R 0. Это первое (1) состояниеLC контура. Затем изменили (2) параметры электрического (магнитного) поля в LC контуре. Во сколько раз (С₂/С₁) изменятся максимальные (0) параметры в LC контуре: 1) С – электрическая емкость, 2) q₀ – электрический заряд, 3) W₀ – энергия электрического поля, 4) – плотность энергии магнитного поля, 5)В₀ – магнитная индукция. Далее: 1) – ЭДС самоиндукции, 2)R_L – индуктивное сопротивление, 3) – циклическая частота колебаний, 4)T – период колебаний, 5) L – индуктивность катушки, если во втором состоянии напряженность электрического поля ↓ 4. Параметры конденсатораd, S и катушки ,N, S, 𝓁не менять.

Задаваемые параметры: q, E, , U, ε, d, S, , N.

ЭМК 6. Свободные ЭМК в LC контуре. Напряжение на конденсаторе изменяется по закону синуса (косинуса). При t = 0 ₀ = 0; R0. Находятся: 1) q – электрический заряд, 2) E – напряженность электрического поля, 3) R_c – емкостное сопротивление, 4) – плотность энергии электрического поля, 5) W – энергия электрического поля. 1) В – магнитная индукция, 2) Ф – магнитный поток, 3) ε_S – ЭДС самоиндукции, 4) – плотность энергии магнитного поля, 5)R_L – индуктивное сопротивление. С учетом сдвига фазы колебаний укажите параметры LC контура, которые в момент времени t принимают положительное максимальное (+), равное = 0, отрицательное максимальное (–) значения. Значение параметра не меняется (=). Принятьt = T/4.

Задаваемые параметры: T/4, T/2, 3T/4, T, 3T/2, 5T/4.

+ЭМК 7. К нижним концам двух пружин с коэффициентом упругости у каждой прикреплены концы расположенного горизонтально металлического стержня длинойи массой. Верхние концы пружин соединены проволокой через конденсатор емкостью. Стержень колеблется в вертикальной плоскости с амплитудой. Весь стержень постоянно находится в однородном магнитном поле с индукцией, вектор которой горизонтален и перпендикулярен стержню. Массой пружин пренебречь. Индекс– максимальное амплитудное значение величины. Пружины проводящие. Сопротивление всей цепи. Индуктивностью цепи пренебречь. Обозначения: 1)– циклическая частота колебаний, 2)– период, 3)– частота, 4)– максимальная (0) скорость, 5)– ускорение, 6)– сила упругости, 7)– индукционная ЭДС, 8)– заряд в конденсаторе, 9)– сила тока, 10)– мощность тока, 11)– сила Ампера, 12) – энергия электрического поля, 13)– напряженность электрического поля, 15)– ЭДС самоиндукции. Во сколько раз изменятся значения параметров, если в задаче изменится один параметр, а остальные не меняются?

Дано: c, k, m, B, 𝓁, R, d, A₀.

Найти: 1) ω, 2) , 3), 4) , 5) , 6) , 7) , 8) , 9) , 10) ,

11) , 12) , 13) , 14), 15) .

Расчетные формулы:

1) 2k = mω²,

2) T ,

3) 2π,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) , 10) ,

11) ,

12) W_эо = Cε­₀² / 2 = (CB²l²A₀²2k) / 2m,

13) ,

14) ω₀ = W_эо / V = (CB²l²A₀² 2k) / 2mV ,

15).