17

Решение системы уравнений в Mathcad приведено на рис. 10б. В Mathcad также можно при менять прямые (метод Гаусса) и итерационные методы решения систем алгебраических уравнений.

Вкачестве дополнительного задания (задание №6) может быть реализована подобная процедура для заданного варианта системы уравнений с матрицей D (с применением как Excel, так и Mathcad).

3.4.Приближение таблично заданной функции

Винженерной практике довольно часто встречается задача получения зависимости (формулы) между двумя величинами в том случае, когда имеется таблица значений (например, в результате

экспериментальных исследований получены значения величины Yi при некоторых конкретных значениях аргумента Xi, где i=1,2,…m). Но для последующей деятельности требуется формула, связывающая эти две величины, по которой можно было бы с некоторой точностью определить величину Y при любом значении величины X. Получение такой зависимости называется аппроксимацией таблично (точечно) заданной функции.

Частным случаем аппроксимации является интерполяция полиномом (многочленом) n-й степени. Из курса математики известно, что имея m точек, можно получить неизвестные коэффициенты полинома n=m-1 степени. Интерполяцией называется

получение такой полиномиальной зависимости Y (X ), в соответствии

с которой для всех пар точек (называемых узлами интерполяции) имеется совпадение табличных с рассчитанными по зависимости Y (X ). Интерполяционная зависимость может быть построена единая

для всего интервала определения таблично заданной функции. В этом случае степень полинома на единицу ниже количества несовпадающих узлов интерполяции. Можно построить кусочную интерполяцию, разделив все количество узлов на группы. В пределах каждого такого участка интерполяции получают полином степенью на единицу ниже количества узлов интерполяции в этой группе. Если в группу включать 2 узла, т о получается полином первой степени (прямая линия). Такая интерполяция называется кусочно-линейной.

Кроме построения интерполяционных зависимостей, можно строить аппроксимирующие зависимости на основе различных функций взаимосвязи двух рассматриваемых величин. Обычно в этом

18

случае количество неизвестных параметров выбранной функции намного ниже количества пар значений в исходной таблице Y (X ).

Очевидно, что в этом случае возможно бесконечно большое количество сочетаний конкретных значений параметров аппроксимирующей функции. Необходимо выбирать такие значения параметров, которые в максимальной степени обеспечивали бы близость аппроксимирующей функции к исходным табличным значениям. Обычно применяют критерии квадратичного приближения. А именно, подбирают такие значения параметров аппроксимирующей функции, чтобы сумма квадратов отклонений (разницы вычисленных по ней значений и значений из таблицы) была минимальной ∑1m [Y (X i ) −Yi (X i )]2 → min . Построение

аппроксимирующих зависимостей на основе этого принципа (метода наименьших квадратов) реализовано в программах Excel и Mathcad. Точность аппроксимирующих зависимостей разного вида может весьма существенно различаться. В ходе аппроксимации с помощью Mathcad могут быть использованы следующие функции:

• «expfit» для определения коэффициентов A, B и C экспоненциальной функции вида

•«lnfit» для определения коэффициентов A и B логарифмической функции вида f (x)= A ln(x)+ B ;

•«pwfit» для определения коэффициентов A, B и C степенной функции вида f (x)= A xB +C .

3.4.1.Условие задания № 4

Дана таблично заданная функция - пары точек (xi,yi) (прил. 3), для которых необходимо выполнить следующее.

•С помощью программы Mathcad провести кусочно-линейную интерполяцию и найти значения y для следующих значений x:

1,3, 2,6, 4,4, 5,9, 7,1, 8,75. Построить график.

•С помощью программы Mathcad провести полиномиальную интерполяцию и найти значения y для следующих значений x: 1,3, 2,6, 4,4, 5,9, 7,1, 8,75. Построить график. Записать уравнение полинома (коэффициенты полинома указать с точностью 10 знаков после запятой).

•Провести 2 вида аппроксимации согласно варианту (прил.3). Оба графика построить на одной координатной плоскости. В

19

обоих случаях определить сумму квадратов отклонений для узловых точек. Данное задание выполнить как в Excel, так и в

Mathcad.

3.4.2. Пример выполнения задания № 4

Рассмотрим выполнение данного задания для следующих точек.

В качестве видов аппроксимации будем использовать:

•полином 3-й степени;

•степенную функцию.

Решим все поставленные задачи с использованием Mathcad.

1. Проведем кусочно-линейную интерполяцию с помощью функции «linterp» для заданных точек (xi,yi) и определим значение функции для указанных значений аргумента

(рис. 14).

Рис. 14. Кусочно-линейная интерполяция в Mathcad

2.Проведем полиномиальную интерполяцию с помощью функции «regress». Учитывая, что задано 10 точек, то

20

полином должен быть 9-й степени. В результате получили полином, представленный на рис. 15. Построим его график, на котором отметим исходные точки (рис. 15). По графику можно убедиться, что полином проходит через все заданные точки.

Рис. 15. Полиномиальная интерполяция в Mathcad

3. Используя функцию «polynom», определим для заданных точек значение функции (рис. 15).

4.Проведем с помощью Mathcad аппроксимацию для заданных точек с помощью полинома 3-й степени и степенной функции (рис. 16). Определим сумму квадратов отклонений для узловых точек (рис. 16):

•Для полинома 3-й степени эта величина равна 21,091.

•Для степенной функции эта величина равна 1,036.

5.Можно сделать вывод, что с помощью степенной функции мы получаем более точное приближение.

22

Рис. 18. Исходные точки для аппроксимации на графике

Рис. 19. Добавление на график аппроксимирующей линии (линии тренда)

8.Вызовем контекстное меню для одной из точек на графике и выберем пункт «Добавить линию тренда…». Для начала проведем аппроксимацию с помощью полинома 3-й степени.