- •С. Г. Авдєєв, т. І. Бабюк
- •Частина 1
- •Частина 1 Кінематика Основні формули
- •Приклади розв’язання задач
- •Динаміка прямолінійного руху Основні формули
- •Закони збереження. Робота й енергія Основні формули
- •Приклади розв’язання задач
- •Динаміка твердого тіла Основні формули
- •Приклади розв’язання задач
- •Гідростатика Основні формули
- •Електричне поле у вакуумі Основні формули
- •Електричне поле у діелектриках Основні формули
- •Провідники в електричному полі Основні формули
- •Енергія електричного поля Основні формули
- •Приклади розв’язання задач
- •Електричний струм Основні формули
- •Приклади розв’язання задач
- •Магнетне поле у вакуумі і середовищі Основні формули
- •Приклади розв’язання задач
- •Електромагнетна індукція Основні формули
- •Приклади розв’язання задач
- •Рух заряджених частинок в електромагнетному полі Основні формули
- •Додаток а Деякі відомості з математики
- •2. Формули диференціального й інтегрального числень
- •3. Формули для наближених обчислень
- •Довідкові дані
- •Сергій Григорович Авдєєв
Динаміка твердого тіла Основні формули
1. Основне рівняння динаміки обертального руху відносно нерухомої осі
,
де – результуючий момент всіх діючих сил;
– вектор моменту імпульсу тіла.
Вектор моменту імпульсу тіла дорівнює
,
де r – радіус-вектор;
mυ – імпульс тіла.
У випадку постійного моменту інерції
,
де – кутове прискорення;
І – момент інерції тіла (міра інертності тіла при обертальному русі).
2. Момент імпульсу тіла, що обертається відносно осі
.
3. Момент сили F, що діє на тіло відносно осі обертання
,
де l – плече сили – найкоротша відстань від осі обертання до лінії дії сили.
4. Момент інерції матеріальної точки відносно нерухомої осі обертання
,
де m – маса точки;
r – відстань від точки до осі обертання.
Момент інерції довільного твердого тіла
де ri – відстань елемента маси ∆mi від осі обертання.
Це ж співвідношення в інтегральній формі (для тіл правильної геометричної форми)
.
Якщо тіло однорідне, тобто його густина ρ однакова по всьому об’єму, то
і ,
де V – об’єм тіла.
Теорема Штейнера. Момент інерції твердого тіла або матеріальної точки відносно довільної осі обертання, але обов’язково паралельній до осі, що проходить через центр мас тіла, дорівнює
,
де І0 – момент інерції цього тіла відносно осі, що проходить через центр мас тіла;
a – відстань між паралельними осями;
m – маса тіла.
5. Закон збереження моменту імпульсу
.
Моменти інерції найпростіших тіл показані в таблиці 1:
Тіло |
Вісь, відносно якої визначається момент інер ції тіла |
Формула моменту інерції тіла |
Однорідний тонкий стрижень масою m і довжиною l |
Проходить через центр тяжіння стрижня перпендикулярно до нього |
|
Однорідний тонкий стрижень масою m і довжиною l |
Проходить через кінець стрижня перпендикулярно до нього |
І = |
Тонке кільце, обруч, труба радіусом R і масою m, маховик радіусом R і масою m |
Проходить через центр тяжіння перпендикулярно до площини основи |
І = mR2 |
Круглий однорідний диск (циліндр) радіусом R і масою m |
Проходить через центр тяжіння перпендикулярно до площини основи |
І = |
Однорідна куля масою m і радіусом R |
Проходить через центр кулі |
І = |
Таблиця 1
Для двох взаємодіючих тіл закон збереження моменту імпульсу записується так:
,
де І1, І2 , 1, 2 – моменти інерції і кутові швидкості тіл до взаємодії;
, , , – ті самі величини після взаємодії.
Закон збереження моменту імпульсу для одного тіла із змінним моментом інерції
де І1 і І2 – початковий і кінцевий моменти інерції;
і – початкова і кінцева кутові швидкості тіла.
6. Робота постійного моменту сили М, що діє на тіло, яке здійснює обертання
де – кут повороту тіла.
Миттєва потужність, яка розвивається при обертанні тіла,
.
8 . Кінетична енергія тіла, яке здійснює обертальний рух
9. Кінетична енергія тіла, яке котиться без ковзання вздовж будь-якої площини
де – кінетична енергія поступального руху тіла;
–швидкість руху центра інерції тіла;
–кінетична енергія обертального руху тіла навколо осі, що проходить через центр інерції.
10. Зв’язок між роботою, яка виконується при обертанні тіла і зміною кінетичної енергії
.
11. Зв’язок між фізичними величинами і формулами, які характеризують поступальний і обертальний рух в найпростіших випадках, показаний в таблиці 2:
Таблиця 2
Поступальний рух |
Обертальний рух | |
1 |
2 | |
Основний закон динаміки | ||
|
= | |
|
= І |
1 |
2 | |
Закони збереження | ||
імпульсу |
моменту імпульсу | |
|
| |
Робота і потужність | ||
A = Fs |
A=M | |
|
| |
Кінетична енергія | ||
|
|