УМФ ЛК

11

Теорема 3 (об общем решении линейного уравнения).

В области D, где a(x) 0, общее решение u(x) уравнения (4) определяется формулой: u(x)=F(u1(x),…,un-1(x)), где u1,…,un-1 – 1-ые интегралы системы (1), F C1(Rn) – любая гладкая функция.

Эта теорема очевидна.

§2. Квазилинейные уравнения: характеристики и общее решение

~

D

Определение (квазилинейное уравнение).

Замечание 1.

Если b(x,u)=f(x)-b(x)u, а a(x,u) не зависит от u, то получаем уравнение:

Утверждение 1 (характеристическая система квазилинейного уравнения).

Характеристической системой для уравнения (1) является автономная система в

~ n+1

D R следующего вида:

Теорема 1 (об общем решении квазилинейного уравнения).

Произвольное гладкое решение У.Ч.П. (1) неявно задано уравнением вида:

F(v1(x,u), v2~(x,u),…,vn(x,u))=0 (3)

в области D , где v1,v2,…,vn – n первых интегралов характеристической системы (2), а функция F – любая гладкая функция n переменных (F C1(Rn)).

Доказательство утверждения 1 и теоремы 1.

Следует из предыдущего параграфа, а именно: пусть u(x) – гладкое решение уравнения (1). Будем считать, что оно определено неявным образом из уравнения:

(4) V(x1 ,x2 ,…,xn ,u(x))=0 ( Vu 0 ).

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 1 «Уравнения 1-ого порядка».

12

(5) – линейное уравнение относительно функции V.

Итак, с учетом теоремы из предыдущего параграфа, утверждение 1 доказано. Более того, по этой теореме общее решение уравнения (5) есть произвольная

гладкая функция от n независимых 1-ых интегралов системы (2), а, следовательно,

(4):

V=F(v1,v2,…,vn(x,u))=0 – задает неявно u(x).

Итак, теорема 1 также доказана.

Пример (уравнение Эйлера).

Уравнение Эйлера (уравнение нелинейных волн).

Воспользуемся теоремой 1. Выпишем характеристическую систему:

Замечание 2 (задача «ГИБДД»).

Уравнение нелинейных волн может быть получено при решении задачи «ГИБДД», а именно: рассмотрим модель однородной среды, состоящей из континуального множества точек, каждая из которых имеет начальную скорость v0( ) и движется вдоль оси равномерно и прямолинейно (к примеру, это может быть жидкость).

x v0 ( ) t x 0.

X ( ,t)

( ,t) – в гидромеханике переменные Лагранжа, а (x,t) – переменные Эйлера.

Определим скорость потока u.

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 1 «Уравнения 1-ого порядка».

§3. Задача Коши для квазилинейного уравнения

Постановка задачи Коши для квазилинейного уравнения.

Пусть n=2. Тогда квазилинейное уравнение принимает вид:

Пусть - гладкая кривая в R2 :

={x, x=X( )=(X1( ),X2( )), I0 R1}.

Пусть u0 – заданная функция на : u0 u0 ( ), I0 ;

(2) u u0 u0 ( )

Задача {(1), (2)} – это задача Коши для квазилинейного уравнения (1).

Геометрическая интерпретация задачи в расширенном фазовом пространстве.

u n(M )

v(M )

u0 ( ) M

x2

x1

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 1 «Уравнения 1-ого порядка».

14

u(x1,x2) Su={(x,u) R3, u=u(x1,x2)}.

Назовем эту поверхность интегральной. Тогда решить задачу {(1), (2)} означает провести интегральную поверхность, взаимно однозначно проектируемую на конфигурационное пространство и проходящую через кривую ( ).

, где a(x,u) R2, - векторное поле характеристической систе- v(x,u) (a(x,u),b(x,u))

мы.

Перепишем соотношение (1) в эквивалентном векторном виде:

a(x,u), xu b(x,u)

Т.о. интегральная поверхность в каждой точке касается векторного поля характеристической системы (сравни с О.Д.У.).

А с другой стороны характеристика LM={x=X( ), u=U( )} также касается векторного поля характеристической системы характеристика лежит на интегральной поверхности, или, другими словами, интегральная поверхность расслаивается на характеристики.

Задача.

Пусть M0 Su. Доказать, что LM0 Su .

Мораль: как решать задачу Коши?

Надо взять начальные точки M0, лежащие на кривой и из каждой точки выпустить характеристики LM 0 . Их будет континуальное количество. И т.о. :

LM0 ( ) Su .

I0

Алгоритм решения задачи Коши {(1), (2)}.

1) Выведем по виду уравнения (1) систему характеристик:

2) Поставим для этой системы задачу Коши с начальными условиями на кривой

(см. рис.1) :

~

DI0 ,

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 1 «Уравнения 1-ого порядка».

15

4) Разрешим систему {(3), (4)} относительно и :

(x),

(5)

(x).

При этом мы предполагаем, что выполнено условие

Формула работает только в области {x, x=X( , ), I , I0}=V ( ) - -окрестность кривой .

