Crack_Mат_прогр_2_Посiбн

Сучасні умови виробництва продукції в різних галузях на рівні окремих підприємств, а також на вищому макроекономічному рівні супроводжується наростаючими інформаційними течіями, які надходять до економічних й управлінських органів. Різко зростає кількість операцій щодо переробки інформації, необхідної для пошуку найкращих (оптимальних) варіантів розвитку виробництва й прийняття рішень.

Таким чином, пошук найкращого (оптимального) плану (варіанта) простим перебором і порівнянням всіх можливих планів стає вкрай непосильною задачею, при цьому не враховується той факт, що на складання одного варіанта плану також витрачається дуже багато часу. Так виникла потреба впровадження математичних методів в економічні розрахунки.

У посібнику описано і поставлено деякі техніко-економічні задачі й показано, що розв’язання таких задач зводиться до розв’язання задач математичного програмування та їх економічної інтерпритації.

Даний навчальний посібник, який є продовженням “Математичного програмування. Частина 1” містить у собі відомості з тем: “Двоїсті задачі лінійного програмування”, “Транспортна задача”, “Цілочисельні задачі лінійного програмування”, “Задачі дробово-лінійного програмування”, “Задачі теорії ігор і лінійне програмування”, “Задачі нелінійного програмування” та “Метод множників Лагранжа”, які вивчаються студентами технічних вищих навчальних закладів на І, IІ та ІІІ курсах навчання. Висвітлені в посібнику теоретичні відомості можна вважати скороченим курсом лекцій. Ці відомості підтверджуються прикладами. Після теоретичної частини в навчальному посібнику подано 30 варіантів для лабораторних робіт з кожної теми. Кількість розрахована на одну академічну групу. Якщо в групі більше студентів і викладач бажає видати всім різні варіанти, це можна зробити використовуючи літери прізвища, які відповідають алфавіту, поділеному на частини з номерами від 1 до 30 або cкорелювати набір випадкових чисел. Наприклад, Іванов – 2, 8, 6, 5, 1, 4, 3; Петров – 30, 1, 8, 6, 25, 4, 17 і т. д. У даному посібнику наведені також завдання для виконання типових розрахунків, які передбачають застосування інформаційних технологій.

Навчальний посібник можна використовувати як для підготовки до колоквіумів, практичних занять з поданих тем, так і для типових розрахунків, контрольних домашніх робіт для студентів заочної форми навчання.

4

Порівнюючи дві сформульовані задачі, можна помітити, що між ними існує зв’язок. Наведемо правила, за якими складається двоїста задача по відношенню до вихідної задачі:

1.Цільова функція вихідної задачі (1) – (3) задається на максимум, а цільова функція двоїстої (4) – (6) – на мінімум.

2.Матриця

яка складена із коефіцієнтів при невідомих в системі обмежень (2) вихідної задачі (1) – (3), і аналогічна матриця

вдвоїстій задачі (4) – (6) отримується шляхом транспонування, тобто заміною рядків стовпцями, а стовпців – рядками.

3.Кількість змінних у двоїстій задачі (4) – (6) дорівнює кількості співвідношень в системі (2) вихідної задачі (1) – (3), а кількість обмежень

всистемі (5) двоїстої задачі – кількості змінних у вихідній задачі.

4.Коефіцієнти при невідомих в цільовій функції (4) двоїстої задачі

(4) – (6) є вільними членами в системі (2) вихідної задачі (1) – (3), а вільними членами в співвідношеннях системи (5) двоїстої задачі – коефіцієнти при невідомих у цільовій функції (1) вихідної задачі.

5.Якщо змінна xj вихідної задачі (1) – (3) може приймати лише

додатні значення, то j -е обмеження в системі (5) двоїстої задачі (4) – (6) є нерівністю вигляду “ ³”. Якщо ж змінна xj може приймати як додатні , так і від’ємні значення, то j -е обмеження в системі (5) має вид рівняння.

Аналогічні зв’язки існують між обмеженнями (2) вихідної задачі (1) – (3) і змінними двоїстої задачі (4) – (6). Якщо i - е співвідношення в системі (2) вихідної задачі є нерівністю, то i - а змінна двоїстої задачі yi ³ 0. В

іншому випадку змінна yi може приймати як додатні, так і від’ємні

значення.

Зауваження 1:

1.Застосовуючи правила побудови двоїстих задач до задачі(4)-(6), дістанемо вихідну задачу (1) - (3).

2.Аналогічні правила побудови двоїстої задачі можна записати для вихідної задачі мінімізації.

