10
Рис. 7. Нахождение корней уравнения и экстремума функции с помощью Mathcad
3.2. Основные операции с матрицами
Матрицей размерности m × n называется прямоугольная таблица m × n чисел ai,j (i=1,..,m, j=1,..,n):
a |
a |
... |
a |
|
|
11 |
12 |
|
1n |
|
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
, |
|
A = |
... |
... |
... |
|
|
... |
|
|
|||
|
am2 |
... |
|
|
|
am1 |
amn |
|
|||
расположенных в m строках и n столбцах. Матрица называется квадратной, если m=n.
Чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить на это число все элементы матрицы. Суммой двух матриц одинаковой размерности называется матрица той же размерности, каждый
11
элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых.
Произведение матриц определяется следующим образом. Пусть заданы две матрицы A и B, причем число столбцов первой из них равно числу строк второй. Если заданы матрицы A и B:
a |
a ... |
a |
|
b |
b ... |
b |
|
|
|||||
|
11 |
|
12 |
|
|
1n |
11 |
12 |
|
1k |
|
|
|
a21 |
a22 ... |
a2n |
b21 |
b22 ... |
b2k |
, |
|||||||
A = |
|
|
|
|
... |
, B = |
|
... ... |
... |
|
|||
... ... ... |
|
... |
|
|
|||||||||
a |
m1 |
a |
m2 |
... |
a |
|
|
b |
b |
... |
b |
|
|
|
|
|
|
mn |
n1 |
n2 |
|
nk |
|
||||
то произведением матриц A и B называется матрица |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
c |
|
c ... |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
12 |
1k |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
c21 |
|
c22 ... |
c2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
... |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... ... |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
cm2 ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cm1 |
|
cmk |
|
|
|
|
|||
элементы которой вычисляются по формуле: |
|
|
|
|
|||||||||
cij = ai1b1 j + ai2b2 j |
+... + ainbnj , |
i =1,...,m, j =1,...,k. |
|
||||||||||
То есть, говоря упрощенным языком, каждый ij-элемент матрицы С является результатом умножения i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В. Перемножаются попарно соответствующие коэффициенты и выполняется суммирование таких произведений. Произведение матриц A и B обозначается AB или А B , т.е. C=AB.
3.2.1. Условие задания № 2
Даны матрицы A, B и С. Вычислить матрицу D по формуле согласно варианту (прил.2). Задание выполнить в Excel и Mathcad.
3.2.2. Пример выполнения задания № 2
Вычислим значение матрицы D по формуле D = A B +C −5, где
|
|
|
|
|
2 |
−9 |
8 |
7 |
|
|
|
|
|
3 |
−3 5 |
2 |
|
9 |
−3 |
−1 |
0 |
|
5 |
1 |
8 |
||
|
|
||||||||||||
|
−1 −9 2 |
|
B = |
7 |
5 |
−1 |
8 |
|
|
3 |
4 −1 |
||
A = |
5 |
|
|
C = |
|||||||||
|
7 |
2 −5 |
|
|
8 |
4 |
2 |
1 |
|
|
2 6 |
10 |
|
|
−1 , |
|
, |
|
|||||||||
С помощью Excel рассчитаем матрицу D (рис. 8).
−7
−4
1 .
12
Рис. 8. Вычисление матрицы D в Excel
Операции линейной алгебры в EXEL выполняются в следующей последовательности:
1.Выделяется диапазон ячеек (матрица), в котором будет размещен результат. Также в Excel для обозначения матрицы иногда используется термин – «массив».
2.Применяется нужная процедура из категории «математические»:
•«МУМНОЖ» - возвращает произведение матриц (матрицы хранятся в массивах). Результатом является массив с таким же числом строк, как массив №1, и с таким же числом столбцов, как массив №2. Обращаем внимание, что массивы №1 и №2 должны задаваться именно в том порядке (слева направо), как они записаны в формуле. Нарушение этого правила приведет не только к неправильному вычислению коэффициентов результирующей матрицы, но и к получению результирующей матрицы другого размера (кроме случая перемножения квадратных матриц).
•«ТРАНСП» - транспортирование матрицы (возвращает вертикальный диапазон ячеек в виде горизонтального и наоборот).
•«МОБР» - возвращает обратную матрицу для матрицы, хранящейся в массиве.
•«МОПРЕД» - возвращает определитель матрицы (матрица хранится в массиве).
3.После появления в массиве результатов первого значения (соответствующего индексам 1,1) для появления остальных
13
нажать сначала клавишу «F2», а потом сочетание клавиш
«Ctrl» + «Shift» + «Enter».
Пример выполнения нескольких операций перемножения матриц и векторов приведен на рис. 9.
Рис. 9. Примеры перемножения матриц
На рис. 10а приведен пример расчета матрицы D средствами Mathcad. Заполним матрицу коэффициентов системы уравнений и найдем ее решение (рис. 10).
Рис. 10. а) вычисление матрицы D в Mathcad;
б) нахождение решения системы уравнений в Mathcad