Оскільки , маємо.

Приклад. Розв’язати систему лінійних рівнянь методом звичайних жорданівських виключень:

Розв’язування

; ;

; ;

Функції однієї змінної

Нехай маємо дві підмножини Х та У множини дійсних чисел R. Тоді, якщо кожному хХставиться у відповідність за певним правилом чи законом лише одне значення уУ,то кажуть, що на множині Х задано функцію у від змінної х і позначають у=f(х). При цьому х називають аргументом (або незалежною змінною), у – функцією (або залежною змінною). Х називають областю визначення функції (D(f)) , У – областю значень функції (E(f)).

Способи задання функцій

1. Аналітичний спосіб

Функція задається за допомогою формули. При цьому використовується запас раніше вивчених спеціальних функцій, арифметичних операцій, граничний перехід.

Формула задає функцію тоді і тільки тоді, коли:

• формула має зміст;

• в процесі проведення всіх необхідних обчислень за цією формулою отримуються лише дійсні числа.

Наприклад, функція Діріхле задається такою формулою:

2. Графічний спосіб

Графіком функції у=f(х) називається множина точок площини з координатами (х, у), абсциса яких належить області визначення функції, а ордината знаходиться безпосередньо із формули.

3. Табличний спосіб

Спосіб, при якому є певна кількість значень аргументу та відповідних їм значень функції.

Наприклад,

х	1	2	3	4	5	6
у	5	4	3	2	1	0

Деякі типи функцій

1. Монотонні функції

Функція у=f(х) називається зростаючою (спадною), якщо для довільних з області визначення справедлива нерівністьf(x₁)<f(x₂) ( f(x₁)>f(x₂) ).

Функція у=f(х) називається незростаючою (неспадною), якщо для довільних з області визначення справедлива нерівністьf(x₁)f(x₂)

(f(x₁)f(x₂) ).

2. Парні функції

Функція у=f(х) називається парною, якщо виконуються дві умови:

• якщо х належить області визначення D(f), то і (-х) належить області визначення;

• f(-x)=f(x)

Наприклад, - парна функція, оскільки.

Функція у=f(х) називається непарною, якщо виконуються дві умови:

• якщо х належить області визначення D(f), то і (-х) належить області визначення;

• f(-x)= -f(x)

Наприклад, - непарна функція, оскільки

3. Періодичні функції

Функція у=f(х) називається періодичною, якщо існує таке число Т0, що для всіх аргументів області визначення справедлива тотожність:f(x+T)=f(x).

Наприклад, y=sinx є -періодичною функцією.

4. Елементарні функції

Елементарними називаються функції, визначені формулами, що містять скінченне число алгебраїчних або тригонометричних операцій, які виконуються над аргументом, функцією та деякими сталими. (Під цими операціями розуміють чотири арифметичні дії, піднесення до довільного степеня та добування кореня, логарифмування та потенціювання при будь-якій основі, взяття тригонометричної або оберненої тригонометричної функції).

Елементи диференціального числення та його використання для дослідження функцій

Похідною функції у=f(х) називається нова функція (), яка дорівнює границі відношення приросту функції до приросту аргументу, коли останній прямує до нуля:

.

Зауваження. Якщо через позначити приріст аргументу, то приріст функції позначається які обчислюється за формулою

Геометричний зміст похідної. Якщо функція зображена своїм графіком, то похідна дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка у заданій точці до осі Ох. Причому вказаний кут відраховується від додатного напрямку осі Ох проти годинникової стрілки.