Головизин_Лекции / Лекция 4. ДСК на прямой

Замечание. Из определения следует, что точки С и В не могут совпадать, ибо в противном случае, т.е. если , то , откуда следует, что , что противоречит предположению .

Далее, число . Действительно, если , то , откуда следует, что и опять приходим к противоречию.

Возможны два принципиально различных случая расположения точки С на прямой относительно отрезка АВ:

1) Точка С находится на отрезке АВ:

А С В L

| | |

рис.16.

2) Точка С находится вне отрезка АВ (неважно справа или слева от отрезка)

С В А L

| | |

рис.17.

Определение. Если точка С является точкой отрезка АВ, то говорят, что точка С делит отрезок внутренним образом, в противном случае говорят, что точка С делит отрезок внешним образом.

Обозначение. Если есть отношение, в котором точка С делит отрезок АВ, считая от точки А, то будем писать:

.

Теорема. (О вычислении отношения, в котором точка делит отрезок.) Отношение, в котором точка С делит отрезок АВ, считая от точки А, можно вычислить по формуле:

, (9)

где знак плюс берется в случае, когда точка С делит отрезок АВ внутренним образом и знак минус в противном случае.

Доказательство. Из определения следует, что , откуда, в свою очередь, по определению умножения вектора на число . Отсюда следует, что .

Далее, если точка С делит отрезок АВ внутренним образом, то она лежит на отрезке АВ и , т.е. число . В противном случае и , ч.т.д. Теорема доказана.

Теорема. (О делении отрезка точкой на числовой оси.)

Пусть – точки координатной оси Ох и точка С делит отрезок АВ в отношении , причем, . Тогда:

1) ; (10)

2) . (11)

Доказательство. 1) Обозначим для простоты: . По определению, . Из следствия о декартовых координатах векторов оси получаем равенство , откуда следует . Применяя теорему о вычислении декартовой координаты вектора оси, получаем , ч.т.д.

2) Достаточно выразить из равенства (10).

Теорема доказана.

Следствие. Пусть точка С – середина отрезка АВ. Тогда

. (12)

Доказательство. В этом случае точка С делит отрезок АВ внутренним образом и . По формуле (9) получаем, что . Подставляя в формулу (11), получаем формулу (12), ч.т.д.

Следствие доказано.