Головизин_Лекции / Лекция 9. Базис векторного пространства
.docЛекции по алгебре и геометрии. Семестр 1.
Лекция 9. Базис векторного пространства.
Краткое содержание: система векторов, линейная комбинация системы векторов, коэффициенты линейной комбинации системы векторов, базис на прямой, плоскости и в пространстве, размерности векторных пространств на прямой, плоскости и в пространстве, разложение вектора по базису, координаты вектора относительно базиса, теорема о равенстве двух векторов, линейные операции с векторами в координатной форме записи, ортонормированная тройка векторов, правая и левая тройки векторов, ортонормированный базис, основная теорема векторной алгебры.
Глава 9. Базис векторного пространства и разложение вектора по базису.
п.1. Базис на прямой, на плоскости и в пространстве.
Определение. Любое конечное множество векторов называется системой векторов.
Определение. Выражение , где называется линейной комбинацией системы векторов , а числа называются коэффициентами этой линейной комбинации.
Пусть L, Р и S – прямая, плоскость и пространство точек соответственно и . Тогда – векторные пространства векторов как направленных отрезков на прямой L, на плоскости Р и в пространстве S соответственно.
Определение. Базисом векторного пространства называется любой ненулевой вектор , т.е. любой ненулевой вектор коллинеарный прямой L: и .
Обозначение базиса : – базис .
Определение. Базисом векторного пространства называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов пространства .
рис.1.
, где , – базис .
Определение. Базисом векторного пространства называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов (т.е. не лежащих в одной плоскости) пространства .
рис.2.
– базис .
Замечание. Базис векторного пространства не может содержать нулевого вектора: в пространстве по определению, в пространстве два вектора будут коллинеарные, если хотя бы один из них нулевой, в пространстве три вектора будут компланарные, т.е будут лежать в одной плоскости, если хотя бы один из трех векторов будет нулевой.
п.2. Разложение вектора по базису.
Определение. Пусть – произвольный вектор, – произвольная система векторов. Если выполняется равенство
, (1)
то говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора по базису . Коэффициенты линейной комбинации называются в этом случае координатами вектора относительно базиса .
Теорема. (О разложении вектора по базису.)
Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.
Доказательство. 1) Пусть L произвольная прямая (или ось) и – базис . Возьмем произвольный вектор . Так как оба вектора и коллинеарные одной и той же прямой L, то . Воспользуемся теоремой о коллинеарности двух векторов. Так как , то найдется (существует) такое число , что и тем самым мы получили разложение вектора по базису векторного пространства .
Теперь докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора по базису векторного пространства :
и , где . Тогда и используя закон дистрибутивности, получаем:
.
Так как , то из последнего равенства следует, что , ч.т.д.
2) Пусть теперь Р произвольная плоскость и – базис . Пусть произвольный вектор этой плоскости. Отложим все три вектора от какой-нибудь одной точки этой плоскости. Построим 4 прямых. Проведем прямую , на которой лежит вектор , прямую , на которой лежит вектор . Через конец вектора проведем прямую параллельную вектору и прямую параллельную вектору . Эти 4 прямые высекают параллелограмм. См. ниже рис. 3. По правилу параллелограмма , и , , – базис , – базис .
Теперь, по уже доказанному в первой части этого доказательства, существуют такие числа , что
и . Отсюда получаем:
и возможность разложения по базису доказана.
рис.3.
Теперь докажем единственность разложения по базису. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора по базису векторного пространства : и . Получаем равенство
, откуда следует . Если , то , а т.к. , то и коэффициенты разложения равны: , . Пусть теперь . Тогда , где . По теореме о коллинеарности двух векторов отсюда следует, что . Получили противоречие условию теоремы. Следовательно, и , ч.т.д.
3) Пусть – базис и пусть произвольный вектор. Проведем следующие построения.
Отложим все три базисных вектора и вектор от одной точки и построим 6 плоскостей: плоскость, в которой лежат базисные векторы , плоскость и плоскость ; далее через конец вектора проведем три плоскости параллельно только что построенным трем плоскостям. Эти 6 плоскостей высекают параллелепипед:
рис.4.
По правилу сложения векторов получаем равенство:
. (1)
По построению . Отсюда, по теореме о коллинеарности двух векторов, следует, что существует число , такое что . Аналогично, и , где . Теперь, подставляя эти равенства в (1), получаем:
(2)
и возможность разложения по базису доказана.
Докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора по базису :
и . Тогда
. (3)
Заметим, что по условию векторы некомпланарные, следовательно, они попарно неколлинеарные.
Возможны два случая: или .
а) Пусть , тогда из равенства (3) следует:
. (4)
Из равенства (4) следует, что вектор раскладывается по базису , т.е. вектор лежит в плоскости векторов и, следовательно, векторы компланарные, что противоречит условию.
