27

Рис. 27. Результаты поиска решения с найденными значениями целевой и изменяемой ячеек

3.6. Дополнительные задания

Задания являются необязательными, но их выполнение положительно влияет на итоговую оценку за курсовую работу. Вариант задания студент может выбрать по согласованию с преподавателем только после выполнения пяти обязательных заданий. Варианты заданий приведены в прил.5. В качестве примера приведем задачу отыскания решений системы двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными в Excel (рис. 28).

В качестве дополнительного задания может быть взято решение задачи определения параметров затухающего гармонического осциллографа.

3.6.1. Постановка задачи

Проводится физический опыт с подвешенным на

пружине (k) грузом (m) и установленным параллельно пружине вязким демпфером (α) – затухающим гармоническим осциллятором. Груз отводится в крайнее верхнее положение и освобождается, после чего совершает свободные колебания, амплитуда которых постепенно уменьшается в результате рассеяния механической энергии в демпфере. Положения груза по вертикали фиксируются

через равные промежутки времени. Цель опыта – оценить (т.е.

28

приблизительно определить) параметры, определяющие колебательные движения груза - жёсткость пружины k и коэффициент вязкого сопротивления демпфера α.

Рис. 28. Пример отыскания решений системы двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными

Эти параметры сложнее определить прямыми измерениями в отличие от массы груза, который можно просто взвесить. Подобные

29

задачи (в более сложной постановке) встречаются в инженерной практике и называются задачами идентификации параметров динамических систем, причём в ряде случаев по опытам оцениваются инерционные параметры (массы), если взвесить объёмную конструкцию сложнее, чем прямо замерить жёсткость упругих элементов.

3.6.2.Математическое описание опыта

Воснове математического описания данного опыта лежит следующее дифференциальное уравнение свободного движения

3.6.3. Методика обработки экспериментальных данныхи

Для определения значений параметров используется простейший вариант метода наименьших квадратов (МНК), как одного из наиболее эффективных методов сглаживания (аппроксимации) экспериментально полученных рядов точек, разнообразные модификации которого широко используются для обработки экспериментов в различных областях человеческой

30

деятельности. Исходными данными для математической обработки опыта являются два ряда значений – моменты времени t, в которые замеряются положения груза (момент начала движения груза считается нулевым), и сами эти положения xэкс(t). Последовательность действий следующая:

1. Задают начальные значения ωf и α, приблизительно соответствующие реальным значениям. В качестве начального приближения для ωf можно принять значение 2πfэкс , fэкс – частота затухающих колебаний груза по опыту, Гц (частота прохождения грузом некоторой точки, например, нулевой, на оси координат в одном и том же направлении), которую проще всего приближённо определить, мысленно проанализировав набор экспериментальных точек или построив соответствующий график. Согласно теории, затухающее “периодическое” движение имеет место при γ < ω0, в качестве начального значения можно принять любое в диапазоне

0< γ < 2πfэкс.

2.Рассчитывают по формуле (*) координаты колеблющегося

груза xрасч(t) в те же моменты времени от начала колебаний, когда сделаны экспериментальные замеры xэкс(t). Очевидно, что xрасч зависит также от величин выбранных γ и ωf .

3.Рассчитывают( , ) = ∑ (для) − всего( ) ряда моментов t сумму квадратов разностей экс расч ,и которая, очевидно, является функцией искомых параметров . Найденная таким образом

наилучшими (оптимальными) с точки зрения максимальной близости экспериментальных и теоретически рассчитанных координат колебаний груза и могут использоваться в дальнейшем компьютерном моделировании.

5.Результатам решения не верим слепо, обязательно проверяем правильность по графикам.

6.Как видно из формул (**), α и k пропорциональны массе m, для простоты в заданиях принимается m = 1.