Головизин_Лекции / Лекция 3. Линейные операции с векторами

рис. 12.

Тогда , и , т.е. .

Таким образом, и ,

следовательно, , ч.т.д.

Доказательство свойства 2 оставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения. Заметим, что если оба числа и имеют одинаковый знак, то свойство 2 очевидно. Осталось рассмотреть случай разных знаков чисел и .

И, наконец, свойство 3 очевидно из следующего

рисунка, построенного для случая :

рис. 13.

Заметим, что такая картинка возникает, если мы применим к плоскости, в которой лежат оба вектора, отложенные от одной точки О, преобразование гомотетии с центром гомотетии в точке О и коэффициентом .

Теорема доказана.

Теорема. Множество всех векторов как направленных отрезков в пространстве точек S является векторным пространством над полем действительных чисел.

Доказательство следует из свойств сложения векторов и их умножения на действительные числа.

Определение. Векторное пространство над полем действительных чисел называется вещественным векторным пространством.

Замечание.

Пусть L произвольная прямая в пространстве S. Тогда ясно, что , т.е. множество векторов коллинеарных прямой L является подмножеством всех векторов .

Далее, сумма любых двух векторов коллинеарных прямой L также является вектором коллинеарным прямой L:

. В этом случае говорят, что множество векторов замкнуто относительно сложения векторов. Аналогично, , т.е. множество замкнуто относительно операции умножения вектора на действительное число. Отсюда сразу же следует, что для векторов из множества справедливы все свойства сложения и умножения на действительные числа, т.е. справедливы все аксиомы вещественного векторного пространства.

Таким образом, множество также является вещественным векторным пространством.

Говорят, что векторное пространство является векторным подпространством векторного пространства .

Аналогично и для множества всех векторов лежащих на некоторой плоскости Р или на параллельной ей плоскости. Множества также является векторным пространством и векторным подпространством векторного пространства .

Если прямая L лежит в плоскости Р или параллельна ей, то и – подпространство векторного пространства и одновременно векторного пространства .

Векторное пространство мы будем называть пространством векторов на прямой L, а –пространством векторов на плоскости Р.

п.10. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов.

Определение. Пусть и два произвольных вектора. Если верно равенство , где , то говорят, что вектор линейно выражается через вектор .

Теорема. (О коллинеарности двух векторов.)

Для того, чтобы два вектора были коллинеарными необходимо и достаточно, чтобы либо один из них был нулевым, либо один из них линейно выражался через другой.

Другими словами, .

Доказательство. Если , то по определению. Пусть и . Тогда из определения умножения вектора на число следует, что либо , либо , в зависимости от знака числа , т.е. , ч.т.д.

Пусть теперь и и . (Если или , то доказывать нечего.) Рассмотрим два возможных случая.

а) Пусть . Т.к. , то .

Обозначим буквой отношение длин этих векторов: . Отсюда следует равенство и, применяя определение умножения вектора на число, получаем, что .

б) Пусть . Положим по определению . Отсюда следует равенство и, применяя определение умножения вектора на число, получаем, что .

Теорема доказана.