Головизин_Лекции / Лекция 9. Базис векторного пространства

.

п.6. Основная теорема векторной алгебры.

Вспомним, что ортом оси L называется единичный вектор, сонаправленный с ней.

Пусть Охуz – ПДСК и векторы – орты осей Ох, Оу и Оz соответственно. Тогда упорядоченная тройка векторов является ортонормированным базисом пространства векторов и любой вектор может быть разложен по этому базису: . Здесь, упорядоченную тройку действительных чисел мы назвали координатами вектора относительно базиса .

С другой стороны, обозначим , , – проекции вектора на координатные оси. Упорядоченную тройку действительных чисел мы назвали декартовыми координатами вектора .

Теорема. (Основная теорема векторной алгебры.)

Декартовые координаты вектора совпадают с его координатами относительно ортонормированного базиса .

Доказательство. Пусть – разложение вектора по базису .

Поскольку декартовые координаты вектора не зависят от выбора точки его начала, то отложим вектор от начала координат, так что и через точку М проведем 3 плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с координатными осями обозначим А, В и С соответственно.

рис.10.

По построению, точки А, В и С являются проекциями точки М на координатные оси и по определению проекции вектора на ось имеем:

, (7)

где знак плюс берется в случае, когда и знак минус в противном случае. Аналогично, , .

По правилу сложения векторов получаем разложение вектора по базису :

,

где

, , . (8)

Мы докажем теорему, если докажем равенства:

. (9)

По определению умножения вектора на скаляр из равенства (8) имеем:

,

причем при и в противном случае.

С другой стороны, из равенства (7) следует, что , и при и в противном случае.

Так как , то отсюда следует, что числа и имеют одинаковый знак и равны по модулю, т.е. равны и , ч.т.д.

Аналогично доказываются остальные равенства (9).

Теорема доказана.

Замечание. В дальнейшем мы будем молчаливо предполагать, что векторы ортонормированного базиса в пространстве или на плоскости являются ортами соответствующих координатных осей ПДСК, а поэтому мы не будем различать декартовые координаты вектора и координаты этого же вектора относительно ортонормированного базиса и будем говорить просто о координатах вектора.

Таким образом, в силу основной теоремы векторной алгебры, координатная форма записи вектора равносильна записи этого же вектора в виде линейной комбинации базисных векторов:

. (10)