1 .5. Катушки индуктивности и трансформаторы

Катушки индуктивности (L) — носители электрической индуктивности. Теоретической основой для расчета их конструкций является теория электромагнитной индукции, отражаемая уравнением для вектора магнитной индукции

B =μμ₀ H

модуль которого совпадает с плотностью магнитного потока, Вб/м²,

В= Ф/S,

где μ — магнитная проницаемость среды;

μ₀₀ — магнитная постоянная вакуума, равная 4π 10^-7 Гн/м;

Н — вектор напряженности магнитного поля, модуль которого совпадает с магнитодвижущей силой, А/м, Н = I/l, создаваемой проводником с током I, действующей на расстоянии l.

С учетом указанных значений векторов В и Н выражение для магнитного потока Ф, создаваемого катушкой с током I длиной l, состоящей из w витков с площадью сечения S и находящейся в среде с магнитной проницаемостью μ , будет иметь следующий вид, Вб:

Ф = μμ₀ I wS/l.

С учетом взаимной магнитной связи витков катушки потокосцепление

ψ = Фп = μμ₀ I w² S/l.

По определению индуктивность катушки L = ψ/I, следовательно, окончательно запишем:

L = μμ₀ w² S/l.

т.е. индуктивность катушки зависит от ее конструктивных параметров, параметров среды и пропорциональна квадрату числа витков.

Приведем несколько известных соотношений для расчета параметров цепей, содержащих катушки индуктивности:

реактивное сопротивление катушки, Ом, X_L = jωL;

энергия, запасенная в катушке, Дж, W_L = 0,51²L;

постоянная времени RL-цепи, с, τ = L/R;

ток в цепи, содержащей катушку, A, i_L = L^-1∫u_L dt

напряжение на катушке, В, u_l = -L(di_L/dt);

реактивная мощность на катушке, вар, P_pL =UIlsinφ = ω L I ²;

частота собственных колебаний контура, Гц, f = (2π√LC)^-1 ;

тангенс угла потерь (tg δ) и добротность Q = 1/tg δ = ω L/r

индуктивность катушки L(T) с учетом температурного дрейфа ∆T при заданном значении температурного коэффициента индуктивности (ТКИ) и ее начальном значении L(Т₀):

L(Т₀) = L(Т₀)[1 ± (ТКИ)∆T ].

В узлах и устройствах РЭС катушки индуктивности и другие моточные изделия выполняют различные функции, отражаемые в электрических принципиальных схемах с помощью УГО (ГОСТ 2.743—82), например показанных на рис. 1.7.

В классификационном пространстве моточные изделия различают по функциональному назначению, электрическим параметрам, конструктивному исполнению и условиям эксплуатации. При проектировании узлов и устройств РЭС необходимо правильно выбрать тип, типономинал и типоразмер дросселей и трансформаторов, а также рассчитать параметры конструкций катушек магнитных контуров и фильтров. Исчерпывающие сведения о стандартных моточных изделиях указываются в НТД. Часть сведений о них, необходимых для заказа и первичного применения, содержится в основной записи, состоящей из буквенных и цифровых идентификаторов их параметров, изменяющихся в пределах данного типа.

Рис. 1.7. УГО, отображающие различные функции моточных изделий:

а — элемент времязадающей цепи;

б — элемент фильтра нижних частот;

в — катушка колебательного контура;

г — силовой или согласующий трансформатор;

д — регулятор напряжения;

е — вариометр;

ж — спаренный дроссель;

з — катушка отклоняющей системы электронно-лучевой трубки

Существующее многообразие моточных изделий не позволяет предложить какую-то общую форму основной записи, подобной используемым при описании резисторов и конденсаторов, так как разные типы этих изделий отличаются параметрами, по которым выбирают их типономиналы и типоразмеры. Так, для дросселя такими параметрами являются индуктивность и рабочий ток, для сетевого трансформатора — передаваемая мощность и рабочее на­пряжение, а для импульсного трансформатора — длительность передаваемого импульса. Следовательно, значения идентификаторов в основной записи будут разными.

Для расчета индуктивностей катушек или контуров с током чаще всего используют приближенные формулы или номограммы, учитывающие конфигурацию их витков, особенности конструкции и параметры магнитопровода.

В практике проектирования моточных изделий РЭС различного конструктивного исполнения (рис. 1.8) возникает необходимость расчета индуктивности или числа витков катушек, а также индуктивности печатных проводников и линий связи.