6

Двоїсті пари задач зазвичай поділяють на симетричні і несиметричні. В симетричній парі двоїстих задач обмеження (2) прямої задачі і співвідношення (5) двоїстої задачі є нерівностями виду “ ≤ ”. Таким чином, змінні обох задач можуть приймати лише невід’ємні значення.

Зауваження 2: Несиметричні останні дві пари називаються тому, що

Найпростішими властивостями взаємно двоїстих задач є такі:

1.Якщо X − деякий план вихідної задачі (1) – (3), а Y − довільний план двоїстої задачі (4) – (6), то F(X ) = F* (Y).

2. Якщо X і Y - допустимі розв’язки відповідно прямої і двоїстої задач,

іF(X ) = F* (Y), то X і Y - оптимальні розв’язки цих задач. Приклад. Побудувати задачу, двоїсту до вихідної:

F(x) = 4x1 − 3x2 + 4x3 → max;

7

ì4x1 - 2x2 + 5x3 ³ 3 ïï-x1 + 3x2 - 6x3 = 5 íï8x1 - 3x2 + 2x3 £ 4

ïî-2x1 + 3x2 - 2x3 = 2 x2 ³ 0 , x3 ³ 0

Розв’язування

Щоб побудувати двоїсту задачу, вихідну необхідно звести до стандартного вигляду. Для цього помножимо обидві частини першого обмеження на (-1), дістанемо:

F(x) = 4x1 - 3x2 + 4x3 ® max;

ì-4x1 + 2x2 - 5x3 £ -3 ïï-x1 + 3x2 - 6x3 = 5 íï8x1 - 3x2 + 2x3 £ 4

ïî-2x1 + 3x2 - 2x3 = 2

Тоді двоїста задача матиме вигляд:

F* (x) = −3y1 + 5y2 + 4y3 + 2y4 → min;

ì-4y1 - y2 + 6y3 - 2y4 = 4 ïí2y1 + 3y2 - 3y3 + 3y4 ³ -3 ïî-5y1 - 6y2 + 2y3 - 2y4 ³ 4

y1 ³ 0, y3 ³ 0 y2 , y4 - довільні

Вихідна задача має кількість обмежень m = 4, тому двоїста задача має 4 змінні: y1 , y2 , y3 , y4 . Кількість змінних вихідної задачі m =3, тому двоїста

задача має 3 обмеження. Змінна x1 вихідної задачі не обмежена за знаком,

тому перше обмеження двоїстої задачі має вигляд рівності, друге та четверте обмеження вихідної задачі мають вигляд рівності, отже, змінні y2

та y4 двоїстої задачі не обмежені за знаком.

1.2 Основні теореми двоїстості в лінійному програмуванні

Розглянемо пару двоїстих задач, яку утворено з основної задачі лінійного програмування і двоїстої до неї.

Вихідна задача: знайти максимум функції

j=1

8

i=1

Кожна із задач двоїстої пари (9) – (11) і (12), (13) є самостійною задачею лінійного програмування і може бути розв’язана незалежно одна від одної.

Існують залежності між розв’язками прямої і двоїстої задач, які можна задати у вигляді теорем.

Теорема 1 (перша теорема двоїстості). Якщо одна із пари двоїстих задач (9) – (11) і (12), (13) має оптимальний план, то і друга має оптимальний план, причому значення цільових функцій на оптимальних

планах збігаються, тобто Fmax = Fmin* .

Якщо ж цільова функція однієї із пари двоїстих задач не обмежена (для вихідної (9) – (11) – зверху, для двоїстої (12), (13)– знизу), то друга задача взагалі не має планів.

Теорема 2 (друга теорема двоїстості). Для того щоб допустимі плани

X * і Y* пари двоїстих задач були оптимальними, необхідно і достатньо виконання умов:

j=1

Теорема 3. Якщо в разі підстановки компонентів оптимального плану в систему обмежень вихідної задачі i − те обмеження перетворюється на нерівність, то i − та компонента оптимального плану двоїстої задачі дорівнює нулю. Якщо i − та компонента оптимального плану двоїстої задачі додатна, то i − те обмеження вихідної задачі задовольняє її оптимальний розв’язок як строга нерівність.

Умови (14), (15) дають можливість за оптимальним планом (розв’язком) однієї із взаємно двоїстих задач знайти оптимальний план другої задачі.

Використовуючи другу теорему двоїстості сформулюємо критерій оптимальності для допустимого розв’язку задачі лінійного програмування.

i=1

9