Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМФ ЛК

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

1.57 Mб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Московский Государственный Институт Электроники и Математики (Технический Университет)

Лекции по дисциплине Уравнения Математической Физики

(У.М.Ф.)

Факультет «Прикладная Математика» 5-ый семестр

Лектор профессор В.В. Белов.

Лекции слушал и записал студент 3 курса С.В. Ярчук

Рекомендуемая Литература:

1.А.Н. Тихонов и А. А. Самарский: «У.М.Ф.».

2.В.С. Владимиров: «У.М.Ф.».

3.Федорюк: «Обыкновенные дифференциальные уравнения».

4.В.В. Белов и С.М. Воробьев «Сборник задач по дополнительным главам У.М.Ф.»

Москва 2001

	2
Содержание
Содержание --------------------------------------------------------------------------------------------------	2
Предварительная информация о стиле и форме изложения ----------------------------------	7
Введение-------------------------------------------------------------------------------------------------------	8
Первичные понятия. -------------------------------------------------------------------------------	8
Примеры. ---------------------------------------------------------------------------------------------	8
Глава 1 «Уравнения 1-ого порядка»--------------------------------------------------------------------	9
§1. Линейные У.Ч.П. 1-го порядка -----------------------------------------------------------------	9
Пример (линейное уравнение бегущей волны). ---------------------------------------------	9
Понятие линейного уравнения 1-ого порядка. -----------------------------------------------	9
Теорема 1. -------------------------------------------------------------------------------------------	10
Замечание 1. ----------------------------------------------------------------------------------------	10
Теорема 2 (теорема существования).----------------------------------------------------------	10
Замечание 2. ----------------------------------------------------------------------------------------	10
Теорема 3 (об общем решении линейного уравнения). -----------------------------------	11
§2. Квазилинейные уравнения: характеристики и общее решение ---------------------	11
Определение (квазилинейное уравнение). ---------------------------------------------------	11
Замечание 1. ----------------------------------------------------------------------------------------	11
Утверждение 1 (характеристическая система квазилинейного уравнения). ---------	11
Теорема 1 (об общем решении квазилинейного уравнения). ----------------------------	11
Пример (уравнение Эйлера). --------------------------------------------------------------------	12
Замечание 2 (задача «ГИБДД»).----------------------------------------------------------------	12
§3. Задача Коши для квазилинейного уравнения --------------------------------------------	13
Постановка задачи Коши для квазилинейного уравнения.-------------------------------	13
Геометрическая интерпретация задачи в расширенном фазовом пространстве. ----	13
Задача.------------------------------------------------------------------------------------------------	14
Мораль: как решать задачу Коши? ------------------------------------------------------------	14
Алгоритм решения задачи Коши {(1), (2)}.--------------------------------------------------	14
Утверждение 1 (о справедливости алгоритма). ---------------------------------------------	15
Замечание (задача Коши для линейного уравнения).--------------------------------------	15
§4. Корректность алгоритма решения задачи Коши ----------------------------------------	16
Теорема 1 (о корректности алгоритма для квазилинейного уравнения).--------------	16
Упражнение. ----------------------------------------------------------------------------------------	18
Замечание (о катастрофе в решении).---------------------------------------------------------	18
§5. Моделирование потока жидкости в «трубе» ----------------------------------------------	19
Постановка задачи.--------------------------------------------------------------------------------	19
Вывод уравнения. ---------------------------------------------------------------------------------	19
Решение задачи о «трубе». ----------------------------------------------------------------------	20
Теорема. ---------------------------------------------------------------------------------------------	21
Лемма 1 (Лиувилля). ------------------------------------------------------------------------------	21
Замечание.-------------------------------------------------------------------------------------------	22
Пример поля, удовлетворяющего замечанию. ----------------------------------------------	22
§6. Задача Коши для уравнения Гамильтона-Якоби ----------------------------------------	22
Понятие уравнения Гамильтона-Якоби.------------------------------------------------------	22
Постановка задачи Коши для нестационарного уравнения Гамильтона-Якоби. ----	23
Алгоритм решения этой задачи на примере. ------------------------------------------------	23
Интерпретация алгоритма в фазовом пространстве. --------------------------------------	24

Уравнения математической физики, семестр 1. Содержание.

