Crack_Mат_прогр_2_Посiбн

Відповідно до теореми 3, для оптимальної стратегії першого гравця

m

U* = (u1* ,u2* ,...,um* ) і ціни гри v виконується нерівність åaijui* ³ v ( j =1,n).

i=1

Припустимо для визначеності, що v > 0. Це завжди може бути досягнуто завдяки тому, що шляхом додавання до всіх елементів матриці A того самого сталого числа С не приводить до зміни оптимальних стратегій, а тільки лише збільшує ціну гри на С.

Розділивши тепер обидві частини останньої нерівності на v , одержимо

Оскільки перший гравець прагне одержати максимальний виграш, то він повинний забезпечити мінімум величині 1/v . З врахуванням цього,, визначення оптимальної стратегії першого гравця зводиться до знаходження

i=1

m

åaij yi ³1( j =1,n); yi ³ 0 (i =1,m).

i=1

Аналогічні міркування показують, що визначення оптимальної стратегії другого гравця зводиться до знаходження максимального значення функції

Таким чином, щоб знайти розв’язок даної гри, що визначається матрицею А, потрібно скласти наступну пару двоїстих задач і знайти їхній розв’язок.

50

лінійного програмування включає такі етапи:

1.Складають пари двоїстих задач лінійного програмування, еквівалентних даній матричній грі.

2.Визначають оптимальні плани пари двоїстих задач.

3.Використовуючи співвідношення між планами пари двоїстих задач і оптимальними стратегіями і ціною гри, знаходять розв’язок гри.

Приклад 4. Знайти розв’язок гри, що визначається матрицею

Р о з в ’ я з у в а н н я . Складемо двоїсту пару задач лінійного

двоїста задача: знайти мінімум функції F* = y1 + y2 + y3 при умовах

51

Як було показано, що для всякої матричної гри можна записати симетричну пару двоїстих задач. Справедливо і протилежне: для всякої симетричної пари двоїстих задач можна записати матричну гру.

Нехай задана симетрична пара двоїстих задач:

пряма задача: F = CX , AX £ B, X ³ 0;

52

двоїста задача: F* = BY, YAT ³ C, Y ³ 0.Тоді цій симетричній парі

двоїстих задач можна поставити у відповідність гру, що визначається матрицею

де індекс Т означає операцію транспонування.

Слід зазначити, що якщо кожна матрична гра має оптимальні стратегії, то не всяка задача лінійного програмування має розв’язок.

Приклад 5. Побудувати гру, що визначається даною парою двоїстих задач: пряма задача:

F = x1 + 3x2 → max;

ìx1 + x2 £ 4, íî-2x1 + 3x2 £ 9,

x1, x2 ³ 0;

двоїста задача:

F* = 4y1 + 9y2 ® min;

ìy1 - 2y2 ³ 1, íîy1 + 3y2 ³ 3,

y1, y2 ³ 0.

Отже, вихідній симетричній парі двоїстих задач можна поставити у відповідність матричну гру, що визначається матрицею

53

7 Задачі нелінійного програмування

7.1 Економічна і геометрична інтерпретація задачі нелінійного програмування

У загальному вигляді задача нелінійного програмування полягає у визначенні максимального (мінімального) значення функції

де f і gi − деякі відомі нелінійні функції n змінних, а bi — задані числа.

Тут маємо на увазі, що в результаті розв’язування задачі буде визначена

Якщо f і gi − лінійні функції, то задача (1), (2) є задачею лінійного

програмування.

Співвідношення (2) утворять систему обмежень і містять у собі умови невід’ємності змінних, якщо такі умови є. Умови невід’ємності змінних можуть бути задані і безпосередньо.

В евклідовому просторі En система обмежень (2) визначає область

допустимих розв’язків задачі. На відміну від задачі лінійного програмування вона не завжди є опуклою.

Якщо визначена область допустимих розв’язків, то знаходження розв’язку задачі (1), (2) зводиться до визначення такої точки цієї області, через яку проходить гіперповерхня найвищого (найнижчого) рівня: f (x1; x2 ;...; xn ) = h.

