УМФ ЛК

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(15) (x, )

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

1.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

	1
		4 (x) , что и требовалось.

r

Определение (фундаментальное решение оператора Лапласа).

Фундаментальным решением оператора Лапласа в Rx3 называют функцию

(x, ) D': (x, ) (x ), x, R3 (8)

Замечание 1.

Из примера вытекает, что фундаментальным решением оператора Лапласа является

(x, )	1	1		(9)
	4		x

Это вытекает из того, что

4 (x ) в силу примера.

Замечание 2 (решение уравнения Пуассона).
Из (8) и (9) вытекает решение уравнения Пуассона: u 4 (x),				x R3 ,	- фи-
нитная с носителем 0 - ограниченная область в R3. Его решение:
(10) u	1		( )d 3

		x

0
0
Эта формула следует из того, что (x) (x ) ( )d 3 . Для строгого доказа-
			0

тельства следует подставить (10) в уравнение Пуассона и воспользоваться результатом примера (формулой (1)).

Уравнение Гельмгольца.

(11)

k 2

u F(x), k R - уравнение Гельмгольца.

Рассмотрим функцию V (x,t) e i t u(x)

(13)

Эта функция удовлетворяет уравнению

a2 V f (x) (12)

t 2

Подставим (13) в (12) и обозначим

k 2 ,

f (x)

F (x) . Тогда мы получим (11).

Здесь k

- волновой вектор.

Фундаментальное решение - k (x, ):

(14) ( k 2 ) k (x, ) (x ).

Факт 1 (фундаментальные решения уравнения Гельмгольца).

Имеются два фундаментальных решения:

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 3 «Элементы теории обобщенных функций».

При k=0 эта функция становится фундаментальным решением оператора Лапласа:

	1
k 0			.
	4	x

Задача.

Доказать факт 1, воспользовавшись правилом Лейбница и формулой:

Проблема.

Какое из этих двух решений плохое?

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 3 «Элементы теории обобщенных функций».

Глава 4 «Метод ВКБ – Маслова для уравнений, содержащих малый параметр при производной»

ВКБ – Вентуель Крамерс Бриллиэн.

Метод ВКБ – для О.Д.У. Метод Маслова – для У.Ч.П.

§1. Метод регулярной теории возмущения (для О.Д.У.)

Постановка задачи.

Дано уравнение:

(1) y 2 (x, ) y 0.

0< <<1 и 2 (x, ) 0			2 (x) 1 (x) 2 2 (x) , 0, x - асимптотический ряд.
Если =0, то y		2 (x) y		0	0		(2)
0	0
Если 2 (x) const			2 y			0	C	ei 0 x C	e i 0 x .
0		0

Требуется изучить y(x, ) при 0, если все известно о y0(x).

Решение задачи.

Вид решения:

(3)y(x, ) y0 (x) y1 (x) 2 y2 (x)

Здесь y0, y1, y2,… - подлежат определению так, чтобы функция (3) приближенно удовлетворяло уравнению (1).

y y y 2 y - подставим это выражение в (1).
0	1	2						(x) y y 2 y 0
(1) y y		2 y		2 (x)	1	(x) 2	2	(x) y y 2 y 0
0	1	2	0		1		2	0	1	2

Соберем все коэффициенты при одинаковых степенях :

(4)

2 (x) y

y 2

(x) y

O( 2 )

d 2

2 (x, ) y

1 0

Обозначим:

d 2

(x, ) L (i

, x, ) - по 0 оператор зависит регулярно.

dx2

d 2

( i).

dx2

Используем принцип независимых коэффициентов в (4).

Если L1( y(x, ))=Ox( ),

(x) y0 0

то y0 0

(5)

Если L1( y(x, ))=Ox(

), то y1 0

(x) y1 y0 (x) 1 (x)

(6)

И т.д.

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 4 «Метод ВКБ – Маслова для урав- нений, содержащих малый параметр при производной».

§2. Метод сингулярной теории возмущения для О.Д.У. (метод ВКБ)

Постановка задачи.

(1)

(x) y 0,

1 L2

( i

, x)

(x) : L2

( i

, x) y(x, ) 0

lim y(x, ) y0 (x).

Проблема: как ведет себя y=y(x, ) при 0?

Замечание 1.

К (1) приводит уравнение из предыдущего параграфа, если 2 (x, ) 2 (x ). Действительно, введем новую переменную: x x . Тогда:

( 2 (x ))

2 (x ) O

( ) ( 0) , т.е. мы имеем уравнение (1) с медленно

меняющейся частотой. Действительно:

d 2

уравнение из предыдущего пункта принимает вид:

dx2

dx 2

(x ) y(x , ) 0

, что есть уравнение (1).

dx 2

Замечание 2.

Метод регулярной теории возмущения приводит к абсурду:

("2") y(x, ) y0 (x) y1 (x)

Подставим (2) в (1), соберем члены при k и приравняем их к нулю. Получим:

0 : 2 (x) y0 (x) 0,

1 : 2 (x) y1 (x) 0, y 0 нет такого анзатца.

Замечание 3.

