3.2. Основы специальной теории относительности (сто).

Преобразования Лоренца. Принцип относительности Эйнштейна. Принцип соответствия. Релятивистские эффекты

Развитие учения об электрических и магнитных явлениях, в том числе об электромагнитных волнах, частным случаем которых является свет, поставило ряд вопросов относительно справедливости механистических представлений о пространстве и времени.

Математическим выражением представлений о пространстве и времени в классической механике являются преобразования Галилея (3.5). По механическому принципу относительности законы механики должны быть одинаковыми во всех инерциальных системах отсчета. Если в законах Ньютона и других законах классической механики координаты тел и время в одной системе отсчета заменить на координаты и время в другой инерциальной системе, используя при этом соотношения (3.5), то, как нетрудно показать, вид этих законов совершенно не изменится. Как говорят, законы классической механики оказываются инвариантными (неизменными) относительно преобразований Галилея.

Однако оказалось, что законы электричества и магнетизма относительно преобразований Галилея не инвариантны. Совокупность основных законов электромагнетизма сводится к так называемой системе уравнений Максвелла (вид этих уравнений приводить не будем). Можно показать, что, если верны преобразования (3.5), то вид уравнений Максвелла в разных инерциальных системах различен, то есть электрические и магнитные явления протекают в разных системах по-разному. В частности, скорость распространения электромагнитных волн, то есть скорость света оказалась бы разной в разных инерциальных системах отсчета и зависела бы от величины и направления скорости движения системы.

Неинвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований Галилея означает либо неприменимость принципа относительности к электромагнитным, оптическим и прочим немеханическим явлениям, либо неправильность самих преобразований Галилея.

Ряд тонких экспериментов не смог зафиксировать различий в протекании оптических процессов в разных системах отсчета. Так, А. Майкельсон (амер., Нобелевская премия 1907 г.) в опытах 1886-87 годов попытался заметить изменение скорости света, связанное с орбитальным движением Земли со скоростью 30 км/с, но не обнаружил его.

В 1904 г. Х.А. Лоренц (голл.) чисто математически показал, что система уравнений Максвелла будет неизменна во всех инерциальных системах отсчета, если связь координат и времени в таких системах будет определяться не преобразованиями Галилея (3.5), а следующими преобразованиями, названными впоследствии преобразованиями Лоренца:

(3.7)

где 3·10⁸ м/с - скорость света в вакууме.

Если верны соотношения (3.7), то электромагнитные и оптические явления протекают одинаково во всех системах отсчета, в частности, во всех системах скорость света оказывается одинаковой. Но в этом случае оказываются неверными представления, сложившиеся в классической механике и в обыденном сознании о свойствах пространства и времени. Например, последнее из уравнений (3.7) говорит о том, что в разных системах отсчета время идет по-разному. Кроме того, законы Ньютона и другие законы классической механики неинвариантны относительно (3.7). Физического объяснения предложенным преобразованиям Х.А. Лоренц не дал.

Возникшую проблему решил в 1905 г. А. Эйнштейн, создав специальную (частную) теорию относительности (СТО), называемую также релятивистской механикой. СТО является механикой больших, то есть соизмеримых со скоростью света, скоростей, а, с другой стороны, является первым шагом в современной теории пространства и времени. Вторым шагом является общая теория относительности.

СТО базируется на двух постулатах Эйнштейна, каждый из которых приведем в двух эквивалентных формулировках.

Первый постулат, называемый также принципом относительности Эйнштейна, гласит: никакими опытами (механическими, электрическими, оптическими и прочими), проведенными в замкнутой системе тел, невозможно обнаружить, покоится эта система или движется прямолинейно и равномерно относительно некоторой инерциальной системы отсчета.

Вторая формулировка: все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

Второй постулат Эйнштейна, называемый также принципом инвариантности скорости света, гласит: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света.

Вторая формулировка: скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Второй постулат фактически утверждает, что в действительности верны преобразования Лоренца (3.7), а не преобразования Галилея (3.5).

Из первого постулата следует, что классическая механика, вообще говоря, неверна и должна быть заменена иной механикой (специальной теорией относительности или релятивистской механикой), законы которой инвариантны относительно преобразований (3.7).

Важно, что в случае движения системы относительно системысо скоростью, много меньшей скорости света (), преобразования Лоренца сводятся к преобразованиям Галилея. То есть новая теория (СТО) не опровергла полностью прежнюю (классическую механику), а лишь указала на ограниченность ее применения областью малых скоростей.

