golovizin_lekcii_po_lineynoy_algebre_2_semestr / Лекция 25. Векторные подпространства
.docГоловизин
В.В. Лекции по алгебре и геометрии.
Лекция 25.
Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 2.
Лекция 25. Векторные подпространства.
Краткое содержание: Определение векторного подпространства и его необходимое и достаточное условие, примеры векторных подпространств, линейная оболочка системы векторов, сумма и пересечение векторных подпространств и их прямая сумма.
п.1. Определение векторного подпространства.
Определение. Любое непустое подмножество L векторного пространства V над полем K, которое само является векторным пространством над тем же самым полем K и относительно тех же операций сложения и умножения на скаляр, что и в векторном пространстве V, называется векторным подпространством векторного пространства V.
Теорема.
Пусть V – векторное
пространство над полем K
и
-
его непустое подмножество. Для того,
чтобы подмножество L было
векторным подпространством векторного
пространства V необходимо
и достаточно, чтобы выполнялись следующие
два условия:
1.
,
2.
и
,
.
Первое условие теоремы называется замкнутостью подмножества L относительно сложения, а второе – замкнутостью подмножества L относительно умножения на скаляр.
Иначе данную теорему можно сформулировать так:
Для того, чтобы подмножество L было векторным подпространством векторного пространства V необходимо и достаточно, чтобы подмножество L было замкнуто относительно сложения и умножения на скаляр.
Доказательство. Если подмножество L само является векторным пространством, то оба условия теоремы очевидно выполняются в силу определения векторного пространства. Пусть выполняются условия теоремы. Докажем, что L является векторным пространством.
Из условий теоремы следует, что на множестве L определена операция сложения и умножения на скаляр. Нам осталось только проверить выполнение всех аксиом векторного пространства.
1)
Пусть
– произвольные векторы множества L.
Так как
,
то
,
а так как V – векторное
пространство, то в нем выполняется
аксиома ассоциативности сложения:
.
(1)
С
другой стороны, так как
,
то в силу условий теоремы,
,
откуда, в силу тех же условий,
и, аналогично,
.
Таким образом, равенство (1) справедливо
,
т.е. в L выполняется закон
ассоциативности сложения векторов,
ч.т.д.
Абсолютно аналогично доказывается, что в множестве L выполняются законы коммутативности сложения, ассоциативности умножения вектора на скаляр и оба закона дистрибутивности. Также, в силу замкнутости умножения на скаляр, выполняется аксиома умножения вектора на единицу поля K:
.
Таким образом, осталось доказать, что в множестве L содержится нулевой вектор пространства V и, что вместе с любым вектором множества L оно содержит противоположный ему вектор.
2)
Пусть
– произвольный вектор и
– нулевой скаляр поля K.
Так как
,
то
.
Из простейших свойств векторного
пространства следует, что
– нулевой вектор векторного пространства
V. С другой стороны, в силу
условия замкнутости множества L
относительно умножения на скаляр,
,
ч.т.д.
3)
Пусть
–
произвольный вектор. Так как
,
то
.
Из простейших свойств векторного
пространства следует, что
– противоположный вектор.
С
другой стороны, в силу условия замкнутости
множества L относительно
умножения на скаляр,
,
ч.т.д.
Теорема доказана.
Следствие.
Пусть
,
где L – векторное
подпространство. Тогда
,
.
Доказательство следует из того, что векторное подпространство само является векторным пространством.
Заметим, что если
нулевой вектор не принадлежит подмножеству
,
то
не является векторным подпространством.
п.2. Примеры векторных подпространств. Линейная оболочка системы векторов.
Пример
1. Пусть
-
векторное пространство. Тогда
тоже является векторным подпространством.
Пример
2. Пусть
-
векторное пространство. Тогда
- множество, состоящее из одного нулевого
вектора есть векторное подпространство.
Оно называется нулевым подпространством.
Пример
3. Пусть
- арифметическое векторное пространство
столбцов высоты
.
Обозначим через
– множество столбцов высоты n и с нулевой последней компонентой. Легко проверяется, что множество L замкнуто относительно сложения столбцов и относительно умножения столбца на скаляр.
Пример
4. Пусть
– вещественное точечно-векторное
пространство векторов как направленных
отрезков. (Напомним, что вектор этого
пространства мы рассматриваем как
радиус-вектор точки этого пространства.)
и пусть
– множество всех векторов коллинеарных
какой-либо плоскости, проходящей через
начало координат. Тогда
– векторное подпространство пространства
.
