Розв’язування

Послідовно знаходимо

, ,

, ,,.

Приклад. Обчислити та, якщо

Розв’язування

Послідовно знаходимо

, ,,

,,.

Максимум та мінімум функції багатьох змінних

Точка М₀(x₀,y₀) називається точкою максимуму (мінімуму) функції u=f(x,y), якщо для всіх точок (x,y), достатньо близьких до точки М₀(x₀,y₀), справедлива нерівність: ().

Максимум та мінімум функції називаються екстремумами функції, тобто кажуть, що функція має екстремум в даній точці, якщо ця функція має в ній максимум або мінімум.

Теорема (необхідна умова екстремуму). Якщо функція u=f(x,y) досягає екстремуму при x=x₀, y=y₀, то кожна частинна похідна першого порядку від u або перетворюється на нуль при цих значеннях аргументів, або не існує.

Теорема (достатня умова екстремуму). Нехай в деякій області, що містить точку М₀(x₀,y₀), функція u=f(x,y) має неперервні частинні похідні до третього порядку включно і точка М₀(x₀,y₀) – критична точка, тобто

, .

Позначимо а₁₁=,а₁₂=а₂₁=,а₂₂=.

Тоді при x=x₀, y=y₀

1. f(x,y) не має екстремальних точок, якщо:

;

2. якщо , то екстремум може бути, а може і не бути (необхідні додаткові дослідження);

3. f(x,y) має максимум, якщо:

та а₁₁<0;

4. f(x,y) має мінімум, якщо:

та а₁₁>0.

Приклад. Дослідити на максимум та мінімум функцію .

Розв’язування

1) Знайдемо критичні точки, користуючись необхідною умовою екстремуму:

. З першого рівняння маємо y=x². Підставимо отримане значення у друге рівняння, тобто x⁴-x=0. Звідси знаходимо корені x₁=0 та x₂=1, у₁=0, у₂=1.

2) Знайдемо похідні другого порядку та обчислимо їх значення в критичних точках:

, ,

В точці (0,0) маємо: а₁₁=0, а₁₂=а₂₁=-3, а₂₂=0, тобто визначник . Це означає, що в даній точці екстремум не існує.

В точці (1,1) маємо: а₁₁=6, а₁₂=а₂₁=-3, а₂₂=6, тобто визначник таа₁₁>0. Це означає, що дана точка є точкою мінімуму, тобто u_min=1³+1³-3=-1.

Завдання для самостійної роботи

І. Для заданих матриць А та В обчислити 3А-0,5В-Е, АВ та ВА. Знайти обернену матрицю до матриць А та В, зробити перевірку.

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

10. ,

11. ,

12. ,

13.,

14. ,

15. ,

16. ,

17. ,

18. ,

19. ,

20. ,

21. ,

22. ,

23. ,

24.,

ІІ. Розв’язати систему лінійних рівнянь трьома способами: методом Крамера, методом Гаусса, методом звичайних жорданівських виключень.

1.	9.	17.
2.	10.	18.
3.	11.	19.
4.	12.	20.
5.	13.	21.
6.	14.	22.
7.	15.	23.
8.	16.	24.

ІІІ. Знайти похідні функцій.

1. ;;

2. ;;

3. ; ;

4. ; ;

5.;;

6. ; ;

7. ; ;

8. ;;

9. ; ;;

10. ; ;

11. ; ;

12. ; ;

13. ; ;

14. ; ;

15. ; ;

16. ; ;

17. ; ;

18. ; ;

19. ;;

20. ;;

21. ;;

22. ; ;

23. ;;

24. ; ;

IV. Дослідити на екстремум функцію та знайти інтервали її монотонності:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ;	10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ;	19. ; 20. 21. ; 22. ; 23. ;
6. ; 7. ;	15. ; 16. ;	24. ;
8. ; 9. ;	17. ; 18.;

V. Обчислити інтеграли

1. ; ; ;

2. ; ; ;

3. ; ; ;

4. ; ; ;

5. ; ; ;

6. ; ; ;

7. ; ; ;

8. ; ; ;

9. ; ; ;

10. ; ; ;

11. ; ; ;

12. ; ; ;

13. ; ; ;

14. ; ; ;

15. ; ; ;

16. ; ; ;

17. ; ; ;

18. ;;;

19. ; ; ;

20. ; ; ;

21. ; ; ;

22. ; ; ;

23. ;;;

24.;;;

VI. Елементи теорії функції багатьох змінних

1. Перевірити справедливість тотожності , якщо.

2. Знайти всі частинні похідні першого порядку по кожній незалежній змінній від функції

3. Перевірити справедливість тотожності , якщо

4. . Знайти

5. Перевірити справедливість тотожності , якщо

6. Знайти всі частинні похідні першого порядку за кожною змінною

.

7. Обчислити

8. Знайти частинні похідні першого порядку за кожною змінною

9. Знайти частинні похідні першого порядку за кожною змінною

10. . Показати, що

11. Знайти частинні похідні першого порядку за кожною змінною

12. Обчислити

13. Знайти частинні похідні першого порядку за кожною змінною

14. Знайти частинні похідні першого порядку за кожною змінною

15. Обчислити

16. Знайти частинні похідні першого порядку за кожною змінною

17. Знайти частинні похідні першого порядку за кожною змінною

18. Знайти частинні похідні першого порядку за кожною змінною

19. . Показати, що

20. Знайти частинні похідні першого порядку за кожною змінною

21. Обчислити

22. Знайти частинні похідні першого порядку за кожною змінною

23. Знайти частинні похідні першого порядку за кожною змінною

24. . Обчислитиу точці

VIІ. Дослідити на екстремум функцію:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.