Тема 2. Елементи теорії границь

 

2.4. Порівняння н. М. Функцій

 

Нехай функції - н. м. при, тобтоі. Складемо відношення.

1. Якщо , тоназивається н. м.вищого порядку (high order infinitesimal) (н. м. вищого порядку малості), ніж при. Це записують так:(„o” маленьке від ).

2. Якщо , тоіназиваються н. м.одного порядку (equal orderinfinitesimals) при . Це записують так:(„O” велике від ).

3. Якщо , тоіназиваютьсяеквівалентними н. м. (equivalent infinitesimal) при . Це записують так:.

 

Таблиця еквівалентних н. м. функцій ().

 

,	,
,	,
,	,
,	,
,	.

 

Теорема 2.9. Н. м. функції ібудуть еквівалентними () притоді і тільки тоді, коли їх різницяє

н. м. вищого порядку, ніж н. м. іпри.

Доведення. Необхідність. Нехай н. м. (або )при . Доведемо, що їх різницяє н. м. вищого порядку, ніж н. м.іпри. Для цього розглянемо границю:

 

.

А отже є н. м. вищого порядку, ніж н. м.при.

 

Достатність. Доведемо, що якщо різниця є н. м. вищого порядку, ніж н. м.при, то. Дійсно

,

тому при. Цілком аналогічно доводиться, що якщо різницяє н. м. вищого порядку, ніж н. м.при, то.

 

Теорема 2.10. Якщо н. м. ,при, то справедлива рівність

.

Доведення. Дійсно

 

.

 

Зауваження. Теорема 2.10 дає можливість замінювати під знаком границі н. м. множники та дільники на еквівалентні (н. м. доданки замінювати на еквівалентні в загальному випадку не можна).

При порівнянні нескінченно великих (н. в.) функцій мають місце аналогічні правила порівняння. Наприклад, дві н. в. функції іназиваютьсяеквівалентними (equivalent) при , якщо

.

 

Так, при має місце еквівалентність:

 

,

тому при обчисленні границі відношення двох многочленів на нескінченності ми можемо замінити вираз під знаком границі на еквівалентне відношення старших степенів многочленів, взятих зі своїми коефіцієнтами.

2.5. Основні теореми про границю

 

Теорема 2.11. Границя сталого дорівнює сталому, тобто

, де .

Доведення. Нехай , де. Розглянемо різницю, маємо:– нескінченно мала величина. За теоремою 2.4 маємо, що.

 

Теорема 2.12. Границя суми дорівнює сумі границь.

 

Доведення. Нехай, наприклад, ,. Покажемо, що. Дійсно

;

 

.

 

За оберемота оцінимо модуль, маємо:

.

Таким чином,

 

.

Зауваження. Випадок суми довільного скінченного числа числових послідовностей доводиться аналогічно.

 

Теорема 2.13. Границя добутку дорівнює добутку границь.

 

Доведення. Нехай, наприклад, ,. Покажемо, що. Дійсно, якщо, то за теоремою 2.3, де– нескінченно мала величина. Аналогічно,, де– нескінченно мала. Тоді

 

.

 

Оскільки константа є величиною обмеженою, то за теоремою 2.6 величини  є нескінченно малими; за теоремою 2.5 величина  також є нескінченно малою. Оскільки сума трьох нескінченно малих величин є нескінченно малою, то є нескінченно мала і за теоремою 2.4.

 

Зауваження

1)    Сталий множник можна виносити за знак границі.

 

Дійсно,

.

 

 

2) .

Дійсно,

 

 

3) .

 

 

Теорема 2.14. Границя частки двох послідовностей дорівнює частці границь цих послідовностей, якщо границя знаменника не дорівнює нулю, тобто

, де .

 

 

Зауваження. Доведення даної теореми проводиться аналогічно доведенню теореми 2.13.

 

Теорема 2.15.

1) , де;

2) , де .

Теорема 2.16. Якщо для послідовності відомо, що для всіхі, то.

Доведення. Проведемо доведення методом від супротивного. Нехай , але тодіі. Остання рівність суперечить умові теореми. Це означає, що наше припущення хибне і.

 

Теорема 2.17. Якщо для послідовностей тавідомо, що, то.

Доведення. За умовою теореми , тоді за теоремою 2.16

 

.

 

Теорема 2.18. .

 

Запам’ятай добре! Аналогічні теореми мають місце для границь функцій в точці.