(Мы отождествляем
с этой плоскостью.)
Аналогично, если
– множество всех векторов коллинеарных
какой-либо прямой, проходящей через
начало координат и лежащей в плоскости
,
то
есть векторное подпространство
.
Таким образом,
– цепочка подпространств.
Теорема. Множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными и с коэффициентами из поля K является векторным подпространством арифметического векторного пространства столбцов высоты n.
Доказательство.
Пусть А матрица размера
с элементами из поля K, Х
– столбец неизвестных высоты n.
Тогда
– матричная форма записи однородной
системы линейных уравнений. Однородная
система является совместной, так как
всегда имеет нулевое решение. Обозначим
через S множество всех
решений этой однородной системы линейных
уравнений:
.
Из
определения S следует,
что
.
Пусть
,
тогда
,
и
,
т.е.
.
Аналогично, пусть
,
тогда,
и
,
т.е.
.
Таким образом,
множество S замкнуто
относительно сложения и умножения на
скаляр и, следовательно, является
векторным подпространством пространства
.
Теорема доказана.
Определение.
Множество всех линейных комбинаций
системы векторов
называется линейной оболочкой, натянутой
на эту систему векторов.
Обозначение.
.
Теорема.
Пусть
– произвольная система векторов
векторного пространства V.
Тогда линейная оболочка
есть векторное подпространство
пространства V.
Доказательство.
Из определения линейной оболочки
следует, что
,
поэтому достаточно доказать, что линейная
оболочка обладает свойствами замкнутости
относительно сложения векторов и
умножения вектора на скаляр, что, в свою
очередь, является вполне очевидным
фактом, доказательство которого
предоставляется читателю.
Замечание. Из определения линейной оболочки и определения базиса векторного пространства сразу же следует, что любое векторное пространство есть линейная оболочка системы базисных векторов, а так как любое векторное подпространство, по определению, само является векторным пространством, то и любое векторное подпространство есть линейная оболочка некоторой системы векторов данного подпространства.
Другими словами,
если V – векторное
пространство и
– его базис, то
.
Теорема. (Свойство линейной оболочки.)
ПустьV
– векторное пространство над полем K
и
– произвольная система векторов из V.
Тогда, линейная оболочка
является наименьшим
(относительно включения) векторным подпространством, содержащим данную систему векторов.
Доказательство.
Пусть М – произвольное векторное
подпространство, содержащее систему
векторов
,
т.е.
.
Тогда подпространство М
содержит
любую линейную комбинацию данной системы
векторов, т.е. содержит любой вектор
подпространства L и
,
ч.т.д.
Теорема доказана.
п.3. Размерность векторных подпространств.
Теорема. (О размерности линейной оболочки.)
ПустьV
– векторное пространство над полем K
и
–
произвольная система векторов из V.
Тогда,
если
система векторов
– линейно независимая, то эта система
является базисом линейной оболочки
и
.
Доказательство.
Из определения линейной оболочки
следует, что система
является порождающей системой векторного
пространства
.
По условию теоремы, система
является линейно независимой,
следовательно, она является базисом
линейной оболочки L, ч.т.д.
Теорема доказана.
Теорема.
Любое векторное подпространство L
конечномерного векторного пространства
V само является конечномерным
и
,
причем, если
,
то
.
Доказательство.
Пусть
.
1) Если L – нулевое подпространство, то оно по определению полагается конечномерным и его размерность по определению полагается равным нулю.
2)
Пусть, теперь, L – ненулевое
подпространство и существует ненулевой
вектор
.
Тогда система из одного ненулевого
вектора
является линейно независимой.
Допустим, что
подпространство L не
обладает конечной порождающей системой
векторов. Тогда подпространство L
не обладает максимальной линейно
независимой системой векторов, так как
любая максимальная линейно независимая
система является порождающей системой
(см. доказательство теоремы о четырех
равносильных определениях базиса,
переход
,
пункт а) доказательства).
Таким образом,
система
является линейно независимой, но не
максимальной. Следовательно, существует
вектор
,
такой, что система
является линейно независимой и не
максимальной. Продолжая далее, мы
приходим к линейно независимой системе
из
-го
вектора из подпространства L.
Но
и мы получаем линейно независимую
систему векторов векторного пространства
V, в которой число векторов
больше его размерности, что невозможно.
Полученное противоречие доказывает,
что любое векторное подпространство L
конечномерного векторного пространства
V обладает конечной
порождающей системой и само является
конечномерным.
