1 курс 1 ый семестр / физика / лабораторные / Двояшкин_М_Н___Черкасс_М_А___Двояшкин_Н_К___Кабиров_Р_Р___Мо«Механика_и_молекулярная_физика»_Лабораторный_практикум_по_д

1. Растяжение.

ка

Под влиянием груза P стержень длиною l и поперечного сечения S

растягивается (или укорачивается) на величину ∆l. По закону Гука имеем:

∆l=α

Pl

е

(1)

S

где α- коэффициент упругости при растяжении (сжатии), или коэффициент

продольного удлинения (сжатия); P – вес груза, l– длина стержня,

S- поперечное сечение материала.

о

т

Модуль упругости (или модуль Юнга) при растяжении равен:

Е=

1

=

Pl

и

(2)

2.

Изгиб.

α

S l

Если

прямой упругий стержень

неподвижно закрепить одним

концом в

л

твердой стене, а другой конец нагрузить грузом P, то этот конец опустится, т.е.

стержень согнется. Легко понять, что при изгибе верхние с ои стержня будут

б

растягиваться, нижние - сжиматься, а некоторый средний слой, который

называется нейтральным

слоем, сохранит

и

длину и только претерпит

искривление. Перемещение

x, которое получает сво одный конец стержня,

называется стрелой прогиба. Стрела прог ба будет тем больше, чем больше

λ =

4Pl3б

(3)

Eab3

незакрепленному концу стерж я. В случае, если стержень будет обоими

ая

концами свободно положен а твердые опоры и нагружен в середине весом P

н

н

этом случае изгиба каждая из опор оказывает на стержень противодействие,

равное

P

, тогда как

ос едняя часть остается горизонтальной. Таким образом,

2

стержень, опирающийся обоими концами, ведет себя точно также как, если бы

р

а на

каждом из концов,

находящихся на

он был за реплен посередине,

расстоянии

l

т

P

Следовательно,

2 от середины его действовала бы вверх сила 2 .

к

в этом случае стрела прогиба будет равной:

откудал

е

λ =

Pl3

4Eab3

Э

81

E =

Pl3

,

(4)

4ab3

ка

Где Е-модуль Юнга материала стержня, P- нагрузка, приложенная

стержню, l-

длина стержня, а - ширина, b- высота стержня, λ - стрела прогиба.

е

т

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

л

о

, ширину - а, высоту стержня – b масштабной линейкой.

2.

Отмечают нулевое положение стержня.

3.

На стержень постепенно подвешивают грузы Р1 , Р2 , Р3ии производят отсчет

стрелы прогиба λ (на закрепленной вертикально линейке).

4.

Вычисляют модуль Юнга по формуле:

и

б

Pl3

E =

.

4λab3

5.

б

Произвести расчет погрешности. Результаты заносят в таблицу:

№

Р,кг

а, м

b, м

l , м

λ, м

Е,Па

Еср

∆Ei

(∆Ei)2

∆S

∆E

ε,%

1

ая

2

3

6.

н

Проделать опыт с деревянным и пластмассовым стержнями. Результаты

оформить в виде таблиц.

н

о

Контрольные вопросы:

р

1.Назовите виды деф рмаций.

2.

Сформулируйте зак н Гука.

3.

Что называют модулем Юнга?

4. Вырази е жесткость k упругого стержня через его размеры и модуль Юнга

материала

к

5. Для а их деформаций справедлив закон Гука?

е

6. Что называюттпределом упругости, пределом прочности?

7. Объясните, почему жесткость двутавровой балки на изгиб почти такая же,

л

как бруска т х же габаритов из такого же материала?

Э

82

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №11

ка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

С ПОМОЩЬЮ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА

е

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

т

Моментом инерции системы материальных оточек (тела)

относительно данной оси называется скалярная физ ческая величина, равная

сумме произведений масс всех материальных точек системы (тела) на квадраты

и

их расстояний до рассматриваемой оси (масса те а m = åmi ):

n

б

л

J = åmi × ri2 ,

i=1

Если известен момент инерции тела относ тельно оси, проходящий через

б

и

инерции Jc относительно параллельной оси,

проходящей через центр масс С

тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния d

между

осями:

+ m × d 2 .

J = J c

Из приведённой формулы видно, что момент инерции тела минимален,

ая

если ось вращения проходит через центр масс.

Момент импульса

твёрдого

тела относительно оси есть

сумма

н

моментов импульсов отдельных частей тела, рассматриваемых как

материальные точки. (Для каждой точки υ

i

r , т.е.sinb=1)

о

н

n

i

Lz = åmi ×υi × ri ,

i=1

Заменим υi =ω ri ,получаем:

т

р

n

n

LZ = å mi × ri2 ×ω = ω å mi × ri2 = J Z ×ω

i=1

i=1

Продифференцируемк

это уравнение по времени:

Э

л

е

dLZ

= J Z

dω

= J Z ×ε = M Z ,

dt

dt

83

dLz

= M Z

или

M Z = J Z

×ε .

dt

Эти выражения являются разными формами записи основного

уравнения динамики вращательного движения.

В практике для измерения моментов инерции служит трифилярный

подвес, представляющий

собой круглую

платформу

P|

, подвешенную

к

платформе Р

на

трёх

r

Х

нитях

т

,

ВВка

и

симметрично

расположенных

АА

|

|

СС| .(рис.6).

В

о

е

Р

А

О

С

и

л

B/

В/

Z

B

C

У

/

A

φ

O

C/

и

A

Р′

А/

О/

φ

б

бВид сверху.

R

С/

рис.1

Платформа

Р /

может

совершать крутильные

колебания

вокруг оси,

перпендикулярной

её

плоскости и

проходящей через

её центр.

Период

н

колебаний определяется величиной момента инерции платформы. Если

платформу нагрузить

каким-либо телом,

то период

колебаний изменится.

н

момент инерции исследуемого тела относительно оси, проходящей через центр

платформы.

о

Если

платф рма, имея

массу М и поворачиваясь под действием

р

внешней силы на уг л φ, поднимается на высоту h, то приращение

потенциальной эне гии составляет

к

E p = Mgh

Вращаясь в обратном направлении, платформа придёт в положение

равновесия с инетической энергией равной

е

т

Ek = 1 Jω02 ,

где J

2

– момент инерции платформы, ω 0 - угловая скорость платформы в

момент достижения положения равновесия.

Э

84

Пренебрегая трением, на основании закона сохранения энергии имеем:

л

Mgh = 1 Jω02 .

2

При небольших смещениях (малые h или малые φ) крутильные колебания

0

ка

платформы будут гармоническими, в этом случае, согласно

закону

ϕ(t) = ϕ0

æ

2π

ö

sinç

× t ÷,

è T

ø

где ϕ - угловое смещение, φ - амплитуда углового см щения, T-

период колебаний, t- время, прошедшее с момента начала колебаний.

Угловая скорость движения платформы будет равна:

о

T

2

т

е

ω =

dϕ

= ϕ0

2π

æ

2π

ö

cosç

× t ÷ .

dt

T

è T

ø

В момент прохождения положения равновес я (t = 0, t =

2 , t = 2T,K)

ω = ω0

=

2π

ϕ0

и

T

Подставим значение ω0 в закон сохранения энергиил

1

æ

2πϕ

ö2

б

0

Mgh =

Jç

б

0

÷

2

T

è

ø

Далее, необходимо установить зависимостьи

высоты поднятия

платформы h от длины нитей, радиуса платформы R, радиуса неподвижного

ая

верхнего диска r и максимального углового смещения ϕ . При повороте

платформы на угол ϕ0 нить АА| займет положение А1А1

| , а центр

платформы О |

переместится в положение О1

| , поднявшись на высоту h так,

что h= О| О1

| (рис.2).

н

н

А

r

р

о

L

С /

О/

т

1

1

к

А

′

С

/

h

О/

л

е

А1′

Э

R

85

рис.2

(AC)2 - (AC )2

ка

h = O1¢O¢ = AC - AC1

=

1

AC + AC1

е

(AC)2 = (A¢A)2 - (A¢C0 )2 = l 2 - (R - r)2 .

т

(AC1 )2 = (A¢A)2 - (A1¢C1 )2 = l

2 - (R2 + r2 - 2Rr cosϕ0 )

Из этих равенств найдем:

2 ϕ0

о

2Rr(1 - 2cosϕ0 )

4Rr sin

h =

=

2

AC

+ AC

AC + AC

1

1

При малых отклонениях sinϕ0 ≈ ϕ0

, а при R<

l , r< l

, AC1 + AC ≈ 2l ,

тогда

R × r ×ϕ 2

л

и

h =

0

,

2 × l

2π ×ϕ0 ö2

R × r ×ϕ02

1 æ

т.е. имеем

M × g

=

J × ç

б

÷

2 × l

2

T

è

ø

отсюда

и

M × g × R × r ×T 2

J =

б

4π

2

× l

По этой формуле может быть определен момент инерции самой

платформы и момент инерции пл тформы вместе с находящимся

на ней

грузом, т.к. при добавлении груза изменяется только масса платформы.

н

ая

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Приборы и принадлежности: трифилярный подвес, шар, сплошной и

н

полый цилиндры, секундомер, штангенциркуль, линейка.

Меры предосторожностио

: при работе с установкой категорически

запрещае ся януть платформу вниз, а поворот необходимо осуществлять

медленно и олькор

в горизонтальной плоскости.

е

к

т

л

Э

86

УПРАЖНЕНИЕ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО

ТЕЛА С ПОМОЩЬЮ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА

ка

1)

Повернуть

платформу

на

угол

ϕ0 = 5 − 60 ,

возбудив в

ненагруженной системе крутильные колебания (для удобства отсчета

колебаний

на

платформе

имеется

метка).

Измерить время

10 полных

колебаний, найти период Т0 =

t

т

n

о

е

колебаний. Опыт провести три раза.

2) Поместить в центр платформы по отдельности кажд е из трех тел,

имеющихся в наборе,

и

и определить периоды колебаний платф рмы вместе с

грузами, соответственно Т1, Т2, Т3. Все измерения провести не менее трех

раз. Результаты измерений занесите в табл. 1.

л

Таблица 1

№

Название тела

Время

10

Период

Средний

Момент

Момент

колебаний

колебаний

период

б

инерции

инерции груза

3

и

2

t (с)

Т (с)

Т (с)

J(кг·м )

Эксперим.

Расчет

1.

Ненагруженная

1

платформа

2

(Т0)

( J M 0 )

( J M 0 )

2.

Шар

1

(бТ1)

( J M1)

( J m1)

2

3