Рис. 1.8. Типы намоток катушек:

а — соленоидальная однослойная;

б — соленоидальная многослойная;

в — соленоидальная с замкнутым кольцевым магнитопроводом;

г — соленоидальная с замкнутым стержневым магнитопроводом;

д — шаровая;

е — плоская

Например, индуктивность соленоида с диаметром D_c и длиной l рассчитывают по формуле Нагаока:

L_c = μμ₀kw²S∕l,

где: k — коэффициент, зависящий от отношения l/D_c;

S = π D_c²∕4.

Индуктивность катушки с тороидальным сердечником

L_T = μμ₀w²S_c∕l_cp,

где: S_c — площадь поперечного сечения сердечника;

l_ср = 2π

d_cp; d_cp — средний диаметр сердечника

Индуктивность двухпроводной линии связи

где: l — длина линии;

d — расстояние между проводниками;

δ и b - толщина и ширина проводника соответственно.

Покажем на примерах плоской и цилиндрической многослойной катушек, что их индуктивности пропорциональны w².

Индуктивность L плоской катушки рассчитывают методом сум­мирования, основанным на принципе суперпозиции потоков в тех случаях, когда токи I в отдельных ее контурах (рис. 1.9, а) одинаковы. Тогда (с учетом M_ij = М_ji) индуктивность катушки, состоящей из w витков,

где L_i — собственная индуктивность отдельных витков катушки;

My = k√L_iL_j — взаимная индуктивность любой пары витков катушки (рис. 1.9, б), зависящая от коэффициента связи k.

Тогда, приняв k = 1 и L_i = L_j =L_o, получим

Рис. 1.9 Красчету индуктивности плоской катушки:

а- модель катушки; б-варианты магнитной связи витков; 1, 2 -витки

Индуктивность многослойной цилиндрической катушки (рис. 1.10) L_K рассчитывают, используя модель катушки в виде «массивного витка» и предполагая, что конфигурация магнитного поля реальной катушки и ее расчетной модели совпадают. В качестве расчетной модели используют «массивный виток», имеющий такие же форму и размеры, как и обмотка реальной катушки. Тогда, если предположить, что плотности тока реальной катушки j_к и «массивного витка» j_B одинаковы, суммарные потоки сцепления с катушкой (ψ_к) и витком (ψ_B) также должны быть одинаковы:

откуда ψ_кI_к = ψ_вI_в.

Разделив обе части последнего равенства на I_кI_в и учитывая, что ψ_к∕I_к = w Ф∕I_к= L_K и ψ_в∕I_в = Ф∕(I_Kw) = L_B, получим

L_K ∕L_B =(I_в)² ∕(I_K)²

Так как плотности тока витка и катушки равны, то I_в = wI_K. Тогда для случая идеального заполнения окончательно получим L_K = w²L_B.

Рассмотрим влияние короткозамкнутого (КЗ) витка на индуктивность катушки. Реальная пара катушка—КЗ виток представлена на рис. 1.11, а, а ее эквивалентная схема — на рис. 1.11, б. Катушка с индуктивностью L₁ через которую протекает переменный ток I₁ посредством взаимоиндукции М связана K3 витком с индуктивностью L₂. Электродвижущая сила (ЭДС), наведенная в КЗ витке, Е = -jωMI₁ создает в нем ток I₂. Пренебрегая активным сопротивлением витка по сравнению с его индуктивным сопротивлением Х₂ =jωL₂, запишем:

I₂ = Е/Х₂ = -jωMI₁∕( jωL₂) = -MI₁∕L₂

Рис. 1.11. Реальная пара катушка—КЗ виток (а) и ее эквивалентная схема (б)

Суммарный поток сцепления с катушкой

ψ = Ф₁ + Ф₂ = L₁I₁ + МI₂ = L₁I₁ - M²I₁/L₂ = I₁(L₁ - M²/L₂).

Тогда индуктивность рассматриваемой пары

L = ψ∕I₁ = L₁- M²∕L₂ = L₁(1 - к²).

Рис. 1.12 К расчету индуктивности катушки на сердечнике с воздушным зазором

Таким образом, наличие вблизи катушки КЗ витка (пробой изоляции, внешний экран) снижает ее индуктивность на значение, равное к²L₁ а при к= I индуктивность L = 0.

Рассмотрим влияние на индуктивность катушки наличия воздушного зазора длиной l₃ в кольцевом магнитопроводе (рис. 1.12). Магнитная цепь в этом случае состоит из двух участков с магнитными сопротивлениями соответственно сердечника и зазора

где р_м — удельное магнитное сопротивление материала;

l₀ = 2nd_cp.

Рассчитаем магнитный поток в зазоре, используя закон Ома для магнитной цепи:

. гдер = l_з∕l₀

Число потокосцеплений в зазоре ψ₃ = wФ₃. Тогда индуктивность

Таким образом, при наличии зазора индуктивность катушки уменьшается