Schervakova_Yu.V._Gidravlika_Shpargalka

5а 5. Закон сообщающихся сосудов. Закон Паскаля. Гидравлический пресс

Закон сообщающихся сосудов. Будем рассматривать равновесие жидкости в сообщающихся сосудах (рис. 3а). В нашем случае на свободной поверхности в обоих сосудах одинаковое внешнее давление p0. В сосудах разные жидкости с удельными весами γ1 и γ2. Поверхностью равного давления является поверх ность раздела жидкостей ОО. Уравнение равновесия относительно горизонтальной плоскости ОО выглядит

Закон Паскаля: любое изменение давления в покоящейся жидкости передается одинаково во все точки занятого ею пространства .

На основании этого закона обоснован прин цип работы гидравлических машин.

Гидравлический пресс — машина, исполь зуемая для получения больших усилий при прессовании, штамповке, испытании материа лов. Эта машина состоит из двух сообщающих

Рис. 3б

6а 6. Сила гидростатического давления на горизонтальную плоскую поверхность. Сила давления жидкости на произвольно ориентированные плоские

поверхности

11

5б ся цилиндров с поршнями малого d и большого D диаметров (рис. 3б). Первый соединен с рычагом, который дает дополнительный выигрыш в силе. К рычагу приложена сила Р0, на малый поршень пере

дается сила

a P =P .

1 0 b

В жидкости под поршнем давление увеличивается на величину

a p= P1= P0 b ,

ω ω

где ω — площадь поперечного сечения малого поршня. Сила давления на большой поршень:

P = pΩ =P a Ω ,

0 b ω

где Ω — площадь поперечного сечения большого поршня.

Передаточное число: Ω/ω. Если коэффициент полезного действия , получаем расчетную формулу

a D 2

P =P0 η. b d

Гидравлический подъемник — машина с аналогичным устройством, но без неподвижной плиты П (рис. 3б).

6б та площадки Δω по вертикали — h, по наклону плоскости — l от линии уреза жидкости. Сила давления на площадку Δω:

P = p = (p0 + γh)Δω.

При суммировании параллельных элементарных сил давления на отдельные площадки плоской стенки, будет:

Pполн. = p0 ω + γhц.т ω.

Когда внешнее давление на свободную поверхность жидкости ро равно атмосферному рАТ, то сила мано метрического давления определится выражением P = γhц.т ω.

Сила давления на произвольно ориентированную плоскую поверхность равна по величине произведению площади стенки на давление, которое испытывает ее центр тяжести. Направлена она по внутренней норма ли к площадке действия.

12

Из практических соображений при расчете сооружений необходимо знать величину, направление силы давления и точку ее приложения.

Точка пересечения равнодействующей сил давления жидкости с поверхностью, воспринимающей давле ние, называется центром давления.

Центр давления на горизонтальной плоской поверхности совпадает с ее центром тяжести. Положение центра давления на произвольно ориентированной площадке должно определяться двумя координатами. Что касается гидротехнической практики, то части сооружений, на которые воздействует жидкость, как пра вило, симметричны, одна из координат центра давления известна — центр расположен на оси симметрии плоской стенки. Расстояние до центра давления от свободной поверхности или от линии ее пересечения с плоской стенкой может быть второй координатой. Для ее определения рассмотрим симметричную плос кую стенку, которая поддерживает покоящуюся жидкость и наклоненную к горизонту под углом α (рис. 5).

На основании положения теоретической механики о равенстве момента равнодействующей сумме мо ментов составляющих относительно одной и той же оси, можно принять за ось моментов линию уреза, тог да получится:

8а 8. Определение положения ригелей в плоских прямоугольных затворах

На практике плоские металлические затворы гидротехнических сооружений представляют собой каркас из системы балок с обшивкой. Положение ригелей (горизонтальных балок) определяется условием равной их нагруженности. Зная, что величина гидростатического давления равна объему эпюры давления, силу гидростатического давления на весь затвор можно разделить поровну между ригелями графоаналитиче ским способом. Так как будут рассматриваться прямоугольные плоские поверхности, то достаточно разде лить эпюру давления на равновеликие части линиями, нормальными к плоскости затвора. Горизонтальные балки размещают на уровне центров тяжести каждой части эпюры.