	3
§7. Обоснования алгоритмов решения задачи Коши для уравнения Гамильтона-
Якоби ------------------------------------------------------------------------------------------------------	25
Замечание 1. ----------------------------------------------------------------------------------------	25
Замечание 2. ----------------------------------------------------------------------------------------	25
Лемма Гамильтона.--------------------------------------------------------------------------------	25
Доказательство корректности алгоритма.----------------------------------------------------	26
Упражнение (единственность решения задачи Коши). -----------------------------------	27
Замечание 3 (обобщенное уравнение Гамильтона-Якоби). ------------------------------	27
Замечание 4 (о стационарном уравнении).---------------------------------------------------	27
Пример (Мираж). ----------------------------------------------------------------------------------	27
Замечание 5 (о геометрическом смысле леммы Гамильтона).---------------------------	27
Глава 2 «Уравнение диффузии или теплопроводности. Метод разделения переменных
(метод Фурье) его решения»----------------------------------------------------------------------------	29
§1. Получение уравнения диффузии или теплопроводности------------------------------	29
Параметры.------------------------------------------------------------------------------------------	29
Вывод уравнения диффузии или теплопроводности. -------------------------------------	29
§2. Постановка начально-краевой или смешанной задачи для уравнения диффузии
или теплопроводности. -------------------------------------------------------------------------------	30
§3. Смешанная задача с краевым условием I-ого рода -------------------------------------	30
Утверждение 1 (о редукции задачи (1)-(3) к задаче с однородным уравнением и
однородными граничными условиями). ------------------------------------------------------	30
§4. Метод Фурье для однородной смешанной задачи с однородным граничным
условием --------------------------------------------------------------------------------------------------	32
Идея принципа Фурье. ---------------------------------------------------------------------------	32
Утверждение 2.-------------------------------------------------------------------------------------	32
Замечание.-------------------------------------------------------------------------------------------	33
Теорема 1 (собственных значениях и собственных функциях задачи (8)). -----------	33
Замечание (о формальном решении задачи). ------------------------------------------------	33
Проблемы.-------------------------------------------------------------------------------------------	34
Теорема 2. -------------------------------------------------------------------------------------------	34
Следствие (о классическом решении задачи). ----------------------------------------------	34
Пример (безопасность ядерного реактора).--------------------------------------------------	34
§5. Корректность начально-краевой задачи для уравнения диффузии с краевым
условием I-ого рода------------------------------------------------------------------------------------	36
Определение (корректная постановка задачи). ---------------------------------------------	36
Замечание 1. ----------------------------------------------------------------------------------------	37
Замечание 2. ----------------------------------------------------------------------------------------	37
Теорема 1 (принцип максимумов). ------------------------------------------------------------	37
Теорема 2 (о единственности классического решения). ----------------------------------	38
Теорема 3 (о непрерывной зависимости классического решения).---------------------	38
Теорема 4. -------------------------------------------------------------------------------------------	38
Замечание 3 (о локальности решения). -------------------------------------------------------	39
Замечание 4 (о решении задачи для струны). -----------------------------------------------	39
§6. Уравнение теплопроводности во всем пространстве -----------------------------------	40
Предварительное замечание (постановка проблемы).-------------------------------------	40
Теорема 1 (Теорема Пуассона о классическом решении задачи (1)-(2)). -------------	40
Напоминание о преобразованиях Фурье. ----------------------------------------------------	40
Свойства преобразований Фурье. --------------------------------------------------------------	41
Замечание 1. ----------------------------------------------------------------------------------------	41

Уравнения математической физики, семестр 1. Содержание.