б) Остается случай , т.е. . Тогда из равенства (3) получаем или
. (5)
Так как – базис пространства векторов лежащих в плоскости, а мы уже доказали единственность разложения по базису векторов плоскости, то из равенства (5) следует, что и , ч.т.д.
Теорема доказана.
Следствие.
1) Существует взаимно однозначное соответствие между множеством векторов векторного пространства и множеством действительных чисел R.
2) Существует взаимно однозначное соответствие между множеством векторов векторного пространства и декартовым квадратом множества действительных чисел R.
3) Существует взаимно однозначное соответствие между множеством векторов векторного пространства и декартовым кубом множества действительных чисел R.
Доказательство. Докажем третье утверждение. Первые два доказываются аналогично.
Выберем и зафиксируем в пространстве какой-нибудь базис и устроим отображение по следующему правилу:
, (6)
т.е. каждому вектору поставим в соответствие упорядоченный набор его координат.
Так как при фиксированном базисе каждый вектор имеет единственный набор координат, то соответствие, задаваемое правилом (6) действительно является отображением.
Из доказательства теоремы следует, что различные векторы имеют различные координаты относительно одного и того же базиса, т.е. отображение (6) является инъекцией.
Пусть произвольный упорядоченный набор действительных чисел.
Рассмотрим вектор . Этот вектор по построению имеет координаты . Следовательно, отображение (6) является сюръекцией.
Отображение, которое одновременно инъективное и сюръективное является биективным, т.е. взаимно однозначным, ч.т.д.
Следствие доказано.
Теорема. (О равенстве двух векторов.)
Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их координаты относительно одного и того же базиса.
Доказательство сразу же вытекает из предыдущего следствия.
п.3. Размерность векторного пространства.
Определение. Число векторов в базисе векторного пространства называется его размерностью.
Обозначение: – размерность векторного пространства V.
Таким образом, в соответствие с этим и предыдущими определениями, имеем:
1) – векторное пространство векторов прямой L.
– базис , , , – разложение вектора по базису , – координата вектора относительно базиса .
2) – векторное пространство векторов плоскости Р.
– базис , , , – разложение вектора по базису , – координаты вектора относительно базиса .
3) – векторное пространство векторов в пространстве точек S.
– базис , , – разложение вектора по базису , – координаты вектора относительно базиса .
Замечание. Если , то и можно выбрать базис пространства так, что – базис и – базис . Тогда , и , .
Таким образом, любой вектор прямой L, плоскости Р и пространства S можно разложить по базису :
.
Обозначение. В силу теоремы о равенстве векторов, мы можем отождествить любой вектор с упорядоченной тройкой действительных чисел и писать:
.
Это возможно лишь том случае, когда базис фиксирован и нет опасности спутаться.
Определение. Запись вектора в виде упорядоченной тройки действительных чисел называют координатной формой записи вектора: .
п.4. Линейные операции с векторами в координатной форме записи.
Пусть – базис пространства и – два его произвольных вектора. Пусть и – запись этих векторов в координатной форме. Пусть, далее, – произвольное действительное число. В этих обозначениях имеет место следующая теорема.
Теорема. (О линейных операциях с векторами в координатной форме.)
1) ;
2) .
Другими словами, для того, чтобы сложить два вектора нужно сложить их соответствующие координаты, а чтобы умножить вектор на число, нужно каждую координату данного вектора умножить на данное число.
Доказательство. Так как по условию теоремы , , то используя аксиомы векторного пространства, которым подчиняются операции сложения векторов и умножения вектора на число, получаем:
.
Отсюда следует .
Аналогично доказывается второе равенство.
Теорема доказана.
п.5. Ортогональные векторы. Ортонормированный базис.
Определение. Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен прямому углу, т.е. .
Обозначение: – векторы и ортогональны.
Определение. Тройка векторов называется ортогональной, если эти векторы попарно ортогональны друг другу, т.е. , .
Определение. Тройка векторов называется ортонормированной, если она ортогональная и длины всех векторов равны единице: .
Замечание. Из определения следует, что ортогональная и, следовательно, ортонормированная тройка векторов является некомпланарной.
Определение. Упорядоченная некомпланарная тройка векторов , отложенных от одной точки, называется правой (правоориентированной), если при наблюдении с конца третьего вектора на плоскость, в которой лежат первые два вектора и , кратчайший поворот первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой (левоориентированной).
рис.6.
Здесь, на рис.6 изображена правая тройка векторов . На следующем рис.7 изображена левая тройка векторов :
рис.7.
Определение. Базис векторного пространства называется ортонормированным, если ортонормированная тройка векторов.
Обозначение. В дальнейшем мы будем пользоваться правым ортонормированным базисом , см. следующий рисунок:
рис.9.
Любой вектор можно разложить по этому базису: