Примерные варианты контрольных работ Контрольная работа №1

1. Даны координаты вершин пирамиды АВСD.

А(2;2;2) В(4;3;3) С(4;5;4) D(5;5;6.)

а) построить пирамиду АВСD;

б) найти ее объем V_ABCD ;

в) найти площадь ABC S_ABC ;

г) найти cos(AB^AC) ;

д) найти пр_ADAC.

Ответ: б) ; в); г);

д) .

2. Найти площадь треугольника, построенного на векторах

.

Ответ: .

Найти длину вектора , если

Ответ: .

Контрольная работа №2

1. Даны координаты точек А(2; 2); В(-2; -8); М(-6; -2).

а) написать общее уравнение прямой (АВ);

б) найти расстояние от точки М до прямой (АВ);

в) написать уравнения прямых, проходящих через точку М параллельно и перпендикулярно прямой (АВ).

Ответ: а) 5х-2у-6=0; б) ; в)5х-2у+26=0; 2х+5у+22=0.

2. Написать уравнение прямой, проходящей через левый фокус кривой параллельнопрямой 3x-2y+1=0. Построить прямую и кривую.

Ответ: 3х-2у+12=0.

3. Даны координаты точек А(2; 3; 3); В(1; 1; 1); С(3; 3; 2).

а) написать параметрические и канонические уравнения прямой (АВ);

б) написать уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой (АВ);

в) написать общее уравнение плоскости АВС;

г) найти расстояние начала координат до плоскости АВС;

д) найти угол между прямой (АО) и плоскостью АВС;

е) найти проекцию точки О на плоскость АВС.

Ответ: а) ;; б);

в) 2х-3у+2z-1=0; г) ; д); е).

Теоретические вопросы к экзамену

1. Векторы: длина и направление, коллинеарность и компланарность. Равенство векторов.

2. Линейные операции над векторами и их свойства.

3. Линейное векторное пространство.

4. Линейная зависимость и независимость. Теоремы о линейной зависимости.

5. Геометрический смысл линейной зависимости на плоскости и в трехмерном пространстве.

6. Базис и система координат. Единственность разложения вектора по базису. Теоремы о координатах суммы векторов и произведении вектора на число.

7. Преобразование координат вектора при смене базиса.

8. Аффинные пространства. Аффинные системы координат.

9. Проекция вектора на ось. Теоремы о проекции вектора на ось.

10. Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей.

11. Евклидовы, нормированные и метрические пространства. Неравенства Коши - Буняковского и треугольника.

12. Векторное произведение векторов и его свойства. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей.

13. Смешанное произведение векторов и его свойства. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.

14. Двойное векторное произведение. Условия ассоциативности векторного произведения.

15. Деление отрезка в заданном отношении.

16. Полярные и обобщенные полярные координаты на плоскости.

17. Цилиндрическая и сферическая системы координат.

18. Различные виды уравнений прямой на плоскости.

19. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой.

20. Геометрический смысл неравенств первого порядка.

21. Различные виды уравнений плоскости в пространстве.

22. Угол между плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

23. Различные виды уравнений прямой в пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

24. Взаимное расположение прямых в пространстве.

25. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

26. Эллипс.

27. Гипербола.

28. Парабола.

29. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы.

30. Упрощение общего уравнения линии второго порядка при параллельном переносе.

31. Упрощение общего уравнения линии второго порядка при повороте осей координат.

32. Классификация кривых второго порядка.

33. Основные поверхности второго порядка: сфера, эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды.

34. Цилиндрические поверхности.

35. Конические поверхности.

36. Классификация поверхностей второго порядка.

37. Инварианты общего уравнения кривой второго порядка.

38. Инварианты общего уравнения поверхности второго порядка.