моделирование экономических процесов.-учебник

Моделирование экономических процессов

ресурсные ограничения или предложения партнеров. Индивидуаль­ ные планы ха - соа предложения (если (ха -(аа)к <0) и спроса (если (ха -сйа)к> 0) имеют конкурентный, конфликтный характер и могут быть одновременно не реализованы. Идея состоит в том, что при подходящей системе цен они будут совместимы.

Конкурентным равновесием называется такой набор ре 91+, ха е Хд, а е А, что

Хха<Х<°а,

аа

где ха — максимальный элемент (в смысле предпочтения Ра) в мно­ жестве Ва(р). Неравенство в балансовом соотношении означает возможность «свободного расходования» продукта. Это позволяет ограничиться только неотрицательными ценами, т. к. никто не бу­ дет продавать продукт, если он приносит убыток, и предпочтет его выбросить.

Описанная модель (с учетом производства) была построена в 1870-х годах Л. Вальрасом. Однако вопрос существования конку­ рентного равновесия оставался открытым до 1950-х годов, когда оно было доказано К. Эрроу и Дж. Дебре в более общей модели, приводимой ниже.

Необходимые условия конкурентного равновесия:

1) наличие максимальных элементов в бюджетных множествах *„(р).ре**\{0};

2) непустозначность и непрерывность бюджетных соответ­

ствий Ва :SR* \{0}=* SR+.

Первое условие обеспечивается, если выполняются следующие требования:

•выпуклость и компактность Ха а е А;

• выпуклость и полуоткрытость снизу предпочтений Р^ае А. Второе условие обеспечивается обычно выполнением тех или иных требований к элементам рынка. Простейшее требование: соа

является внутренней точкой Ха.

Теорема о конкурентном равновесии имеет следующий вид: если выполнены рассмотренные условия, то конкурентное равновесие существует.

220

10.Моделирование экономического развития и роста

Вмодели Эрроу-Дебре предполагается, что ни один производи­ тель или потребитель не влияет по отдельности на установление цен ни для одного продукта. Эта предпосылка, соответствующая схе­ ме свободного рынка при совершенной конкуренции, дает основа­ ния называть данную конструкцию моделью конкурентного равно­ весия. Известны попытки использовать эту модель для описания поведения предприятий и ассоциации потребителей при централи­ зованно устанавливаемых ценах. Многочисленные исследования по развитию и обобщению модели Эрроу — Дебре посвящены разра­ ботке следующих направлений:

•«динамизация» модели;

•включение в нее инвестиционного процесса;

•учет не только текущих цен, но и ожидания относительно их возможных изменений;

•описание дискретных факторов развития, в частности, появ­ ление нововведений.

Развитие теории равновесия при негибких ценах привело к воз­ никновению схемы рационирования ресурсов. Эта схема определя­ ет правила установления квот на приобретение дефицитных това­ ров и на поставку неходовых товаров. В рамках этого понятия ис­ пользуются два вида схем — жесткие и гибкие. Жесткая схема раци­ онирования ресурсов позволяет указать квоты для каждого участ­ ника в зависимости от общей суммы прав на приобретение товара. Так, если q — общий объем прав на приобретение товара, то пропор­ циональная схема рационирования задается системой функций:

где к — индекс потребителя; т — общее число потребителей; ук —

т

неотрицательные коэффициенты пропорциональности, ^ ук = 1.

*=1

Жесткие схемы рационирования ресурсов моделируют карточ­ ную систему. В отличие от них гибкие схемы рационирования отра­ жают организацию системы фондирования в производственной сфе­ ре, где формируемые квоты зависят от заявок участников и, возмож­ но, от цен. Гибкую схему обычно подчиняют ряду условий:

•квота на потребление товара не должна превосходить заявки соответствующего участника;

221

•если сумма заявок на продажу товара превосходит сумму заявок на его потребление, то все последние должны быть удовлетворены.

В отличие от теории конкурентного равновесия концепции ра­ ционируемого равновесия не предполагают возможности быстро­ го уравнивания спроса и предложения за счет одного только меха­ низма цен, допуская ограничения на объемы покупок и продаж, осуществляемые экономическими агентами. Рационирование мо­ жет осуществляться посредством введения карточной системы или в рамках определенных правил фондирования ресурсов. Но впол­ не возможно стихийное формирование схем рационирования как результат взаимодействия совокупности решений агентов в усло­ виях неравновесия. С этой точки зрения важное значение имеют ожидания участников, их оценка емкости рынков, на которых они оперируют.

