33

Глава 7. Численное дифференцирование

Глава 7. Численное дифференцирование

Если функция является элементарной, то ее можно продифференцировать без особых проблем с помощью таблицы производных и правил дифференцирования. В противном случае задача дифференцирования функции может оказаться не такой простой. Если, например, функция задана не формулой, а таблицей значений в некоторых заданных точках, то задача вычисления ее производной вообще точно не решается из-за недостатка информации. В таких случаях используются специальные численные методы, позволяющие получать приближенные значения производной. Формулы приближенного численного дифференцирования используются не только по своему прямому назначению. С их помощью строятся разностные схемы для решения сложных краевых задач для дифференциальных уравнений.

7.1. Полиномиальные формулы

Пусть известна таблица значений функции , то есть, известны,. Будем искать приближения для производных функции. Общий принцип приближенного численного дифференцирования состоит в том, что функцияприближенно заменяется другой функцией , а в качестве производных функции выбираютсяпроизводные функции

, (7.1.1)

(7.1.2)

Будем аппроксимировать функцию интерполяционным многочленом. Запишем интерполяционный многочлен в форме Ньютона

(7.1.3)

Для определения приближенных значений производных выберем соответствующие производные интерполяционного многочлена. В результате получим так называемые полиномиальные формулы численного дифференцирования. Так, формулы для приближенного вычисления первой производной можно получить путем однократного дифференцирования формулы (7.1.3):

. (7.1.4)

При увеличении порядка производной m и с ростом n получаются все более громоздкие формулы, которые тяжело применить на практике. Поэтому полиномиальные формулы типа (7.1.4), используются при небольших значениях n и при их построении обычно используются не все узлы таблицы, а только некоторая часть из них. Кроме того, в большинстве случаев требуется определить приближенные значения производных только в табличных узлах , а таблица, как правило, имеет постоянный шаг. Именно этот случай мы и будем рассматривать в дальнейшем. Иными словами, мы рассматриваем случай, когда, а значения производных требуется знать только в точках .

Рассмотрим несколько примеров построения формул для вычисления производной первого порядка в некоторых узлах сетки.

Пример 1

Положим в формуле (7.1.4) и будем использовать два узлаи. В результате чего получим

(7.1.5)

Можно ожидать, что формула (7.1.5) будет наиболее точна, когда x находится вблизи используемых табличных узлов и. В частности, прии приполучим

, (7.1.6)

. (7.1.7)

Пример 2

Положим в формуле (7.1.4) и будем использовать узлы ,,. В результате чего получим

. (7.1.8)

Можно ожидать, что формула (7.1.8) будет наиболее точна, когда x находится вблизи используемых табличных узлов ,и. В частности, при,и приполучим

, (7.1.9)

(7.1.10)

. (7.1.11)

Дифференцируя правую часть равенства (7.1.4), получаем формулу для вычисления второй производной

(7.1.12)

Рассмотрим несколько примеров построения формул для вычисления производной второго порядка в некоторых узлах сетки.

Пример 3

Положим в формуле (7.1.12) и будем использовать узлы ,,. В результате чего получим

(7.1.13)

Можно ожидать, что формула (7.1.13) будет наиболее точна, когда x находится вблизи используемых табличных узлов ,и. В частности, при,и приполучим

, (7.1.14)

, (7.1.15)

. (7.1.16)

Формулы (7.1.6), (7.1.7), (7.1.9), (7.1.10), (7.1.11), (7.1.14), (7.1.15), (7.1.16) после элементарного обобщения можно использовать для вычисления производных не только в узлах ,иОчевидно, что если вместо узлов,взять узлы,и записать формулу (7.1.6), то вместо нее получим общую формулу, которую можно использовать почти на всей сетке:

, . (7.1.17)

Если вместо узлов ,взять узлы,и записать формулу (7.1.7), то вместо нее получим общую формулу

, . (7.1.18)

Заменив узлы ,,на,,, вместо формулы (7.1.9) получим общую формулу

, . (7.1.19)

Заменив узлы ,,на,,, вместо формулы (7.1.10) получим общую формулу

, . (7.1.20)

Заменив узлы ,,на,,, вместо формулы (7.1.11) получим общую формулу

, . (7.1.21)

Аналогично можно обобщить формулы (7.1.14) – (7.1.16):

, , (7.1.22)

, , (7.1.23)

, . (7.1.24)

Описанным способом можно получить и множество других формул численного дифференцирования. Но для их применения необходимо уметь оценивать погрешности получаемых с их помощью приближенных значений производных.