	4
Доказательство теоремы Пуассона. -----------------------------------------------------------	41
Теорема 2. -------------------------------------------------------------------------------------------	42
Свойства ядра Пуассона.-------------------------------------------------------------------------	42
Замечание 2. ----------------------------------------------------------------------------------------	43
Лемма 1. ---------------------------------------------------------------------------------------------	43
Замечание 3. ----------------------------------------------------------------------------------------	44
Глава 3 «Элементы теории обобщенных функций»---------------------------------------------	45
§1. Эвристические соображения -------------------------------------------------------------------	45
Пример. ----------------------------------------------------------------------------------------------	45
§2. Основные определения теории обобщенных функций ---------------------------------	46
Определение 1 (пространство основных функция). ---------------------------------------	46
Определение 2 (сходимость). -------------------------------------------------------------------	46
Определение 3 (определение обобщенной функции).-------------------------------------	46
Замечание (об обычных функциях).-----------------------------------------------------------	46
§3. Свойства обобщенной - функции Дирака------------------------------------------------	46
Предварительное уведомление. ----------------------------------------------------------------	46
Вариант определения - функции. ------------------------------------------------------------	46
Производная - функции. -----------------------------------------------------------------------	47
Первообразная от - функции. -----------------------------------------------------------------	47
Умножение на гладкую (бесконечно дифференцируемую) функцию. ----------------	47
Носитель - функции.----------------------------------------------------------------------------	47
Замена переменных. ------------------------------------------------------------------------------	47
Преобразование Фурье - функции. ----------------------------------------------------------	48
Формулы Сохоцкого. -----------------------------------------------------------------------------	48
-функция, как слабый предел -образной последовательности. ---------------------	49
§4. Дифференцируемость в D’ ----------------------------------------------------------------------	49
Предварительное замечание.--------------------------------------------------------------------	49
Определение 1 (производная обобщенной функции).-------------------------------------	50
Следствие (о бесконечной дифференцируемости обобщенной функции). -----------	50
Пример (тета-функция).--------------------------------------------------------------------------	50
Теорема (о дифференцировании кусочно-гладкой обобщенной функции). ----------	50
§5. Умножение в D’ ------------------------------------------------------------------------------------	51
Определение 1 (умножение на функцию). ---------------------------------------------------	51
Пример 1. --------------------------------------------------------------------------------------------	51
Пример 2. --------------------------------------------------------------------------------------------	51
Теорема 1 (правило Лейбница). ----------------------------------------------------------------	51
Пример 3. --------------------------------------------------------------------------------------------	51
Пример 4. --------------------------------------------------------------------------------------------	51
Пример 5. --------------------------------------------------------------------------------------------	52
§6. Замена переменных в D’-------------------------------------------------------------------------	52
Определение (линейная замена переменных). ----------------------------------------------	52
Замечание 1 (о корректности определения).-------------------------------------------------	53
Замечание 2. ----------------------------------------------------------------------------------------	53
Теорема (замена переменных в функции Дирака).-----------------------------------------	53
§7. Классическое преобразование Фурье--------------------------------------------------------	55
Напоминание (классическое преобразование Фурье). ------------------------------------	55
Теорема 1 (теорема обращения). ---------------------------------------------------------------	55
Замечание 1. ----------------------------------------------------------------------------------------	55

Уравнения математической физики, семестр 1. Содержание.

	5
Лемма 1 (Лебега).----------------------------------------------------------------------------------	55
Пример 1. --------------------------------------------------------------------------------------------	56
Лемма 2 (об Фурье-образе производной).----------------------------------------------------	56
Замечание 2. ----------------------------------------------------------------------------------------	56
Лемма 3. ---------------------------------------------------------------------------------------------	56
Следствие.-------------------------------------------------------------------------------------------	57
§8. Обобщенное преобразование Фурье (для обобщенных функций медленного
роста) ------------------------------------------------------------------------------------------------------	57
«Определение 1» (обобщенное преобразование Фурье). ---------------------------------	57
Замечание 1 (некорректность определения 1). ----------------------------------------------	57
Определение 2 (пространство Шварца).------------------------------------------------------	57
Пример 1. --------------------------------------------------------------------------------------------	57
Определение 3 (обобщенные функции медленного роста). ------------------------------	58
Пример 2. --------------------------------------------------------------------------------------------	58
Лемма 1 (инвариантность преобразования Фурье).----------------------------------------	58
Пример 3 (Фурье-образ функции Дирака). --------------------------------------------------	58
Пример 4 (формула обращения).---------------------------------------------------------------	59
Пример 5 (разложение -функции на плоские волны).-----------------------------------	59
§9. Оператор Лапласа и обобщенные функции -----------------------------------------------	59
Пример. ----------------------------------------------------------------------------------------------	59
Определение (фундаментальное решение оператора Лапласа). ------------------------	61
Замечание 1. ----------------------------------------------------------------------------------------	61
Замечание 2 (решение уравнения Пуассона). -----------------------------------------------	61
Уравнение Гельмгольца. -------------------------------------------------------------------------	61
Факт 1 (фундаментальные решения уравнения Гельмгольца). --------------------------	61
Задача.------------------------------------------------------------------------------------------------	62
Проблема. -------------------------------------------------------------------------------------------	62
Глава 4 «Метод ВКБ – Маслова для уравнений, содержащих малый параметр при
производной»------------------------------------------------------------------------------------------------	63
§1. Метод регулярной теории возмущения (для О.Д.У.)------------------------------------	63
Постановка задачи.--------------------------------------------------------------------------------	63
Решение задачи.------------------------------------------------------------------------------------	63
§2. Метод сингулярной теории возмущения для О.Д.У. (метод ВКБ) ------------------	64
Постановка задачи.--------------------------------------------------------------------------------	64
Замечание 1. ----------------------------------------------------------------------------------------	64
Замечание 2. ----------------------------------------------------------------------------------------	64
Замечание 3. ----------------------------------------------------------------------------------------	64
Идея решения. --------------------------------------------------------------------------------------	64
Утверждение 1.-------------------------------------------------------------------------------------	65
Утверждение 2.-------------------------------------------------------------------------------------	65
Теорема (о решении задачи).--------------------------------------------------------------------	66
§3. Метод ВКБ-Маслова для уравнения Шредингера---------------------------------------	66
Постановка задачи.--------------------------------------------------------------------------------	66
Замечание 1 (переход к классической механике). ------------------------------------------	66
Идея решения. --------------------------------------------------------------------------------------	67
Утверждение 1 (о решении уравнения Шредингера). -------------------------------------	67
Решение задачи.------------------------------------------------------------------------------------	68
Утверждение 2 (о переходе к уравнению неразрывности). ------------------------------	68
Замечание 2 (решение уравнения неразрывности). ----------------------------------------	68
Замечание 3 (о доказательстве утверждения 2). --------------------------------------------	69