Рассмотрим две наиболее разработанные концепции рациониру­ емого равновесия для простейшей ситуации — экономики обмена. Пусть существует т потребителей с целевыми функциями ик{ск, ак), зависящими от п-мерных векторов потребляемых благ ск и объемов сбережений ак. Каждый потребитель к обладает неотрицательным вектором товаров оак и количеством денег $к > 0, может продавать и покупать товары по фиксированным ценам р. Цены не предполага­ ются равновесными и для обеспечения баланса участникам задают­ ся ограничения дк - (gki) на объемы приобретаемых на рынке благ, а также ограничения hk = (h^) на объемы поставок другим агентам. Потребитель к осуществляет свой выбор, решая следующую задачу:

ик(ск,ак)-*тах,

Используя ограничения в качестве инструмента управления, можно (многими способами) добиться сбалансированности в систе­ ме. Однако особое значение имеют состояния

z ={Ck,ak,gk,hk}k=ll

удовлетворяющие следующим четырем условиям:

222

10.Моделирование экономического развития и роста

тт

в) д'к > 0, hi < О (суверенность выбора);

г) не существует продукта i и агентов к, г таких, что одновре­ менно выполняются равенства:

ck,i -®k.i ~9k,i> cr,i - Ц у = K.i

(продукты разделены на дефицитные и недефицитные). В силу условия в:

•не допускается принуждения к продаже и закупке ресурсов;

•объемы приобретаемых и поставляемых благ можно ограни­ чивать сверху, но не снизу.

Принцип, отраженный в условии г, косвенным образом опреде­ ляет понятие дефицитного и неходового ресурса. Будем называть товар дефицитным в данном состоянии, если для некоторого участ­ ника достигается верхнее ограничение по этому товару и неходо­ вым — если нижнее. Согласно условию г товар не может быть и неходовым, и дефицитным одновременно.

Вразных работах состояния, удовлетворяющие условиям а-г, называют «равновесными», «равновесиями при негибких ценах», «ST-равновесиями» (в честь Кейнса), «^-равновесиями» (в честь Дреза), «приемлемыми состояниями». Ниже используется последний тер­ мин, чтобы зарезервировать понятие равновесия для других целей.

Вприемлемом состоянии ни один экономический агент не стремится потратить деньги на покупку неходового блага и не согласится продать дефицитный товар по действующим ценам, что­ бы увеличить сбережения. Приемлемое состояние нельзя улуч­ шить путем парного обмена какого-либо товара на деньги. Вместе

стем, имеются примеры, когда ни одно из возможных в системе приемлемых состояний не является Парето-оптимальным на мно­ жестве, задаваемом балансовыми условиями и бюджетными огра­ ничениями.

Рассмотрим модель с двумя товарами (кроме денег) и двумя уча­ стниками, максимизирующими линейные функции полезности:

223

Цены и начальные запасы товаров и денег у каждого агента пола­ гаем равными единице. Пусть ак1 > акг >Ьк>0,т. е. оба участника предпочитают первый продукт второму, а второй продукт — деньгам. Тогда, как легко проверить, существует единственное приемлемое состояние. В нем каждый агент потребляет свои собственные ресур­ сы. Вместе с тем, если два вектора (акл -Ък ,акг - fy), к = 1,2 не про­ порциональны, то это состояние не является Парето-оптимальным в указанном выше смысле.

Другие примеры показывают, что приемлемых состояний может быть бесконечно много. Принципы а-г являются качественными и оставляют слишком много степеней свободы, если не указаны коли­ чественные правила распределения дефицитных ресурсов (между покупателями) и спроса на неходовые товары (между продавцами). Такие правила (схема рационирования) могут быть заданы двумя

наборами функций fKi и (pfc? i е 1 : п, к е 1 : т. Функция Д,(<^) указывает ограничение сверху на объем закупки товара i участни­

ком к, если сумма всех прав на приобретение товара i равна Q. Точно также функция Ф^,(т1,) определяет максимальный объем про­ даж товара i для агента к, если сумма всех прав на продажу равна г\{. Такие схемы рационирования называются жесткими, в отличие от гибких, учитывающих заявки участников.

Дополним условия а-г следующим требованием: ограничения на любой ресурс i должны быть согласованы со схемой рациониро­ вания, т. е.

