Раздел 5. Метод координат в пространстве

Тема 5. 1. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат в пространстве. Формулы преобразования координат

Литература: [1], гл.3, §1,2, стр.55–62, гл.4, §1, стр.66–69, гл.8, §1,3, стр.188–193, 196-202; [2], ч.1, гл.3, §1–2, стр.89–96; [27], гл.6, §52-54, стр. 186-196.

Основные определения, теоремы и формулы

Четверка, состоящая из точки и базисаназываетсяаффинной системой координатв пространстве и обозначаетсяТочканазываетсяначалом координат, а векторы-координатными векторами.

Координатами точкив системеназываются числатакие, что

Система координат называется прямоугольной декартовойили простопрямоугольной, если базис этой системы является ортонормированным. Такая система координат с началом в точкеобозначается так:илигде

Замечание. Для решения аффинных задач в пространстве методом координат достаточно иметь аффинную систему координат. Метрические же задачи решаются в прямоугольной декартовой или просто декартовой системе координат. В дальнейшем, если не будет специальной оговорки, будем считать, что система координат соответствует типу решаемой задачи.

Вопросы для самоконтроля

1. Как, зная координаты точки, построить ее? Изобразите аффинную систему координат в пространстве и постройте точки с заданными координатами:

2. Как найти координаты точки в данной аффинной системе координат?

3. Известны координаты точек АиВв аффинной системе координат. Как найти координаты середины отрезка?

4. Что означает выражение “Точка Мделит направленный отрезокв отношении”?

5. В каком отношении делит направленный отрезок :

а) точка , б) точкаМ₂, в) серединаМотрезка?

6. Точка Мделит направленный отрезокв отношениии направленный отрезок– в отношении. Какова зависимость междуи? В каком случае=?

7. Точка Мделит направленный отрезокв отношении. Указать положение точкиМотносительно отрезка, если известно, что:

а) > 0, б) –1 << 0, в)< –1, г)= 0 ?

8. Как расположены точки МиN, делящие отрезоксоответственно в отношенияхи?

9. Как перемещается по прямой М₁М₂точкаМ(см. вопрос 7), если известно, что:

а) 0, б), в), г)–1 ?

10. Как выражаются координаты точки М, делящей направленный отрезокв отношении, через координаты точекМ₁,М₂и числом?

11. Что называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве? Как вычислить длину отрезка М₁М₂, если его концы заданы своими координатами в прямоугольной декартовой системе координат:М₁(x₁, y₁, z₁),М₂(x₂, y₂, z₂)?

12. Какая система координат называется декартовой? Как решить задачу из предыдущего примера 11, если координаты точек определены в декартовой системе координат?

13. Как вводится понятие ориентации пространства? Какая система координат называется левой (правой)?

14. Система координат О – правая. Какой будет система координатесли:

а)

б)

в)

г)

д) где;

е)

ж)

15. Являются ли одинаково ориентированными базисы иесли: а)б)

16. Какой вид имеют формулы преобразования аффинной системы координат в пространстве:

а) в общем случае, б) когда изменяется только начало координат, в) когда изменяются только базисные векторы?

17. Какой вид имеют формулы преобразования прямоугольной декартовой системы координат? Какие матрицы называются ортогональными? Является ли условие равенства ±1 определителя матрицы достаточным условием ее ортогональности?

18. Как по формулам преобразования координат определить, одинаково ли ориентированы старая и новая системы координат?

19. Могут ли одна (две, три, четыре) точки общего положения иметь одинаковые координаты в двух различных аффинных системах координат?

Задачи

1. Известны координаты четырёх вершин параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁:А(2,–1,1),В(1,3,4),D (6,0,1),А₁(4,2,0). Найти координаты остальных вершин и ориентацию базиса

2. Даны точки А(2,–1,7),В (4,5,–2). Найти отношение, в котором каждая координатная плоскость делит отрезок. Имеет ли прямаяАВ точки пересечения с осями координат?

3. Написать формулы преобразования координат при переходе от аффинной системы координат Ок системеО, если:

а) (0, 3, –1),(1, 3, 0),(0, –3, 1),(1, 1, –2);

б) (5, 0, –2),

4. Дан тетраэдр ОАВС. Написать формулы преобразования координат точек при переходе от аффинной системы координатк системе

5. Какие из формул определяют преобразование координат точек при переходе от одной аффинной системы координат к другой:

а) б)

При положительном ответе найти координаты нового начала и новых координатных векторов соответственно в старой системе координат и её базисе.

67. Доказать, что четырёхугольник с вершинами в точках А(7,2,4),В(4,–4,2),С (6,–7,8),D (9,–1,10) является квадратом. В какой системе координат решается задача?

Домашнее задание

1. Найти координаты вершин тетраэдра АВСDв аффинной системе координат:

а),

б) .

2.Найти координаты центра О параллелепипедаАВСDA₁B₁C₁D₁и центраО₁его граниВСС₁В₁ в аффинной системе координат:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

3. Отрезок АВразделен на три равные части точкамиМ₁(1,2,3) иМ₂(3,4,3). Найти координаты точекАиВ.

4. Ребро куба АВСDA₁B₁C₁D₁равно 1. Найти зависимость между координатами произвольной точкиМ в системах координат:

а) и;

б) и.

В каждом из случаев найти длину отрезка ВЕ, гдеЕ– точка, имеющая одинаковые координаты в старой и новой системах координат.

5. Доказать, что четырехугольник с вершинами в точках А(7,8,9),В(9,3,7),С(5,4,3),D(3,9,5) является ромбом. Найти его площадь.

Задачи повышенной трудности

1. Доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

2. В каком отношении плоскость, проходящая через концы трех ребер параллелепипеда, исходящих из одной вершины, делит его диагональ, выходящую из этой же вершины?

3. Доказать, что отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами тяжести противоположных граней, пересекаются в одной точке. Найти отношение, в котором эта точка делит построенные отрезки.