Уравнения математической физики, семестр 1. Содержание.

	6
Утверждение 3.-------------------------------------------------------------------------------------	69
Замечание 4. ----------------------------------------------------------------------------------------	69
Заключительное замечание ко всему курсу.-------------------------------------------------	69
Предметный указатель----------------------------------------------------------------------------------	70

Уравнения математической физики, семестр 1. Содержание.

Предварительная информация о стиле и форме изложения

Перед изучением данного курса требуется знание курсов математического анализа, функционального анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений, теории вероятностей, а также курса общей физики.

Весь курс лекций подразделен на главы, которые подразделяются на параграфы. Внутри параграфов текст, как правило, группируется по определениям, теоремам, замечаниям, примерам и т.п. Теоремы, как правило, сопровождаются доказательствами, которые иногда находятся не непосредственно после них.

Разный смысл/важность, вкладываемый в то или иное слово/символ в лекциях обозначается разной маркировкой текста

1)Название главы: Глава;

2)Название параграфа: Параграф;

3)Обозначение определения, теоремы, примера, замечания и т.п.: Определение;

4)Обозначение подпунктов: Доказательство;

5)Выделение (подчеркивание важности): самостоятельно;

6)Определяемый термин: У.М.Ф.;

7)«Пусть/Тогда» в теоремах: Пусть;

8)Математическая символика: u(x,y,z)=0;

9)Обычный текст: уравнение.

Различные уравнения, условия, утверждения, как и в любой математической литературе, здесь принято обозначать для указания на них в последующем либо цифрами ( (1), (2) и т.д.), либо звездочками ( (*), (**) и т.д.). Возможно также добавление штрихов ((1’), (*’)). Возможно и нестандартное обозначение.

В тексте приняты сокращения:

1)У.М.Ф. – уравнения математической физики;

2)У.Ч.П. – уравнения в частных производных;

3)О.Д.У. – обыкновенные дифференциальные уравнения;

4)Т.е. – то есть;

5)Т.п. – тому подобное;

6)Т.к. – так как;

7)Т.о. – таким образом;

8)Т.д. – так далее.

Все остальные символьные обозначения читающему должны быть знакомы из преды-

дущих курсов. Например,		- скалярное произведе-

	D - замыкание множества D, a,b
ние.

Уравнения математической физики, семестр 1. Предварительная информация о форме и стиле изложения.

Введение

Предмет У.М.Ф – уравнения в частных производных (У.Ч.П.), представляющие собой математические модели физических процессов в непрерывных средах.

Цель У.М.Ф – изучить точные (аналитические) и приближенные методы решения У.Ч.П., а также дать вывод ряда У.Ч.П., моделирующих процесс тепломассопереноса и передачи.

Первичные понятия.

Непрерывная среда – это множество D Rn.

Состояние среды – это отображение u: D R1. u = u(x1,x2,…,xn).

Процесс – это связь между функцией u, переменными xi и частными производными функции

Dk u	k u		, k	N, k	k		k, k N.
Dk u			, k	N, k	k	n	k, k N.
	xk1	xkn	i	1		n
	xk1	xkn
	1	n

k – порядок уравнения. n – размерность уравнения.

Это и есть У.Ч.П.: L (x, u(x), Du, D2u,…,DNu) = 0.

L – любая гладкая функция всех своих аргументов. N – порядок.

Примеры.

1) u = -4 (x), x R3, n=3.

3	2
			, N = 2.
	x	2
i 1		i

Это Уравнение Пуассона – уравнение 2-ого порядка. Оно линейное, неоднородное, стационарное.

2) 2u a2 u(x,t) , n = 4, N = 2.

t 2

Это Волновое уравнение колебаний – уравнение 2-ого порядка, линейное, в пространстве 4-х переменных, нестационарное.

