Тема 5.4. Уравнение фигуры. Приложение метода координат к решению стереометрических задач

Литература: [8], гл.2, §2, стр. 184–195; [11], гл. 4, § 4.1, стр. 335–348; [27], гл.6, § 57-58, стр. 204-211.

Основные определения, теоремы и формулы

Уравнение (неравенство) или система уравнений (неравенств), которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры и не удовлетворяют координаты точки, не принадлежащей ей, называетсяуравнением(неравенством),определяющим фигурув данной системе координат. Уравнение, определяющее фигуру, называют такжеуравнением фигуры.

При выводе уравнения любой фигуры целесообразно действовать в следующей последовательности:

1. Символически записать рассматриваемую фигуру, как множество точек в следующем виде: , где вместо многоточия символически записывается характеристическое свойство точек фигуры.

Например, если окружность с центром в точкерадиуса, то следовало бы записать так:

2. Определить, является ли характеристическое свойство аффинным или метрическим.

3. Если свойство является аффинным, то выбирать удобную аффинную систему координат. Если свойство метрическое – прямоугольную систему координат.

4. Считая координаты точки произвольными, записать характеристическое свойство на языке координат. Это и будет уравнением фигуры.

Пример. Описать фигуру, для каждой точки которой сумма квадратов расстояний до трех данных взаимно перпендикулярных прямых постоянна.

Решение. Составим уравнение искомой фигурыи по виду уравнения определим ее вид.

Пусть – данные в условии задачи плоскости. Тогда

.

Характеристическое свойство точек фигуры является метрическим, поэтому необходимо выбрать прямоугольную систему координат. Примем плоскости за координатные плоскостиТогда для точкихарактеристическое свойство примет видЗначит– есть сфера с центром в точке пересечения плоскостей, радиус которой равен

Вопросы для самоконтроля

1. Что называют условием, определяющим фигуру Фв данной системе координат? Что называется уравнением фигурыФ?

2. Какая фигура задаётся в прямоугольной декартовой системе координат уравнением:

а) (х – а)² + (y - b)² + (z - c)² = r², r > 0,

б) x² + y² + z² + Ax + By + +Cz + D = 0?

3. Фигуры Ф₁иФ₂имеют в некоторой системе координат уравненияF₁(x, y, z) = 0 иF₂(x, y, z) = 0. Какая фигура определяется каждым из следующих условий:

а) F₁(x, y, z) ¹ 0, б)F₁(x, y, z)× F₂(x, y, z) = 0,

в) F₁²(x, y, z) + F₂²(x, y, z) = 0,

г) системой уравнений F₁(x, y, z) = 0,F₂(x, y, z) = 0, д)

4. Дана аффинная система координат О. Написать уравнения её:

а) координатных плоскостей, б) координатных осей. Какая фигура определяется уравнением

5. Какой вид имеют формулы преобразования аффинных систем координат? Как получить уравнение фигуры Фв новых координатах, если известно её уравнениеF(x, y, z)=0 в старой системе координат?

6. Как получить уравнение сферы радиуса r > 0 с центром в начале координатОв декартовой системе координатО, если известно, что

Задачи

1. Какая фигура задаётся уравнением:

а) x² + y² + z² = r², r > 0;

б) x² + y² + z² – r² +

в) х = 0,

г) д)

е) x² + y² + z² – 6x + 8y + 2z + 10 = 0?

2. Найти множество всех точек пространства, для каждой из которых:

а) сумма квадратов расстояний до двух данных точек АиВ есть постоянная величинас²,

б) разность квадратов расстояний до точек АиВ есть постоянная величинас².

3. Найти множество всех точек пространства, для каждой из которых отношение расстояний до данных точек АиВ равно отношению данных отрезковm иn,гдеm ¹ n.

4. Доказать, что плоскости, проходящие через биссектрисы плоских углов трёхгранного угла перпендикулярно к граням этих углов, пересекаются по одной прямой.

Домашнее задание

1. Найти множество всех точек пространства, каждая из которых равноудалена от двух данных точек А иВ.

2. Доказать, что диагональ АС₁параллелепипедаАВСDA₁B₁C₁D₁делится плоскостямиBDA₁иB₁D₁Cна три равные части.

3. Доказать, что сумма квадратов площадей шести диагональных сечений параллелепипеда в два раза больше суммы квадратов площадей всех его граней.

4. Прямая образует равные углы с ребрами трехгранного угла, все плоские углы которого прямые. Найти косинусы этих углов.

5. Доказать, что противоположные ребра правильного тетраэдра взаимно перпендикулярны.

Задачи повышенной трудности

1. Доказать, что все высоты тетраэдра пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда суммы квадратов его противоположных ребер равны.

2. Доказать, что точки лежат на одной прямой, если их радиус-векторыудовлетворяют равенству

3. Доказать, что грани итетраэдраравновелики тогда и только тогда, когда общий перпендикуляр прямыхипроходит через середину ребра

4. Докажите, что плоскость, в которой лежат проекции на плоскости координат, делит отрезок, соединяющийс началом координат, в отношении, не зависящем от положения точки.