Тема 2.9. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды

Литература: [1], гл. 18, § 4–6, стр. 482–504; [2], гл. 7, § 4–6,

стр. 201–218; [27], гл.9, §78-80, стр.271-283.

Основные определения, теоремы и формулы

Эллипсоидомназывается поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

Однополостным гиперболоидомназывается поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

Его асимптотический конусимеет уравнение

Двуполостным гиперболоидомназывается поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

Эллиптическим параболоидомназывается поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

Гиперболическим параболоидомназывается поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

Прямая, лежащая на поверхности, называется прямолинейной образующейэтой поверхности.

Пример. Найти прямолинейные образующие однополостного гиперболоида

проходящие через его точку

Решение.Уравнение однополостного гиперболоида можно представить в виде

Значит, уравнения прямолинейных образующих имеют вид

Подставив сюда значения из первой системы получима из второй системы -Значит, искомые прямолинейные образующие задаются уравнениями

Вопросы для самоконтроля

1. Какая поверхность называется эллипсоидом? Что называется каноническим уравнением, полуосями, вершинами эллипсоида?

2. Эллипсоид задан в прямоугольной декартовой системе координат своим каноническим уравнением Верно ли утверждение, что его сечениями плоскостями, параллельными одной из координатных плоскостей, являются:

а) линии второго порядка одного типа, б) аффинно-эквивалентные линии, в) подобные линии второго порядка?

3. Как записывается каноническое уравнение эллипсоида, для которого:

а) ось 0x (0y)является осью вращения, б) обе оси0xи0yявляются осями вращения?

4. Как доказать, что:

а) любой эллипсоид аффинно-эквивалентен сфере, б) любые два эллипсоида аффинно-эквивалентны?

5. Что представляют собой сечения эллипсоида различными плоскостями?

6. Существует ли в пространстве прямая:

а) которая не имеет общих точек с данным эллипсоидом, б) все точки, которой принадлежат данному эллипсоиду?

7. Какая поверхность называется однополостным гиперболоидом? Что называется каноническим уравнением, полуосями, вершинами, действительными и мнимой осями однополостного гиперболоида?

8. Как записывается каноническое уравнение однополостного гиперболоида, для которого ось 0x (0y)является осью вращения?

9. Что называется однополостным гиперболоидом вращения? Каким образом любой однополостной гиперболоид может быть получен из однополостного гиперболоида вращения?

10. Верно ли утверждение, что любые два однополостных гиперболоида аффинно-эквивалентны?

11. Что называется асимптотическим конусом однополостного гиперболоида?

12. Что представляют собой сечения однополостного гиперболоида плоскостями, проходящими через его мнимую ось? Каким может быть пересечение этой поверхности с прямыми, лежащими в таких плоскостях?

13. Существует ли в пространстве прямая:

а) которая не имеет общих точек с данным однополостным гиперболоидом,

б) все точки, которой принадлежат этой поверхности?

14. Какая поверхность называется двуполостным гиперболоидом. Что называется каноническим уравнением, полуося­ми, вершинами, вещественной и мнимыми осями двуполостного гиперболоида?

15. Ответить для двуполостного гиперболоида на вопросы, аналогичные вопросам 8–13, сформулированным для однополостного гиперболоида.

16. Какая поверхность называется эллиптическим параболоидом. Что называется каноническим уравнением, осью, вершиной эллиптического параболоида?

17. Ответить для эллиптического параболоида на вопрос 2, сформулированный для эллипсоида.

18. Что называется параболоидом вращения? Каким образом любой эллиптический параболоид может быть получен из параболоида вращения?

19. Верно ли утверждение, что любые два эллиптических па­раболоида аффинно-эквивалентны?

20. Что представляют собой сечения эллиптического параболоида плоскостями, проходящими через его ось или па­раллельными ей? Каким может быть пересечение поверхности с прямыми, лежащими в таких плоскостях?

21. Существует ли в пространстве прямая, все точки которой принадлежат данному эллиптическому параболоиду?