Сила давления на затвор определяется как: P = γ h2 b ,

2

поэтому, при n ригелях на каждую часть затвора приходится сила, равная: P = γh2 b. n 2n

h2

Одновременно для первой сверху части затвора имеем: P1 = γ 1 b 2

13

7б После преобразований получим:

Из этой зависимости вытекает, что центр давления на произвольно ориентированной плоской поверхности расположен всегда ниже ее центра тяжести. Ниже на величину отношения момента инерции J0 площади отно сительно центральной оси параллельной линии уреза к статическому моменту ωlц.т этой площади относитель но линии уреза.

Давление на плоскую поверхность может быть изображено графически; причем каждая ордината эпюры давления соответствует гидростатическому давлению на поверхность в данной точке. Как правило, эпюру строят на оси симметрии площадки. Если формы плоской поверхности различны, то осевая эпюра давле ния отличается от эпюр, которые построены на других вертикалях. Объемная эпюра призматична только для прямоугольной площадки. Для прямоугольных плоских поверхностей возможно применять графоаналити ческий способ определения величины силы давления. Величина силы гидростатического давления Р на плоскую площадку равняется объему эпюры давления Wэп. Поэтому имеем:

Выделим на площадке участок шириной b и высотой h. Тогда сила давления на этот участок выглядит следующим образом:

DP = p = pb b.

Сила давления на всю площадку определяется как сумма элементарных сил:

P = ∑Δp = b∑p ΔΔ,

где p — произведение ординаты эпюры давления на элементарную высоту;

сумма ∑p h — площадь эпюры давления, в случае умножения на ширину площадки — объем эпюры. Поэтому, сила давления на единицу ширины стенки выражается площадью эпюры давления. Равнодей

ствующая этой силы должна проходить через центр тяжести площади эпюры. Сила гидростатического дав ления нормальна к площадке действия. А отсюда: центр давления находится в точке пересечения плоской поверхности с перпендикуляром к ней, который проведен через центр тяжести эпюры.

8б определяющие расстояния от свободной поверхности до границ, разделяющих эпюру давления на n равновеликих частей.

Расстояние от свободной поверхности до центра давления О каждой части затвора находится по зависи мостия:

Все вышеизложенное справедливо также и для наклонного затвора, верхняя кромка которого совпадает с линией уреза.

14

10а 10. Закон Архимеда. Условие плавания тел. Устойчивость плавающих тел

На тело, погруженное в жидкость, которое находится в равновесии, действует сила тяжести этого тела и поверхностные силы давления (рис. 7а). Горизонтальные составляющие силы давления жидкости скомпен сированы.

На часть тела АВС действует вертикально вниз сила, равная весу жидкости в объеме АЕFСВ: Pz1 = γW1, а на часть тела АDС вертикально вверх действует сила, равная весу жидкости в объеме АЕFСD: Pz2 = γW2. Равно действующая этих сил направлена в сторону действия большей силы — вертикально вверх. Она равна весу

жидкости в объеме АВСD: Pz = Pz2 – Pz1 = γW2 – γW2 = γW.

Закон Архимеда: на тело, которое погружено в жидкость, действует выталкивающая сила. Эта сила равная по величине и обратная по направлению весу жидкости, вытесненной те лом: P = γW. Причем линия действия силы проходит через центр тяжести погруженного объема. Сила Р — архимедова сила.

Плавучесть тела — способность его плавать при заданной на грузке, причем если вес тела G больше архимедовой силы Р (рис. 7б), тело тонет. Если G=Р, тело плавает в погруженном состоянии; если G<Р, тело всплывает до тех пор, пока при уменьшений погруженного объема, архимедова сила Р не уменьшится до величины G.

Основное условие плавания выражается ра венством G = P = γW. Под весом тела G подразу мевается собственный вес плавающего тела

ивес дополнительной нагрузки.

Подводным называется плавание при пол

ном погружении тела в жидкость, а надводным при частичном погружении.

Если плавающее тело однородно по всему объему Wт, то его вес равен: G = γTWT,

где γT — удельный вес тела. Тогда можно записать:

15

9б Направление равнодействующей сил давления на криволинейную поверхность:

cos(P,Ox) = Px , P

cos(P,Oz) = Pz . P

Центром давления называется точка, в которой линия действия силы Р пересекается с криволинейной по верхностью (рис. 6б). Эта линия нормальная к поверхности, угол наклона ее к горизонту известен из фор мулы, записанной выше; координаты центра давления можно вычислить по формулам

x = rcos (P,Ox), z = rcos (P, Ox).