5)Определим функцию u по формуле:

(6)u(x1 , x2 ) U ( , ) ( x) .

( x)

Утверждение 1 (о справедливости алгоритма).

Если функция u(x) определяется формулой (6), и u(x) C1(V ( )), то она есть решение задачи Коши {(1), (2)}, причем единственное.

2) Надо доказать, что a(x,u),xu b(x,u) (1').

Фиксируем точку M Su. Через эту точку проходит единственная характеристика L . Все такие характеристики не пересекаются.

Заметим, что:

(6') u(X ( , )) U ( , ).

Согласно алгоритму:

a(x,u), xu a( X ( , ),U ( , )), xu( X ( , )) ddx ( , ), xu( X ( , ))

dd (u( X ( , ))) dd U ( , ) b( X ( , ),U ( , )).

Т.к. M – произвольная точка, то (1’) выполнено в каждой точке окрестности.

Замечание (задача Коши для линейного уравнения).

Рассмотрим задачу Коши для общего линейного уравнения:

Алгоритм решения задачи Коши для системы {(7), (8)} получается из предыдущего алгоритма следующей заменой:

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 1 «Уравнения 1-ого порядка».

16

(9), (10) определяют систему характеристик l ={x=X( , ), I , I0 }. Для (11) ставится задача Коши:

(12) U 0 u0 ( ).

Решение задачи {(11), (12)} – решение однородного О.Д.У. f ( , ) f (x) l

b( , ) b(x) l

Пункты 3), 4), 5) следуют предыдущему алгоритму.

Утверждение, аналогичное утверждению 1, в данном случае доказывается в одну

§4. Корректность алгоритма решения задачи Коши

Теорема 1 (о корректности алгоритма для квазилинейного уравнения).

Пусть в области D Rx3,u , D {u} , выполнены следующие условия:

1) и u0 – гладкие функции ( C1(I0)).

={x=(x1( ), x2( )), I0}. u0= u =u0( ).

3) Проекция характеристик, выходящих из кривой , ни в одной своей точке не каса-

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 1 «Уравнения 1-ого порядка».

u

17

v

x2

a

x1

Тогда в некоторой достаточно малой окрестности V ( ) кривой рассматриваемый выше алгоритм определяет 1 раз дифференцируемую функцию.

V ( )={x=X( , ), I0, I , и J( , ) 0}.

~

D

Доказательство.

Доказательство следует из курсов О.Д.У., математического анализа, а также из формул алгоритма, а именно:

1)Функции X( , ), U( , ) (из первого и второго пунктов алгоритма) существуют, 1 раз дифференцируемы по и по в силу теорем О.Д.У. о существовании решения задачи Коши и о дифференцировании решения задачи Коши по параметру.

2)Функции (x) и (x) существуют и принадлежат C1 при выполнении условия

(*)по теореме об обратной функции.

3)Покажем, что выполняется условие (*), а именно:

силу последнего пункта алгоритма функция u(x)=[U( (x), (x))] является один раз дифференцируемой, как композиция двух дифференцируемых функций.

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 1 «Уравнения 1-ого порядка».

18

Теорема 2 (о корректности алгоритма для линейного уравнения).

Пусть:

1) и u0 C1, т.е. u0( ) C1(I0), X( ) C1(I0).

2)Коэффициенты уравнения a(x), b(x), f(x) C1(D), D R1 ( D).

Причем a(x) 0 x D, т.е. векторное поле не имеет точек покоя.

3)Векторное поле характеристической системы нив 1 точке гиперповерхности не касается этой поверхности, т.е. l1( ),…,ln-1( ), a(X( )) – линейно независимы, т.е.

Тогда рассматриваемый алгоритм, описанный подробно для случая n=2, получается заменой на =( 1,…, n-1) и определяет в достаточно малой окрестности V ( ) 1 раз дифференцируемую функцию, где V ( )={x=X( , ), I0, I , J( , ) 0}.

Доказательство аналогичное.

Упражнение.

Сформулируйте задачу Коши для квазилинейного уравнения размерности большей, чем 2.

Замечание (о катастрофе в решении).

Нарушение условия (*) приводит к катастрофам в решении задачи Коши, а именно: там, где (*) нарушается, решение может стать многозначным, а следовательно происходит ветвление решения или потеря его гладкости.

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 1 «Уравнения 1-ого порядка».

19

§5. Моделирование потока жидкости в «трубе»

x R3

Постановка задачи.

Рассматривается идеальная, сжимаемая жидкость, идущая по трубе, в каждой точке которой задано трехмерное поле скоростей, и плотность в начальный момент времени:

t 0 0 ( x ). Требуется определить плотность а каждый момент времени:

(x,t)=?.

Требуется также определить, существует ли такое t*: (x,t*)= . Т.е. требуется определить, взорвется ли труба.

Вывод уравнения.

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 1 «Уравнения 1-ого порядка».

20

Решение задачи о «трубе».

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 1 «Уравнения 1-ого порядка».