7.2. Оценки погрешности и порядки точности полиномиальных формул численного дифференцирования Понятие порядка точности приближенной формулы

Для оценки погрешности формул численного дифференцирования обычно используется формула Тейлора. А для ее использования, в свою очередь, требуется, чтобы функция имела производные до определенного порядка. Предположим, что все условия применимости формулы Тейлора выполняются. Поэтому пользоваться полученными в этом параграфе оценками можно только в том случае, когда априори известно, что функцияобладает производными соответствующего порядка. В этом параграфе покажем, что при выполнении этих условий погрешности всех формул численного дифференцирования стремятся к нулю при. Для сравнения различных формул по скорости стремления приближенного значения производной к точному привводится понятие порядка точности.

Пусть имеется некоторая приближенная формула вида

(7.2.1)

Здесь  приближенное значение функции , зависящее от некоторого параметраh. Если справедлива асимптотическая формула вида

или, что тоже самое,

, (7.2.2)

то говорят, что приближенное значение сходится к точному значению с порядкомp относительно h или что приближенная формула (7.2.1) имеет p-й порядок точности. Здесь использованы символы «О-большое» и «о-малое». Напомним, что  это любая функция h, которая представляется в виде при, а это любая функция h, для которой справедливо равенство . Очевидно, что если, тоии , следовательно,при.

Чем больше порядок точности p приближенной формулы (7.2.1), тем быстрее стремится к нулю погрешность приближенного значения прии тем большим будет значениеh, обеспечивающее заданную точность приближенного значения .

Примеры оценки погрешности и определения порядков точности формул численного дифференцирования

Рассмотрим несколько примеров оценки погрешности полученных формул численного дифференцирования и определения их порядков точности.

Пример 1

Требуется оценить погрешность формулы (7.1.6) при условии, что функция имеет производную второго порядка на отрезке.

В условиях рассматриваемого примера функцию можно разложить на указанном промежутке по формуле Тейлора. Запишем это разложение с остаточным членом, записанным в форме Лагранжа и в форме Пеано

, (7.2.3)

при . (7.2.4)

Здесь точка лежит между точкамиx и .

Используем разложения (7.2.3) и (7.2.4) для вычисления значения функции :

, (7.2.5)

при . (7.2.6)

Здесь точка лежит между точкамии. Рассмотрим разность между точным и приближенным значением производной, вычисляемым по формуле (7.1.6). Подставим в нее выражение (7.2.6):

Из последнего равенства следует, что формула (7.1.6) будет иметь первый порядок точности.

Подставим в формулу для модуля разности между точным и приближенным значением производной выражение (7.2.5) и после аналогичных преобразований получим

.

Пусть вторая производная функции является ограниченной на отрезке, то есть существует константатакая, что на указанном отрезке

.

Тогда будет справедлива оценка погрешности приближенного значения производной, вычисляемая по формуле (7.1.6):

. (7.2.7)

Аналогично можно показать, что формула (7.1.7), а также формулы (7.1.17), (7.1.18) будут иметь первый порядок точности при условии существования на отрезке между соответствующими узлами.

Пример 2

Требуется оценить погрешность формулы (7.1.10) при условии, что функция имеет производную третьего порядка на отрезке.

В условиях рассматриваемого примера функцию можно разложить на указанном промежутке по формуле Тейлора. Запишем это разложение с остаточным членом, записанным в форме Лагранжа и в форме Пеано:

, (7.2.8)

при . (7.2.9)

Здесь точка лежит между точкамиx и .

Используем разложения (7.2.8), (7.2.9) для вычисления и:

, (7.2.10)

, (7.2.11)

при , (7.2.12)

при . (7.2.13)

Здесь точка лежит между точкамии, а точка между точками и.

Рассмотрим разность между точным и приближенным значениями производной, вычисляемыми по формуле (7.1.10). Подставим в нее выражения (7.2.12), (7.2.13):

при . (7.2.14)

Таким образом, формула (7.1.10) имеет второй порядок точности.

Используем теперь для вычисления иразложения (7.2.10), (7.2.11):

Пусть третья производная функции является ограниченной на отрезке, то есть существует константатакая, что на указанном отрезке

.

Тогда будет справедлива оценка погрешности приближенного значения производной, вычисляемая по формуле (7.1.10):

(7.2.15)

Аналогично можно показать, что формулы (7.1.9), (7.1.11), а также формулы (7.1.19)  (7.1.21) будут иметь второй порядок точности при условии существования третьей производной функции между соответствующими узлами.

Пример 3

Требуется оценить погрешность формулы (7.1.15) при условии, что функция имеет производную четвертого порядка на отрезке.

В условиях рассматриваемого примера функцию можно разложить на указанном промежутке по формуле Тейлора. Запишем это разложение с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Пеано:

, (7.2.16)

при . (7.2.17)

Здесь точка лежит между точкамиx и . Используем разложения (7.2.16), (7.2.17) для вычисленияи:

, (7.2.18)

, (7.2.19)

при , (7.2.20)

при . (7.2.21)

Здесь точка лежит между точкамии, а точкамежду точкамии.

Рассмотрим разность между точным и приближенным значениями производной, вычисляемыми по формуле (7.1.15). Подставим в нее выражения (7.2.20), (7.2.21):

.

Таким образом, формула (7.1.15) имеет второй порядок точности.

Используем теперь для вычисления иразложения (7.1.18) и (7.1.19):

Пусть является ограниченной на отрезке, то есть существует константатакая, что на указанном отрезке

.

Тогда будет справедлива оценка погрешности приближенного значения производной, вычисляемого по формуле (7.1.15)

. (7.2.22)

Аналогично можно показать, что формула (7.1.23) будет иметь второй порядок точности при условиях существования , а формулы (7.1.14), (7.1.16), а также формулы (7.1.22), (7.1.24) будут иметь первый порядок точности при условиях существования третьей производной между соответствующими узлами.

Оценки погрешности для остальных формул численного дифференцирования получите самостоятельно.