Графическое определение направления силы Р и координат ее центра давления. В этом случае строит ся эпюра давления на вертикальную проекцию криволинейной поверхности; находится центр давления горизонтальной силы Рх. Затем строится сечение тела давления, и отыскивается его центр тяжести, через который проходит вертикальная линия действия силы Рz. Причем равнодействующая Р будет проходить че рез точку S пересечения составляющих. Вторая точка, лежащая на линии равнодействующей Р — центр кри визны О. Нужно выбрать оси координат, а затем измерить в масштабе величины х и z, определяющие поло жение центра давления О.

10б или при g=const

ρT = W .

ρ WT

Отношение удельных весов плавающего тела и жидкости обратно пропорционально отношению объема тела к объему вытесненной им жидкости. При подводном плавании эти объемы равны. Условие подводного плавания однородного тела: γT = γ.

Пусть имеем симметричное тело, находящееся в условиях водного плавания. Плоскостью плавания на зывается пересекающая тело плоскость свободной поверхности. Линия пересечения поверхности тела с плоскостью плавания — это ватерлиния, а ограниченная ею плоскость называется плоскостью ватер$ линии.

Осадка — глубина погружения наинизшей точки смоченной поверхности тела y. Объем жидкости W, вы тесненной телом, называется объемным водоизмещением. Вес жидкости γW называется водоизмеще$ нием. Водоизмещение судна при полной нагрузке есть основная его характеристика.

Центром водоизмещения называется центр тяжести объемного водоизмещения D, через который про ходит линия действия архимедовой силы.

Ось плавания — это линия, проходящая через центр водоизмещения D и центр тяжести С тела при его равновесии; для сохранения равновесия ось плавания должна быть вертикальна, иначе силы Р и G составят пару сил, вращающих тело.

Остойчивость — способность плавающего тела, выведенного из равновесия, возвращаться в исходное положение после прекращения действия сил вызвавших наклон.

Пусть рассматриваемое твердое симметричное тело, плавающее в спокойной воде при малых углах кре на (α < 15°), может возвратиться в нормальное вертикальное положение, если пара сил G и Р создает вра щающий момент в сторону уменьшения наклона. При невыполнении этого условия тело неустойчиво.

Значит, продольный метацентрический радиус больше поперечного, поскольку всегда больший момент

Значит, остойчивость тела тем больше, чем выше положение метацентра над центром тяжести. Расстоя ние между точками М и С называют метацентрической высотой m (при большом его значении судно ста новится валким).

16

Гидродинамика изучает законы механического движения жидкостей и различные методы применения этих законов к решению задач.

Поток жидкости — это движение массы жидкости, ограниченной системой поверхностей твердых тел,

ав общем случае — и поверхностей соприкосновения жидких и газообразных тел.

Здесь мы будем рассматривать жидкость, сплошь заполняющую пространство, не имеющую пустот

или разрывов. Пусть частица жидкости находится в какой либо точке и обладает некоторой скоростью и давлением в данный момент времени. Скорость и давление — непрерывные функции координат и време ни, если они изменяются с течением времени.

При движении жидкости действуют:

1)поверхностные силы — силы давления и внутреннего трения;

2)массовые (объемные) силы, пропорциональные массе движущейся жидкости, т.е. силы тяжести, силы

инерции переносного движения и кориолисова сила инерции.

Внутреннее давление в жидкости при ее движении называется гидродинамическим давлением р. Основная задача гидродинамики — определение скорости, гидродинамического давления, их взаимо

связи и сопротивлений движению жидкости.

Довольно часто в гидродинамике считают, что жидкость лишена вязкости, т.е. является идеальной и не сжимаемой. Это позволяет упростить процесс получения искомых решений, которые в последствии долж ны быть исправлены и уточнены с учетом вязкости жидкости.

Неустановившимся движением называется такое движение, при котором в каждой данной точке прост ранства скорость движения и гидродинамическое давление с течением времени изменяются:

u = f1(x, y, z, t); p = f2(x, y, z, t),

т.е. эти функции зависят не только от местонахождения точки, но и от времени, в течение которого рассмат ривается движение.