Создание теории относительности, таким образом, является примером развития научной теории согласно важнейшему общему методологическому принципу развития научного знания - принципу соответствия. Этот принцип был выдвинут в 1918 г. Н. Бором (дат.) и устанавливает, что любая новая теория, претендующая на более глубокое описание физической реальности и на более широкую область применимости, чем старая, должна включать в себя последнюю как предельный случай.

Приведем без доказательства основные результаты СТО.

1. Пусть в инерциальной системе в точке с координатамив моментпроисходит событие 1, а в точке с координатамив моментпроисходит событие 2. Разности пространственных и временных координат событий в системе обозначим так:. Этим же событиям в другой инерциальной системе отсчетасоответствуют координаты и моменты времении, и соответствующие разности.

Аксиомы об инвариантности пространственных и временных промежутков, на которых базируется классическая механика и в частности преобразования Галилея, могут математически быть выражены следующим образом: .

В СТО последние соотношения неверны, то есть пространственные и временные промежутки между двумя событиями оказываются разными в разных системах отсчета. Но зато инвариантной относительно преобразований Лоренца, то есть одинаковой во всех системах отсчета оказывается величина, называемая интервалом (пространственно-временным интервалом) между событиями.

По определению квадрат интервала есть

. (3.8)

2. События, одновременные в одной системе отсчета, не одновременны в другой.

3. Длина предмета в направлении движения различна в различных инерциальных системах отсчета:

, (3.9)

где - собственная длина, то есть длина предмета в системе, относительно которой предмет покоится (см. рисунок 3.3);- длина в системе, относительно которой предмет движется.

Из (3.9) следует, что ; этот эффект называется лоренцевым сокращением длины.

4. Длительность какого-либо процесса различна в разных системах отсчета:

, (3.10)

где - длительность процесса в системе, относительно которой точка протекания процесса неподвижна (собственная длительность),- длительность процесса в системе, относительно которой точка протекания процесса движется.

Из (3.10) следует, что ; этот эффект называется релятивистским замедлением времени.

Рисунок 3.3 - К определению сокращения длины.

5. Масса тела зависит от скорости его движения:

(3.11)

где - масса тела в системе, в которой тело покоится (масса покоя),m - масса движущегося тела (релятивистская масса).

6. Тело с ненулевой массой покоя () может двигаться только со скоростью, не превышающей скорость светаc.

7. Со скоростью света могут двигаться только объекты с нулевой массой покоя, например - фотоны.

8. Для расчета движения тел применяется основной закон релятивистской динамики, который по форме совпадает со вторым законом Ньютона классической физики (3.1) , но в котором зависимость релятивистского импульсаот скорости имеет вид

. (3.12)

9. Энергия тела связана с его релятивистской массой формулой Эйнштейна:

. (3.13)

10. Если тело покоится и не взаимодействует с другими телами, то есть не имеет ни кинетической, ни потенциальной энергии, то оно, тем не менее, имеет энергию (энергию покоя) , обусловленную наличием массы покоя:

. (3.14)

11. Поскольку в преобразованиях Лоренца (3.7) в формулу преобразования времени входит координата, а в формулу преобразования координаты входит время, то имеет место связь пространства и времени. Нельзя говорить отдельно о пространстве и о времени, а только о едином пространстве-времени, в котором протекают все события.

Для описания физических процессов в СТО используется абстрактное четырехмерное пространство с осями , в котором для соблюдения единства размерностей по всем осям ось времени заменена осью, по которой откладывается величина, измеряемая в метрах.

Каждому событию соответствует точка в этом пространстве, движению - линия, называемая мировой линией. Примеры мировых линий для неподвижного тела и фотона представлены на рисунке 3.4., на котором оси ине показаны ввиду невозможности изобразить на двумерном рисунке четыре взаимно перпендикулярные оси.

Рисунок 3.4 - Мировые линии неподвижного тела (а) и фотона (б).

12. Геометрические свойства пространства могут быть определены, если известно, каким образом в данном пространстве определяется расстояние между точками. Для обычного трехмерного пространства, описываемого геометрией Евклида, квадрат расстояния s между точками определяется так:

. (3.15)

Интервал между двумя событиями в четырехмерном пространстве-времени в СТО определяется соотношением (3.8), аналогичным (3.15) за исключением того, что в (3.15) все члены положительны, а в (3.8) временной промежуток входит со знаком плюс, а пространственные со знаком минус. Такое четырехмерное пространство-время, определяемое интервалом вида (3.8), называется псевдоевклидовым или пространством Минковского.

Вообще изучение физических свойств пространства-времени можно свести к чисто геометрическому изучению свойств четырехмерного пространства, если для него известно выражение, определяющее интервал (типа (3.8) или (3.15)), то есть так называемая метрика. Один из выводов СТО - решение физических проблем может быть сведено к геометрическим исследованиям особого пространства.