7.4. Учет погрешностей при неточно заданных табличных данных

В предыдущем параграфе было показано, что погрешности полиномиальных формул численного дифференцирования стремятся к нулю при . Но тогда предполагалось, что значения аргументови функцийвычисляются абсолютно точно.

Рассмотрим теперь более сложный случай, когда известна таблица не точных значений функции , а приближенных значений функциив заданных точках , . Точные значения функциив рассматриваемом случае, естественно, не известны. Поэтому во всех формулах численного дифференцирования вместомы будем использовать . Напомним, что абсолютные погрешности приближенных значений функции равны, а их оценки обычно обозначаютсяи они связаны между собой отношениями(см. параграф 1.1). Будем считать, что известна общая оценка погрешности всех табличных приближенных значений функциитакая, что

. (7.4.1)

Рассмотрим влияние погрешностей табличных данных на погрешность полиномиальных формул численного дифференцирования. Сделаем это на примере формулы (7.1.5). В рассматриваемом случае эта формула примет вид

(7.4.2)

Оценим абсолютную погрешность приближенного значения производной, вычисляемого по этой формуле:

. (7.4.3)

Величину называют погрешностью метода, поскольку она зависит только от метода получения приближенного значения производной. В предыдущем параграфе получена оценка погрешности метода

, (7.4.4)

где  мажорантная оценка на отрезке.

Величина представляет собой погрешность вычисления приближенного значения производной, которая связана с неточно заданными табличными данными. Оценим эту погрешность:

. (7.4.5)

Здесь мы воспользовались формулами (1.1.2), (1.5.2), (1.5.5). Из неравенств (7.4.3), (7.4.4) и (7.4.5) получим оценку погрешности формулы (7.4.2)

. (7.4.6)

И

Рис. 7.2

з формулы (7.4.6) видно, что оценка погрешности формулы (7.4.2) стремится кпри. Поэтому в случае с неточно заданными табличными данными нельзя неограниченно уменьшать значение шага таблицыh. График оценки погрешности как функции шага h приведен на рис. 7.2. Из графика видно, что существует значение шага h, при котором оценка погрешности формулы (7.4.2) принимает наименьшее значение. Назовем его оптимальным значением шага и обозначим . Найти его несложно: достаточно производную функции приравнять к нулю. В результате получим

. (7.4.7)

Наименьшее значение оценки погрешности достигается при и равно

. (7.4.8)

Таким образом, при неточно заданных табличных данных, в принципе, нельзя получить приближенное значение производной по формуле (7.4.2) со сколь угодно высокой точностью. Наименьшего значения погрешности следует ожидать при значениях шага, близких к . Если же, то с уменьшением значения шага погрешность будет расти до бесконечности. В таких случаях говорят, что начинаетсяразболтка, то есть происходит катастрофическая потеря точности.

Аналогичная картина наблюдается и для остальных формул численного дифференцирования.