Зазначена точка може знаходитися як на границі області допустимих розв’язків, так і усередині її.

Процес знаходження розв’язку задачі нелінійного програмування (1), (2) з використанням її геометричної інтерпретації включає такі етапи:

1.Знаходять область допустимих розв’язків задачі, що визначається співвідношеннями (2) (якщо вона порожня, то задача не має розв’язку).

2.Будують гіперповерхню f (x1; x2 ;...; xn ) = h..

3.Визначають гіперповерхню найвищого (найнижчого) рівня чи встановлюють, що задача не має розв’язку через необмеженість функції (1) зверху (знизу) на множині допустимих розв’язків.

4.Знаходять точку області допустимих розв’язків, через яку проходить гіперповерхня найвищого (найнижчого) рівня, і визначають у ній значення функції (1).

54

Приклад 1. Знайти найбільше та найменше значення цільової функції для даної задачі нелінійного програмування

F = -x12 +16x1 + x2 - 3

ì3x1 +11x2 £ 33, ïí4x1 - 5x2 ³ 20,

ïîxj ³ 0.

Розв’язування

1. Оскільки число невідомих задачі дорівнює двом, то розв’язок задачі можна знайти, використовуючи її геометричну інтерпретацію. Для цього перш за все побудуємо многокутник розв’язків задачі. Для знаходження області допустимих розв’язків множини D побудуємо граничні прямі:

1)l1 : 3x1 +11x2 = 33, яка проходить через точки (0;3) та (11;0);

2)l2 : 4x1 − 5x2 = 20, яка проходить через точки (0;-4) та (5;0);

3)l3 : x1 = 0 ;

4)l4 : x2 = 0.

Врахувавши, що обмеженнями є система нерівностей, визначимо частини півплощин, що задовольняють їх розв’язок та знайдемо спільну область допустимих розв’язків – область D (рис.1).

Отже, допустимою областю D є трикутник ВСК, який зображено на рис.1.

2. Надамо цільовій функції F деяке стале значення h :

55

Розв’язування

1 спосіб.

1. Для знаходження області допустимих розв’язків множини D' побудуємо граничні прямі:

1)l1 : 3x1 + 2x2 = 7 , яка проходить через точки (0;7/2) та (7/3;0);

2)l2 : 10x1 − 5x2 = 8, яка проходить через точки (0;-8/5) та (8/10;0);

3)l3 :18x1 + 4x2 = 12 ; яка проходить через точки (0;3) та (2/3;0);

4)l4 : x2 = 0;

5)l5 : x1 = 0.

56

Врахувавши, що обмеженнями є система нерівностей, визначимо частини півплощин, що задовольняють їх розв’язок та знайдемо спільну

область допустимих розв’язків – область D' (рис.2).

Отже, допустимою областю D' є трикутник АВС, який зображено на рис.2.

Рисунок 2 – Область допустимих розв’язків 2. Маємо дві екстремальні точки – це точки С і Д. Координати

зазначених точок знайдемо, розв’язавши відповідні системи рівнянь.

деяку точку P(x0 ; y0 ). Тоді відстань від точки до прямої обчислюється за

Із другого рівняння системи виражаємо x2 = 10x1 − 8 та підставимо у

перше рівняння , після чого отримаємо: (x1 - 3)2 + (10x1 -12)2 = 324101 ,

57

Ро з в ’ яз у ва н ня . Область розв’язків даної задачі зображена на рис.3. На цьому рисунку побудовані дві лінії рівня, що представляють собою прямі. З рис. 3 видно, що максимальне значення цільова функція задачі приймає в точці

Е, у якій пряма дотикається кола x12 + x22 = 25. Для визначення координат точки Е скористаємося рівністю кутових коефіцієнтів прямої 3x1 + 4x2 = h, (де h - деяка стала) і дотичної до окружності в точці Е. Розглядаючи x2 як неявну