Уравнения математической физики, семестр 1. Введение.

Глава 1 «Уравнения 1-ого порядка»

L(x , x		, , x		,	u	, ,	u		,u) 0 , L – произвольная гладкая функция.
L(x , x		, , x		,	x	, ,	x		,u) 0 , L – произвольная гладкая функция.
1	2		n		x		x	n
					1			n

Порядок N=1, x Rn.

Основной результат математического анализа XIX века говорит: интегрирование У.Ч.П. 1-ого порядка сводится к интегрированию некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений (О.Д.У.) 1-ого порядка.

§1. Линейные У.Ч.П. 1-го порядка

Пример (линейное уравнение бегущей волны).

Рассмотрим стальную бесконечную проволоку (струну).

u(t, x)		t 0 f (x);	u(t, x)		t 0 f (x at);	f ( ) C1 (R1 ).

волна бежит вправо

После отклонения побежит волна.

u f (x ta) at

u f (x ta) 1x

Умножим второе уравнение на a и вычтем его из первого. Получим:

( )u a u 0 , N=1, n=2.

t x

Функция u(x,t) – общее решение уравнения.

Уравнение (*) – линейное уравнение бегущей волны.

Понятие линейного уравнения 1-ого порядка.

(1)x a(x) ; x D Rn, D – область.

(1)dxi ai (x1 , x2 , , xn ), i 1,2, , n d

(2)x 0

По теореме о существовании и единственности в Rn x=X( , ), I = (- , ). l = {x=X( , ), I }.

	ˆ	n
Положим La ai				(x)			a(x),		(3).
Положим La ai				(x)		xi	a(x),	x	(3).
ˆ		i 1	u			xi		x
ˆ	n		u
Lau 0 ai (x)					0		(4).
Lau 0 ai (x)			xi		0		(4).
	i 1		xi

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 1 «Уравнения 1-ого порядка».

Уравнения (4) называются линейными уравнениями 1-ого порядка с произвольным числом независимых переменных.

Для уравнений (4) исходная система (1) называется характеристической, а ее реше-

ния – характеристиками или характеристическими кривыми.

Построим общее решение системы (4) на основе фактов из курса О.Д.У.

Теорема 1.

Пусть в области D задано векторное поле a(x) 0.

Тогда u(x) - 1-ый интеграл системы (1) u(x) удовлетворяет уравнению (4).

Доказательство.

Пусть u(x) – первый интеграл, т.е. такая функция, которая постоянна на любой фазовой траектории системы (1), т.е. u(x) l const.

(5) u(X( , ))=const I , D.

Продифференцируем (5) по :

u( X ( , ))

( X ( , ))

ai ( X ( , ))

( X ( , ))

I , D.

i 1

Положим =0, X(0, )= . Тогда получим соотношение:

(6)

0 ai ( )

( ), D.

i 1

А это и есть уравнение (4) в точке . А так как - произвольное, то (4) выполнено в каждой точке области D. Необходимость доказана.

Достаточность докажите самостоятельно.

Замечание 1.

u(x)		l	u( X ( , ))

d			ˆ
d			ˆ
d	u	l	(Lau)	l
d

Таким образом, уравнение (4) на характеристиках превращается в элементарное О.Д.У.

Теорема 2 (теорема существования).

Пусть x0 – не особая точка векторного поля, и пусть D=V(x0) – ее некоторая окрестность.

Тогда в области D у уравнения (1) ровно n-1 функционально-независимых 1-ых

интегралов: u1(x),…,un-1(x): rang ( ui )=n-1.x j

Замечание 2.

Пусть F C1(Rn). Рассмотрим u(x)=F(u1(x),…,un-1(x)) (7)

Можно простой выкладкой показать, что функция u(x) – тоже 1-ый интеграл, но функционально-зависимый от этих n-1 интегралов.

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 1 «Уравнения 1-ого порядка».

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.2019817.66 Кб4УМКосновы делопроизводства.doc
#
17.05.2015118.27 Кб9УММ для 3 курса по ГПП 1 полугодие.doc
#
17.05.2015113.9 Кб7УММ по ГП.docx
#
26.04.2019372.22 Кб4Умножители частоты.doc
#
10.11.20181.93 Mб2УМП ИТ в ПД.doc
#
17.05.20151.57 Mб17УМФ ЛК.pdf
#
03.09.201933.15 Кб3УП - копия.docx
#
16.08.2019691.2 Кб15УП(ос) ОДО.doc
#
17.05.201553.83 Кб9упк.docx
#
12.11.201976.29 Кб10УПМБ сем 1.docx
#
18.03.2016192.3 Кб192УПответы.docx