22. Какая поверхность называется гиперболическим параболоидом? Что называется каноническим уравнением, осью, вершиной гиперболического параболоида?

23. Ответить для гиперболического параболоида на вопрос 2, сформулированный для эллипсоида.

24. Как можно, используя две параболы (подвижную и неподвижную), получить гиперболический параболоид?

25. Верно ли утверждение, что любые два гиперболических параболоида аффинно-эквивалентны?

26. Существует ли в пространстве прямая:

а) которая на имеет общих точек с данным гиперболическим параболоидом,

б) все точки, которой принадлежат поверхности?

27. Что называется прямолинейной образующей поверхности?

28. Привести примеры поверхностей второго порядка, которые:

а) имеют прямолинейные образующие,

б) не имеют прямолинейных образующих.

29. Написать уравнение прямой, которая проходит через данную точку: а) однополостного гиперболоида, б) гиперболического параболоида, заданного каноническим уравнением.

30. Как написать параметрические уравнения прямолинейной образующей, проходящей через данную точку поверхности второго порядка, которая задана своим уравнением

F(x, y, z) = 0 в аффинной системе координат?

Задачи

1. Написать каноническое уравнение эллипсоида, который:

а) проходит через точку (2,0,1) и содержит эллипс, данный уравнениями ,, б) пересекает плоскость0yzпо эллипсу, а плоскость0xy –по окружностиx² + y² = 25.

2. Найти множество всех точек пространства, расстояние от каждой из которых до точки (4,0,0) вдвое больше расстояния до плоскости, заданной уравнением х – 1 = 0.

3. Даны плоскость и точка А вне этой плоскости. Доказать, что множество всех точек, одинаково удалённых от данной плоскости и данной точкиА, является параболоидом вращения.

4. Даны две параболы своими уравнениями y² = 2x, иНаписать уравнение поверхности, образованной прямой, которая пересекает эти параболы, оставаясь параллельной плоскости

5. Напишите каноническое уравнение гиперболического параболоида с вершиной в начале координат, ось которого совпадает с осью Oy, если известно, что он проходит через точкиA(1,1,6) иB(0, –1,1/5)

6. Написать уравнения прямолинейных образующих гиперболического параболоида, заданного уравнением ;

а) проходящих через начало координат, б) параллельных плоскости, имеющей уравнение 6x + 4y – 8z + 1 = 0.

7. Написать уравнения прямых, проходящих через начало координат и целиком лежащих на поверхности, заданной уравнением

z = xy в аффинной системе координат.

8. Докажите, что через две пересекающиеся прямые в пространстве проходит поверхность второго порядка. Единственная ли эта поверхность?

Домашнее задание

1. Найти множество всех точек пространства, сумма расстояний от каждой из которых до точек (–4,0,0) и (4,0,0) равна 10.

2. Даны плоскость и точкаА, не лежащая в этой плоскости, а также действительное числоn, большее единицы. Доказать, что множество всех, для каждой из которых расстояние от точкиАвnраз больше расстояния до плоскости, является двуполостным гиперболоидом вращения.

3. Написать каноническое уравнение:

а) эллиптического параболоида, проходящего через точки

(1,0,1) и (0,2,1),

б) гиперболического параболоида, проходящего через точки (1,0,1) и (0,12,–1).

4. Написать уравнения прямых, проходящих через точку (6,2,8) и имеющих с поверхностью, заданной уравнением , более двух общих точек.

Задачи повышенной трудности

1. Найти множество всех точек пространства, для каждой из которых отношение расстояний до двух скрещивающихся перпендикулярных прямых равно данному положительному действительному числу

2. Даны две скрещивающиеся прямые иЧто представляет поверхность, образованная вращением прямойвокруг прямой

3. Найти множество всех точек пространства, каждая из которых равноудалена от двух скрещивающихся прямых.

4. Доказать, что гиперболический параболоид нельзя пересечь плоскостью по эллипсу.