31
Варианты заданий для студентов приведены в прил. 5.
3.6.4. Пример выполнения задания
Заданы экспериментальные значения:
|
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
|
1,1 |
-0,03 |
-0,42 |
0,04 |
0,17 |
0,02 |
-0,1 |
0,02 |
0,06 |
Определяем начальные значения параметров ωf и α. По графику (см. ниже) видно, что период Tэкс прохождения грузом нулевого положения составляет приблизительно 8 единиц времени, fэкс=1/Tэкс,
начальное значение ωf ≈ 2πfэкс = 0,78, принимаем ωf = 0,8. Для γ выбираем начальное значение 0,2.
Решение задачи средствами Mathcad (рекомендуемый вариант)
Рабочий лист Mathcad’а (с добавленными отдельно пояснениями):
γ := 0.2 |
начальные |
ωf := 0.8 |
значения. |
(Обратите внимание на нижние индексы: в ωf индекс буквенный, в ti – цифровой)
i := 0 ..8 ti := i 2 |
задание вектора моментов времени |
t := ( 0 2 4 6 8 |
10 12 14 16 )T задание вектора моментов времени по-другому |
f (t ,γ ,ωf ,i) := e− γti cos(ωf ti)решение дифференциального уравнения как функция времени и параметров системы
Fexp := ( 1.1 −0.03 |
|
−0.42 |
0.04 |
0.17 |
0.02 |
−0.1 |
0.02 0.06 )T задание вектора экспериментальных |
|||||||||||||||||||
|
|
|
ti = |
|
|
|
Fexpi |
= |
|
|
f (t ,γ ,ωf ,i) |
|
|
|
|
|
координат колеблющегося груза |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1.1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Проверим, правильные ли значения у векторов? |
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
-0.03 |
|
|
|
|
-0.02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
-0.42 |
|
|
|
|
-0.449 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
0.04 |
|
|
|
|
0.026 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
0.17 |
|
|
|
|
0.201 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
10 |
|
|
|
|
0.02 |
|
|
|
|
-0.02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
12 |
|
|
|
|
-0.1 |
|
|
|
|
-0.089 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
14 |
|
|
|
|
0.02 |
|
|
|
|
0.012 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
16 |
|
|
|
|
0.06 |
|
|
|
|
|
0.04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
S |
( |
γ ,ω |
f) |
:= |
|
f |
( |
t ,γ ,ω |
f |
,i |
) |
− F |
|
2 |
|
вычисление невязки |
||||||||||
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
expi |
|
|
|
|
|
|
||||||||
S(γ ,ωf) |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= 0.014 |
|
значение невязки для заданных вначале значений параметров |
||||||||||||||||||||||||
Отыскание оптимальных значений |
γ |
и |
ωf |
: |
||||||||||||||||||||||
γ := 0.2 |
ωf := 0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Given |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ωf > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получены значения γ = 0,212, ωf = 0,799. |
|||||||||
Minimize |
( |
S ,γ ,ω |
f) |
= |
0.2116 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.7997 |
|
||||||||||||
32
Проверка правильности найденных значений
График зависимости невязки S(γ, ωf) от искомых параметров подтверждает наличие минимума в области найденных оптимальных значений.
Экспериментальные точки хорошо согласуются с графиком движения груза, построенным для оптимальных параметров.
Пример решения задачи средствами MS Excel
|
F |
G |
H |
γ |
I |
J |
Фрагмент листа MS Excel (с добавленными отдельно пояснениями): |
|
|||||
|
|
=(EXP(-F40*$I$39)*COS(F40*$J$39)) |
|
(оптимальные) |
||
|
|
|
|
|
|
|
39 |
Момент |
Замер в |
Подбираемые значения |
|
0,21162 |
0,799713 |
замера t |
эксперименте |
e-γt*cos(ωf*t) |
|
|||
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
0 |
1,1 |
1 |
|
|
41 |
2 |
-0,03 |
-0,018747528 |
|
|
42 |
4 |
-0,42 |
-0,428218495 |
|
|
43 |
6 |
0,04 |
0,024097293 |
|
|
44 |
8 |
0,17 |
0,182768562 |
|
|
45 |
10 |
0,02 |
-0,017188763 |
|
|
46 |
12 |
-0,1 |
-0,07774886 |
|
|
47 |
14 |
0,02 |
0,010287827 |
|
|
48 |
16 |
0,06 |
0,03296241 |
|
|
49 |
|
|
0,013313569 |
|
|
=СУММКВРАЗН(G40:G48;H40:H48)
К ячейке H49 применяем процедуру минимизации, подбирая с помощью надстройки “Поиск решения” значения γ (I39) и ωf (J39). Показанный фрагмент таблицы Excel соответствует уже проведённой минимизации. Корректность найденных значений параметров проверяем по графику (тип диаграммы Excel – точечная). Для построения графика задаём достаточно подробный (с шагом 0,5) ряд значений t и табулируем функцию e-γt*cos(ωf*t), на графике эти точки образуют Ряд2. Экспериментальные точки (Ряд1) построены по столбцам F40:F48 и G40:G48.
Ряд2 – сглаживающая кривая для найденных γ оптимальных параметров
и
Ряд1 – экспериментальные точки
Хорошее соответствие точек двух рядов, данных на графике, и совпадение с результатами расчёта в Mathcad’е свидетельствует о правильности найденных значений. Задача решена! (Заметим, что в отличие от случая более простых экспериментальных зависимостей эта задача не может быть решена подбором линии тренда для экспериментального графика).