Пусть 2 (x) const 2 . Тогда решение уравнения (1) легко находится:

y(x, ) C

lim y(x, ) , т.к. lim sin

S ( x)

Запишем решение в следующем виде: y(x, ) C

, где S (x) (x)

Идея решения.

Анзатц приближенного решения (1) будем искать в виде искаженной плоской волны, т.е. в следующем виде:

S ( x) (x);

(2)

y(x, ) e

Здесь S(x), (x) - функции, которые подлежат определению.

Подставим (2) в (1). Для этого понадобится формула Лейбница:

S ( x)

S ( i )

S (x)e

(x)

(x) e

d 2

(3)

S ( x)

(3)

S ( x) S (S (i ) ) (i )(S S (i ) )

S ( x) S 2 ( i ) 2S S ( i )2

(3)

S ( x) (x) e

S ( x) S 2 i 2S S 2

(4)

Замечание.

- волновое число. 0 k , т.е. в данной задаче рассматривается

коротковолновое приближение.

Подставим (2) в (1), используя (4), и соберем члены 0, 1, 2.

S ( x) 0 S 2

2 i 2S S 2 (x) (5)

S ( x)

S ( x) O( ) S 2 2 (x) 0

Пусть L

S 2 2 (x) 0 (i)

Это уравнение на фазу S.

Пусть L

S ( x) O( 2 ) 2S S 0 (ii)

Утверждение 1.

Если S(x) и (x) удовлетворяют (i) и (ii), то:

d 2

S ( x)

(x)

(x) O( 2 ).

Утверждение 2.

1) S(x), удовлетворяющее (i), имеет вид: S (x) (x)dx

2) (x), удовлетворяющее (ii), имеет вид: (x)

S (x)

(6)
	C	(7)

	(x)
	(x)

Обоснование формулы (7).

Сделаем замену: (x)

f (x);

S (x)

S(x) (x)dx .

S (x)

Пусть

S (x)

(x) 0,

S (x)

- гладкая функция.

Подставим в (ii):

S (x)

dfdx 0 f const , что и требовалось.

Теорема (о решении задачи).

Пусть (x)>0.

Тогда ВКБ-решение уравнения (1) имеет вид:

2S (x)		df	0

	S (x)	dx
	S (x)	dx

			i	x			i	x
			i	( x)dx			i	( x)dx
				( x)dx				( x)dx
y(x, )	C e x0				C e x0
y(x, )


		(x)				(x)

Эта функция удовлетворяет уравнению (1) с точностью до O( 2 ) ( 0).

Эта теорема автоматически вытекает из утверждений 1 и 2.

§3. Метод ВКБ-Маслова для уравнения Шредингера

Постановка задачи.

Вспомним уравнение Шредингера и поставим для него задачу Коши:

			h2
ih	t		2m V (x,t)			(1)
			i
			i	S0 ( x)
		e h		S0 ( x)	(x)	(2)
		e h			(x)	(2)
	t 0			0
	t 0			0

Cчитается, что h<<1 (т.е. здесь роль играет h).

Замечание 1 (переход к классической механике).

Если h 0, то данная задача переходит в задачу классической механики.

(1')	H (x, p)			p2	V (x,t)
(1')	H (x, p)			2m	V (x,t)
				2m
	p xV ,

(2')		p		m x xV (x,t) - уравнение Ньютона.
(2')		p		m x xV (x,t) - уравнение Ньютона.
	x		.
	x		.
		m

Идея решения.

Решение уравнения (1) ищем в виде:

i S ( x,t )

(3) (x,t) e h (x,t)

Распишем вторую частную производную по x этого решения. Результат будет аналогичен полученному в предыдущем параграфе.

h2 h2

x j

j 1

S ( x,t )

(x,t)

e h

( 1)

ih 2

, j 1,2,3.

x j

x j x j

x j

2 S

(4)

(ih)

x j

2m x j x j

2m x j

Найдем частную производную по t функции (3):

e h

(4') ih

e h

(ih)

Представим (1) в операторной форме:

(1) L

V (x,t) 0

Подставим (3) в (1), используя (4) и (4’) и соберем члены при степенях h. В результате получим:

(5)

L e

0 S

e h

V (x,t)

(ih)

S ( x,t )

Пусть

(x,t)

O(h) (h 0)

V (x,t) 0

(i)

S 2

V (x,t) 0

S(x,t) ?

S ( x,t )

Пусть

(x,t)

O(h

) (h 0)

(ii)

1 S, 1 S 0

Утверждение 1 (о решении уравнения Шредингера).

Если S и - гладкие решения (i) и (ii), то функция (3) является приближенным с точностью до O(h2) решением уравнения (1), т.е.

		i	S	h2		i	S
L			S	h2			S	O(h		) (h 0)
L	e				e	h		O(h	2	) (h 0)
ˆ		h				h			2
1				2m
				2m

Доказательство очевидно в силу конструкции.

Решение задачи.

