Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение	Решение
, где	, где
, где	, где
	, где
	, где

Частные случаи

Уравнение	Решение
	, где
	, где
	, где
	, где
	, где
	, где

Основные элементарные функции и их графики

Степенная функцияу=х^α, где гдеα – действительное число. Например,

Показательная функция, гдеa >0,a ≠1.

Логарифмическая функция, гдеa >0,a ≠1.

Тригонометрические функции .

Обратные тригонометрические функции

Производные основных элементарных функций

1. .2. .

3. .4. .

5. .6. .

7. .8. .

9. .10. .

11. .12. .

13. .14. .

15. .16. .

Основные правила дифференцирования

1..2. .

3. .4. ,

где С– постоянная величина и функциииимеют производные.

Свойства неопределенных интегралов

1..

2..

3., где.

4.,

где ,С– произвольная постоянная.

Таблица основных интегралов

1..

2..

3., гдеп≠-1.

4..

5., гдеа>0,а≠1.

6..

7..

8..

9..

10..

11..

12..

13..

14., гдеа≠0.

15., где -1<x<1.

16..

17..

18., гдеа≠0.

19., гдеа≠0.

Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:

,

где .

Свойства определенного интеграла

1. .

2. , где.

3. .

4. .

5. +, где .

6. Если на отрезкеи , то .

Площадь плоской фигуры

где у =f₂ (x),y =f₁(x) – уравнения верхней и нижней границ фигуры;х =а,х =b – уравнения левой и правой границ фигуры.

Формулы комбинаторики

Классическое определение вероятности:

,

где m– число благоприятных исходов опыта;n– число всех равновозможных исходов

Относительная частота события:

Р*(А) =,

где m– число наступлений событияА;n– число всех проведенных испытаний

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

Р (А₁+А₂+…+А_n)=Р (А₁)+Р (А₂)+…+Р (А_n).

Теорема умножения вероятностей двух зависимых событий:

Р (А.

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

.

Теорема сложения вероятностей двух совместных событий:

Вероятность противоположного события:

Вероятность появления хотя бы одного из событий:

P (A+A+A…+A) = 1– P () P ()).

Треугольник

a, b,с – длины сторон треугольника;

h – высота треугольника;

γ – угол между сторонамиaиb;

r – радиус вписанной окружности;

R– радиус описанной окружности;

– периметр треугольника;

–полупериметр треугольника;

– площадь треугольника;

–формула Герона;

– площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними;

– площадь треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности;

– площадь треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности.

Прямоугольный треугольник

a,b– катеты;c– гипотенуза;

– теорема Пифагора;

– площадь прямоугольного треугольника;

; ;– соотношения в прямоугольном треугольнике;

– радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности.

Равносторонний треугольник

, –радиусы вписанной и описанной окружностей;

– площадь равностороннего треугольника.

Прямоугольник

a, b– длины сторон прямоугольника;

– диагональ прямоугольника;

– периметр прямоугольника;

S = a · b – площадь прямоугольника.

Квадрат

a– длина стороны квадрата;

– длина диагональ квадрата;

– периметр квадрата;

S = a ² , – формулы площади квадрата.

Параллелограмм

a, b– длины сторон параллелограмма;

h–длина высоты параллелограмма;

– площадь параллелограмма;

– площадь параллелограмма по двум сторонам и углу между ними.

Ромб

a– длина стороны ромба;

h– длина высоты ромба;

α – угол между сторонами ромба;

d₁,d₂– длины диагоналей;

– площадь ромба;

, –формулы площади ромба.

Трапеция

a,b– длины оснований трапеции;

c, d– длины боковых сторон трапеции;

h–длина высоты трапеции;

– периметр трапеции;

– площадь трапеции.

Окружность и круг

r – радиус круга, окружности;

d– диаметр круга, окружности;

, – формулы площади круга;

– длина окружности.

Свойства вписанных, описанных фигур

Описанная вокруг треугольника ABCокружность имеет центр в пересечении перпендикуляров к серединам сторон.

Четырехугольник можно вписать в окружность, если суммы его противоположных углов равны 180⁰.

Четырехугольник можно описать вокруг окружности, если суммы длин его противоположных сторон равны.

Куб

a– ребро куба;

– диагональ куба;

– площадь одной грани куба;

– площадь полной поверхности куба;

– объем куба.

Прямоугольный параллелепипед

a – длина основания;

b –ширина основания;

h –высота параллелепипеда;

– диагональпараллелепипеда;

– площадь основания;

–объем прямоугольного параллелепипеда.