Далее, любое
конечномерное векторное пространство
обладает базисом. Пусть
– базис подпространства L,
тогда
и
.
Так как
,
то система
есть линейно независимая система
векторов векторного пространства V,
и число векторов в ней не может превышать
его размерности, т.е.
,
ч.т.д.
2)
Если
и
,
то базис
подпространства L является
и базисом пространства V,
так как система
линейно независимая и
.
Следовательно,
.
Теорема доказана.
Следствие. Любой базис векторного подпространства может быть дополнен до базиса всего пространства.
Доказательство. Любой базис векторного подпространства векторного пространства V является линейно независимой системой векторов векторного пространства V, которую можно дополнить до базиса.
Следствие доказано.
п.4. Сумма и пересечение векторных подпространств.
Определение.
Пусть
и
М – произвольные векторные подпространства.
Суммой
и
М называют множество
.
Замечание. Под пересечением векторных подпространств понимают их пересечение как множеств.
Теорема. Сумма и пересечение векторных подпространств векторного пространства V являются векторными подпространствами векторного пространства V.
Доказательство.
Пусть L и М – произвольные
векторные подпространства векторного
пространства V,
–
их пересечение,
– их сумма.
1)
Пусть
– произвольные векторы. Тогда,
и
.
В силу замкнутости подпространств
относительно сложения векторов и
умножения вектора на скаляр,
:
,
,
,
,
откуда следует, что
,
,
т.е.
является векторным подпространством.
2)
1) Пусть
– произвольные векторы. Тогда,
,
,
где
,
.
В силу замкнутости подпространств
относительно сложения векторов и
умножения вектора на скаляр,
:
,
,
,
,
откуда следует, что
,
,
т.е.
является векторным подпространством.
Теорема доказана.
Теорема. (О размерности суммы векторных подпространств.)
Размерность суммы векторных подпространств равна сумме их размерностей минус размерность их пересечения:
.
Доказательство.
Пусть L и М – произвольные
векторные подпространства векторного
пространства V,
– их пересечение,
– их сумма. Обозначим:
.
Так как очевидны включения:
,
,
то
и
.
Нашей задачей является доказательство
равенства:
.
(2)
Пусть
– базис пересечения
.
Так как пересечение
,
то его базис можно дополнить до базиса
пространства L. Пусть
– базис L.
Аналогично, базис пересечения можно дополнить до базиса пространства М. Пусть
– базис М. Докажем, что
(3)
–
базис
,
откуда и будет следовать доказываемое
равенство (2).
Сначала докажем,
что система векторов (3) является
порождающей системой подпространства
.
Пусть
– произвольный вектор, где
,
.
Разложим векторы х и у по базисам
векторных подпространств L и М:
,
,
где
,
.
Отсюда,
,
т.е. система (3) является порождающей для
векторного подпространства
.
Теперь докажем, что система (3) является линейно независимой. Пусть
.
Обозначим
.
Тогда
и
,
т.е.
,
следовательно, вектор х можно разложить
по базису пересечения:
,
откуда следует равенство:
или
.
Так
как система
является базисом подпространства М, то
она линейно независимая, откуда следует,
что
.
Отсюда, в свою очередь следует, что
и
.
Система
есть базис подпространства L,
т.е. линейно независимая система, поэтому,
.
Таким образом, система (3) представляет нулевой вектор только тривиально и, следовательно, является линейно независимой, ч.т.д.
Теорема доказана.
Аналогично определяется и обозначается сумма любого конечного количества векторных подпространств.
Определение.
Пусть
– подпространства векторного пространства
V. Множество
называется суммой векторных подпространств.
Обозначение.
.
Как и выше, можно доказать, что сумма подпространств векторного пространства V тоже является векторным подпространством векторного пространства V.
п.5. Прямая сумма векторных подпространств.
Определение.
Пусть
и
М – произвольные векторные подпространства
векторного пространства
.
Сумма подпространств
называется прямой суммой, если
,
существует только одна пара векторов
,
такая, что
.
Обозначение:
.
Замечание. Если
,
то говорят, что векторное пространство
разлагается в прямую сумму подпространств
и
М.
Теорема.
(О трех равносильных определениях прямой
суммы). Пусть
и
М – произвольные векторные подпространства
векторного пространства
.
Тогда следующие утверждения равносильны:
1.
.
2. Объединение
базисов подпространств
и
М является базисом векторного
подпространства S.
3.
а)
;
б)
.