Из начальных условий для (1) следуют начальные условия (i’) и (ii’) для уравнений

(i) и (ii) соответственно:

S(x,t)

(x,t)

t 0	S0 (x)	(i )
t 0	0 (x)	(ii )

	(i)						S
		-	задача			Коши для уравнения Гамильтона Якоби		H (x, S,t) 0 , где
(i )							t
H (x, p,t)			1		2	V (x,t) .
				p
			2m	p
			2m

Ее решение определяется системой Гамильтона-Якоби:

(x,t),

t 0

S(x

t 0

(ii) линейное уравнение 1-ого порядка. Способ его решения подробно был рассмотрен в §1 и §3 главы 1.

Утверждение 2 (о переходе к уравнению неразрывности).

Замена (x,t) 2 (x,t) сводит задачу (ii)-(ii’) к следующей задаче:

(6)
			div V (x,t) 0,
	t

				0 (x)	2	(x).

(7)		t 0			0

Уравнение (6) – уравнение неразрывности.

	1
Здесь V (x,t)		S - потенциальное поле.
Здесь V (x,t)	m	S - потенциальное поле.
	m

rotV (x,t) 0.

Замечание 2 (решение уравнения неразрывности).

	0	(x	0	)

Решение этой задачи: (x,t)					x x (t) (8)

J (x0 ,t)					0 0

Здесь x0(x,t) определяется из уравнения: x=X(x0,t). А X и J определяются как решение задачи:

V (x,t)

t 0 x0 ,

(9)

J (x

,t) det

(x ,t) .

Замечание 3 (о доказательстве утверждения 2).

Оно доказывается на основе формулы: div V

, divV.

divV

div

Утверждение 3.

)

(x,t)

x (x,t) (8')

J (x0 ,t)

Это автоматически следует из утверждения 2.

Замечание 4.

Итак, мы получили, что асимптотическое решение (1)-(2):

(x,t, h) e h S ( x,t ) (x,t) O(h2 ) (10)

Здесь функции S и определяются формулами (8’), (9) и решениями (i)-(i’) и (ii)-

(ii’).

X(x0,t), x0 R3, определяется из уравнения Ньютона: m x xV (x,t) .

Заключительное замечание ко всему курсу.

Спасибо всем, кто слушал (читал) мои лекции. Желаю всем благополучно сдать экзамены.

Профессор Белов В.В. 20.12.2000г.

Студент 3 курса Ярчук С.В. 3.02.2001г.

Предметный указатель

алгоритм решения задачи Коши для квазилинейного уравнения, 14

безопасность ядерного реактора, 34

векторное поле, 14 волновое уравнение колебаний, 8 волновой вектор, 61

действие по Гамильтону, 22 дельта образная последовательность, 49

задача «ГИБДД», 12 задача для струны, 39

задача Коши для квазилинейного уравнения, 13

задача о трубе, 19 задача Штурма-Лиувилля, 32 закон Фурье, 30

инвариантность преобразования Фурье,

интеграл в смысле главного значения, 48 интегральная поверхность, 14

квазилинейное уравнение, 11 классическое преобразование Фурье, 55 компакт Шварца, 41 концентрация, 29 корректно-поставленная задача, 36 коэффициент диффузии, 29

коэффициент диффузии нейтронов, 35 коэффициент теплопроводности, 29 краевое условие III-го рода, 30 краевое условие II-го рода, 30

краевое условие I-ого рода, 30

лагранжева поверхность, 28 лемма Гамильтона, 25 лемма Лебега, 55 лемма Лиувилля, 21

линейная замена переменных в обобщенных функциях, 52

линейное уравнение 1-ого порядка, 10 линейное уравнение бегущей волны, 9

матрица Якоби, 21 метод ВКБ, 64 метод Фурье, 32 мираж, 27

начально-краевая или смешанная задача,

непрерывная среда, 8 нестационарное уравнение Гамильтона-

Якоби, 22 носитель, 40

носитель - функции, 47

обобщенная функция, 46 обобщенно регулярные функции, 46

обобщенное преобразование Фурье, 57 обобщенное уравнение Гамильтона-

Якоби, 27 обобщенные функции медленного роста,

общее линейное уравнение, 15

первообразная от - функции, 47 переменные Лагранжа, 12 переменные Эйлера, 12 переход к классической механике, 66 плотность вещества, 29

плотность источников вещества, 29 плотность тепловых источников, 29 пористость среды, 29 порядок уравнения, 8

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.2019817.66 Кб4УМКосновы делопроизводства.doc
#
17.05.2015118.27 Кб9УММ для 3 курса по ГПП 1 полугодие.doc
#
17.05.2015113.9 Кб7УММ по ГП.docx
#
26.04.2019372.22 Кб4Умножители частоты.doc
#
10.11.20181.93 Mб2УМП ИТ в ПД.doc
#
17.05.20151.57 Mб17УМФ ЛК.pdf
#
03.09.201933.15 Кб3УП - копия.docx
#
16.08.2019691.2 Кб16УП(ос) ОДО.doc
#
17.05.201553.83 Кб10упк.docx
#
12.11.201976.29 Кб10УПМБ сем 1.docx
#
18.03.2016192.3 Кб193УПответы.docx