Установившимся движением называется такое движение, при котором в каждой данной точке скорость и гид родинамическое давление с течением времени не изменяются, но в разных точках они могут быть различными:

u = 1(x, y, z, t); p = 2(x, y, z, t). Установившееся движение бывает равномерное и неравномерное.

При равномерном движении скорости, форма и площадь сечения потока не изменяются по длине. В от крытых потоках глубины постоянны вдоль потока, поэтому уклон свободной поверхности равен уклону дна.

При неравномерном движении изменяются скорости, глубины, площади сечений потока по его длине.

Траектория — это путь, который проходит данная частица жидкости в пространстве за определенный промежуток времени. В случае установившегося движения форма траекторий не изменяется во время дви жения, а при неустановившемся движении постоянно изменяются и величины, и направления скорости дви жения. Также непрерывно изменяются во времени траектории движения частиц. Траектория характеризует путь, проходимый одной определенной частицей.

Рассмотрим понятие о линии тока. Для этого рассмотрим пространство, занятое движущейся жидкостью и выберем в этом пространстве произвольную точку 1 (рис. 8). В этой точке построим вектор скорости, изображающий по величине и направлению скорость u1 в этой точке в данный момент времени. На этом же векторе обозначим точку 2, отстоящую от точки 1 на незначительном расстоянии, и в ней построим вектор скорости, изображающий скорость u2 в этой точке в тот же момент времени. Затем на векторе скорости u2 возьмем точку 3, на таком же незначительном расстоянии от точки 2 и в ней построим вектор скорости u3 в тот же момент времени. Если расстояния между этими точками уменьшать, устремляя их к нулю, то в пре деле линия 1 — 2 — 3... превратится в кривую, которая называется линией тока.

Линия тока — кривая, проведенная через ряд точек в движущейся жидкости, причем так, что в каждой из этих точек в данный момент времени векторы скорости являются касательными к кривой. Линия тока харак теризует направление движения в данный момент времени различных лежащих на ней частиц.

В случае установившегося движения линии тока совпадают с траекториями частиц жидкости, а при не установившемся движении они не совпадают, так как каждая частичка жидкости лишь одно мгновение находится на линии тока, которая сама существует лишь одно мгновение. Если в движущейся жидкости выделить маленький контур, который ограничивает элементарно малую площадку Δω, то поверхность, об разуемая линиями тока, проходящими через все точки этого контура, выделяет трубку тока. Если же через все точки площадки Δω провести линии тока, то полученный объемный пу чок линии тока будет называться — элементарной струйкой жидкости.

Она заполняет трубку тока и ограничена линиями тока, проходящими че рез точки выделенного контура с площадью Δω.

При установившемся движении проявляются следующие свойства эле ментарной струйки жидкости:

1) так как формы линий токов неизменны с течением времени, площадь данного поперечного сечения струйки и ее форма с течением времени не изменяются;

2) поскольку при установившемся движении линии тока совпадают с траек ториями частиц, а боковая поверхность струйки состоит из линий тока, то перетекание жидкости через боковую поверхность элементарной

17

11б К неравномерным движениям относится плавно изменяющееся движение, которое характеризу ется тем, что:

1)линии тока имеют малую кривизну;

2)линии тока почти параллельны, вследствие чего живое сечение можно считать плоским;

3)давления в плоскости живого сечения распределяются по гидростатическому закону:

p

z + γ = const .

В тех случаях, когда поток ограничен твердыми поверхностями со всех сторон, происходит напорное движение. При этом в любой точке потока гидродинамическое давление отличается от атмосферного и мо жет быть больше или меньше атмосферного. Здесь движение происходит под действием давления (насо сом или водонапорной башней).

Отличительной чертой безнапорного движения является то, что поток имеет свободную поверхность, находящуюся под атмосферным давлением — движение в реках, каналах, не полностью заполненных кана лизационных, дренажных трубах и т.п. Этот вид движения происходит под действием сил тяжести.

12б 3) так как площадка поперечного сечения элементарной струйки мала, то можно считать, что во всех точках этого поперечного сечения скорости движения одинаковы.

Элементарно малая площадка , представляющая собой поперечное сечение струйки, перпендикулярное к линиям тока, называется живым сечением струйки.

Объем жидкости, проходящий через живое сечение струйки в единицу времени называется расходом элементарной струйки.

Гидравлика рассматривает струйчатую модель движения жидкости; поток считается состоящим из со вокупности элементарных струек, имеющих различные скорости.

18

13а 13. Гидравлические характеристики потока. Расход и средняя скорость

Существуют следующие характеристики потока: площадь живого сечения, смоченный периметр, гидрав лический радиус.

Живое сечение — это поперечное сечение потока, нормальное ко всем линиям тока, его пересекаю щим. При плавно изменяющемся (или равномерном) движении живое сечение представляет собой плос кость. При неплавно изменяющемся движении живое сечение может быть и криволинейной поверхностью. При плавно изменяющемся движении реальной (вязкой) жидкости, давление в плоскости живого сечения распределяется по гидростатическому закону.

Линия, по которой жидкость соприкасается с поверхностями русла в данном живом сечении, называется смоченным периметром, а длина этой линии обозначается через χ.

При напорном движении смоченный периметр совпадает с геометрическим периметром, так как в каждом живом сечении нет точек стенки, которые бы не соприкасались с жидкостью. В открытых руслах смоченный периметр не совпадает с геометрическим периметром живого сечения, в который входит и длина линии соприкасания жидкости с атмосферой.

Гидравлический радиус R — важная характеристика живого сечения ω, представляющая собой отноше ние площади живого сечения к смоченному периметру χ:

ω

R = χ .

При напорном движении в круглой трубе гидравлический радиус равен четверти диаметра, или половине геометрического радиуса трубы r0:

Как правило, в гидравлике рассматривают потоки, в которых не образуются разрывы и незаполненные жидкостью пустоты. Другими словами рассматривается жидкость, сплошь заполняющая пространство.

Будем рассматривать элементарную струйку несжимаемой жидкости при установившемся движении. Вы делим сечения 1—1 и 2—2, которые расположенные на расстоянии одно от другого (рис.10). Площади жи вых сечений Δω1 и Δω2, скорости u1 и u2 соответственно, расходы элементарной струйки в сечениях Q1

иQ2. Тогда:

Q1 = Δω1u1 и Q2 = Δω2u2,

причем Q1 втекает в рассматриваемый отсек, а Q2 — вытекает.

Если форма элементарной струйки не изменяется с течением времени, то поперечный приток и отток не возможен. Поскольку скорости на боковой поверхности струйки направлены по касательным к линиям тока, из которых состоит эта боковая поверхность, получится, что расходы Q1 и Q2 равны:

u1Δω1 = u2Δω2.

Аналогично можно записать выражения для любых двух сечений элементарной струйки, расположенных вдоль нее:

u1Δω1 = u2Δω2 = uΔω = Q = const.

Это уравнение называется уравнением неразрывности для элементарной струйки несжимаемой жидкости при установившемся движении.

Выделим в потоке два любых сечения, отстоящих на некотором расстоянии, тогда, просуммировав по каждому из живых сечений обе части в уравнении:

∑u1ω1 =∑u2Δω2

ω1 ω2

получится уравнение неразрывности для потока при установившемся движении:

Q1 = Q2 = Q = const

или

v1ω1 = v2ω2 = vω = Q = const.

Значит, в этих условиях расход, проходящий через все живые сечения потока, неизменен, хотя в каждом сечении средняя скорость и площадь живого сечения могут быть неодинаковы.

19

13б мирование должно быть произведено по всему живому сечению. Поскольку скорость движения u пос тоянна по всей площади Δω живого сечения элементарной струйки при установившемся движении, то

расход элементарной струйки и расход потока соответственно будет равен:

Q = u , Q =∑ Q =∑uΔω.

ω ω

Средней скоростью потока в данном сечении называется воображаемая, фиктивная скорость потока, одинаковая для всех точек данного живого сечения, с которой через живое сечение проходил бы расход, равный фактическому. Средняя скорость обозначается буквой v (не следует путать это обозначение с обо значением местной скорости).

Расход потока в данном сечении равен произведению площади живого сечения потока на среднюю ско рость ω в этом сечении v:

Q =∑v Δω=v ∑Δω или Q = ωv.

ωω

Q Q

Отсюда получим: v = ω и ω= ν .

14б Из написанного выше уравнения получим также важное соотношение:

v1 = ω2 v2 ω1

Следовательно, средние скорости обратно пропорциональны площадям живых сечений потока, которым соответствуют эти средние скорости.

Уравнение неразрывности v1ω1 = v2ω2 = vω = Q = const является одним из основных уравнений гидродина мики.

Рис. 10

20