golovizin_lekcii_po_lineynoy_algebre_2_semestr / Лекция 25. Векторные подпространства
.doc
Доказательство.
.
Пусть
,
– базис подпространства L,
– базис подпространства М,
– произвольный вектор. Из определения
прямой суммы следует, что существует
единственная пара векторов (х, у),
,
,
такая, что
.
Разложим векторы х и у по базисам
подпространств L и М
соответственно:
,
.
Векторы
раскладываются по базису однозначно,
т.е. вектор z представим
в виде линейной комбинации системы
векторов
единственным способом:
,
откуда
следует, что система
является базисом прямой суммы, ч.т.д.
.
Пусть
– базис подпространства L,
– базис подпространства М, а их объединение
– базис их прямой суммы
.
Из определения базиса следует, что
,
существует единственный набор скаляров
,
для которого
.
Обозначим через
,
.
Тогда
,
где
,
,
что означает, что
.
Пусть далее,
.
Тогда,
и
.
Следовательно, вектор z
можно разложить как по базису
подпространства L, так и
по базису подпространства М:
.
Отсюда,
.
По
условию, система
линейно независимая, следовательно,
все коэффициенты должны быть равны
нулю:
.
Отсюда
следует, что и
,
ч.т.д.
.
Пусть
и
.
Нам осталось доказать, что
.
Пусть какой-нибудь вектор z
из S двумя способами
представлен в виде суммы вектора из
подпространства L и вектора
из подпространства М:
,
где
,
.
Тогда,
,
т.е.
,
,
ч.т.д.
Теорема доказана.
Аналогично определяется и обозначается прямая сумма любого конечного количества векторных подпространств.
Определение.
Пусть
– подпространства векторного пространства
V. Сумма этих подпространств
называется прямой суммой если любой
вектор z из S
единственным способом представим в
виде
,
где
.
Обозначение.
.
Как и выше, можно доказать следующую теорему.
Теорема. Следующие условия равносильны:
1.
.
2. Объединение
базисов подпространств
является базисом векторного подпространства
S.
3.
а)
;
б)
,
,
.
Из последней теоремы, сразу же вытекают следующие утверждения.
Следствие
1. Пусть
–
базис пространства
.
Тогда
.
Следствие
2. Пусть
– подпространства векторного пространства
V. Тогда
.
В частности, справедливо утверждение.
Следствие
3. Пусть
и
М – произвольные векторные подпространства
векторного пространства
.
Тогда
.