Призма

h –высота призмы;

– площадь полной поверхности призмы;

–объем призмы.

Пирамида

h –высота пирамиды;

– площадь полной поверхности пирамиды;

–объем пирамиды.

Усеченная пирамида

h –высота усеченной пирамиды;

– площадь нижнего основания пирамиды;

– площадь верхнего основания пирамиды;

+–площадь полной поверхности усеченной пирамиды;

–объем усеченной пирамиды.

Цилиндр

R – радиус основания цилиндра;

h –высота цилиндра;

– площадь основания;

– площадь полной поверхности цилиндра;

–объем цилиндра.

Конус

R – радиус основания;

h –высота конуса;

l –образующая конуса;

– площадь основания конуса;

– площадь боковой поверхности конуса;

–объем конуса.

Усеченный конус

R – радиус нижнего основания;

r – радиус верхнего основания;

H –высота усеченного конуса;

l –образующая конуса;

– площадь нижнего основания конуса;

– площадь верхнего основания конуса;

– площадь боковой поверхности;

–объем конуса.

Шар, сфера

R – радиус шара, сферы;

– площадь сферы;

–объем шара.

Векторы и координаты в пространстве

Координаты вектора , еслии:

.

– длина вектора;

– скалярное произведение векторови;

– скалярное произведение векторовив координатной форме;

– косинус угламежду векторами и .

– уравнение сферы с центром в точке (x₀;y₀;z₀) и радиусомR.

Таблица квадратов чисел от 1 до 100

12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81 102 = 100	112 = 121 122 = 144 132 = 169 142 = 196 152 = 225 162 = 256 172 = 289 182 = 324 192 = 361 202 = 400	212 = 441 222 = 484 232 = 529 242 = 576 252 = 625 262 = 676 272 = 729 282 = 784 292 = 841 302 = 900	312 = 961 322 = 1024 332 = 1089 342 = 1156 352 = 1225 362 = 1296 372 = 1369 382 = 1444 392 = 1521 402 = 1600	412 = 1681 422 = 1764 432 = 1849 442 = 1936 452 = 2025 462 = 2116 472 = 2209 482 = 2304 492 = 2401 502 = 2500
512 = 2601 522 = 2704 532 = 2809 542 = 2916 552 = 3025 562 = 3136 572 = 3249 582 = 3364 592 = 3481 602 = 3600	612 = 3721 622 = 3844 632 = 3969 642 = 4096 652 = 4225 662 = 4356 672 = 4489 682 = 4624 692 = 4761 702 = 4900	712 = 5041 722 = 5184 732 = 5329 742 = 5476 752 = 5625 762 = 5776 772 = 5929 782 = 6084 792 = 6241 802 = 6400	812 = 6561 822 = 6724 832 = 6889 842 = 7056 852 = 7225 862 = 7396 872 = 7569 882 = 7744 892 = 7921 902 = 8100	912 = 8281 922 = 8464 932 = 8649 942 = 8836 952 = 9025 962 = 9216 972 = 9409 982 = 9604 992 = 9801 1002 = 10000

Таблица степеней чисел от 1 до 9

11 = 1 12 = 1 13 = 1 14 = 1 15 = 1 16 = 1 17 = 1 18 = 1 19 = 1 110 = 1	21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256 29 = 512 210 = 1024	31 = 3 32 = 9 33 = 27 34 = 81 35 = 243 36 = 729 37 = 2187 38 = 6561 39 = 19683 310 = 59049
41 = 4 42 = 16 43 = 64 44 = 256 45 = 1024 46 = 4096 47 = 16384 48 = 65536 49 = 262144 410 = 1048576	51 = 5 52 = 25 53 = 125 54 = 625 55 = 3125 56 = 15625 57 = 78125 58 = 390625 59 = 1953125 510 = 9765625	61 = 6 62 = 36 63 = 216 64 = 1296 65 = 7776 66 = 46656 67 = 279936 68 = 1679616 69 = 10077696 610 = 60466176
71 = 7 72 = 49 73 = 343 74 = 2401 75 = 16807 76 = 117649 77 = 823543 78 = 5764801 79 = 40353607 710 = 282475249	81 = 8 82 = 64 83 = 512 84 = 4096 85 = 32768 86 = 262144 87 = 2097152 88 = 16777216 89 = 134217728 810 = 1073741824	91 = 9 92 = 81 93 = 729 94 = 6561 95 = 59049 96 = 531441 97 = 4782969 98 = 43046721 99 = 387420489 910 = 3486784401

Учебное издание