Як.г = fk.i(X Sk.j )' hk.i = Ф/W(Xhlj ) •

Дрез допускает, что цены могут меняться в некотором диапазо­ не между заданными верхними р = (pt-) и нижними р = (р{) уровня­ ми. В связи с этим он вводит дополнительный постулат: цена дефи­ цитного товара находится на максимальном уровне, а неходового — на минимальном, т. е.

Р<Р ^р,

224

10, Моделирование экономического развития и роста

ловиям а-е, то он называется равновесным с жесткой схемой рацио­ нирования. Такие равновесия существуют для широкого класса си­ туаций.

Бенасси предложил иную концепцию рационируемого равнове­ сия, пригодную, в частности, для описания систем фондирования ре­ сурсов, где объем выделяемых лимитов зависит от заявок участников. Обозначим через dfcl- величину заявки участника к по товару i. Поло­ жительное значение dw соответствует заявке на потребление, а от­ рицательное — заявке на поставку. Пусть Д, - (dxi,..., dm,) — вектор заявок по товару i. Тогда схему рационирования задается набором функций />,,(Д,), удовлетворяющих трем условиям:

т

1) £ h.i (Ai)н 0 (сбалансированность);

2)^(Д,)^, - >0 и Fki =dkj, т. е. поставляемое или приобрета­ емое количество имеет тот же знак, что и заявка, и не превосходит

еепо абсолютной величине;

3)если OLTi{^jiTii йО, то Fki =dkii, т. е. участник на «короткой стороне» рынка1 реализует свой план.

Например, неравенства dki > 0, ]£dr>1- < 0, означают, что участ-

Т

ник предъявляет спрос на товар, предложение которого избыточно. В этом случае спрос должен быть удовлетворен.

Под воздействием схемы рационирования каждый участник dk формирует ограничения dk и hk своей задачи. Его прогноз задается парой вектор-функций Gk - (Gki), Hk - (Я^,), зависящих от заявок участников. Предполагается, что эти функции удовлетворяют сле­ дующим требованиям при всех Д,-:

1Короткая сторона рынка (короткая позиция) ситуация, при которой по данному товару участник продает больше, чем покупает, так что ею рабочий запас товара истощается.

225

Моделирование экономических процессов

4)ег,.(Д,.)>0,Яи(Д,)<0;

5)6и(А{)>Рк4(А{)>НК;(А{);

6)если dkJ >Fki{Ai),TO Gk>I(A,) = i>(,(A,); если dkJ <Ри(А,),то

Яи(А,-) = ^(А*).

Таким образом, прогнозы возможных объемов покупок и продаж могут быть больше количеств, предусмотренных схемой рациониро­ вания F^j. Однако они равны этим количествам, если заявки не удов­ летворяются. Пара функций Gk, Hk называется гибкой схемой рацио­ нирования.

Рассмотрим задачу потребителя, отбросив ограничения на то­ вар i: fy,- < cki < gki. Пусть D^ = (g^ hk) — компонента i решения модифицированной таким образом задачи. Функция Dki называется активным спросом агента к на товар i. Считается, что она определе­ на однозначно. Предполагается, что заявки участников равны их активному спросу.

Равновесие с гибкой схемой рационирования называется набор

В равновесии активный спрос воспроизводится, порождая бла­ годаря схеме рационирования ограничения, которые поддерживают его на равновесных значениях.

Равновесие с гибкой схемой рационирования существует при весьма общих предположениях о функциях и^ F^ G^ Hk. В силу этих предположений и свойств 1-6 в равновесии выполнены требования а-в, фигурирующие в определении приемлемого состояния. Однако требование г удовлетворяется не всегда.

Концепции рационируемого равновесия находят применение при исследовании безработицы, инфляции, несовершенной конку­ ренции и многих других экономических проблем.

226

10, Моделирование экономического развития и роста

10.4. Модели расширяющейся экономики

Описания экономической динамики, в которых технологические возможности и целевые установки неизменны во времени, относят­ ся к моделям расширяющейся экономики. Основным методом их ис­ следования является изучение стационарных траекторий, или тра­ екторий сбалансированного роста. Первоначально анализ стацио­ нарного роста развивался по двум независимым направлениям:

1)в одно- и двухпродуктовых моделях, в которых технологи­ ческие возможности описывались производственной функ­ цией;

2)в многопродуктовой линейной модели, построенной и иссле­ дованной Дж. Фон Нейманом.

Модель Неймана включает п продуктов и т способов их произ­ водства. Каждым способом при единичной его интенсивности в те­ чение единичного интервала времени производится набор про­ дуктов Ь- = (bj •,..., b •). При этом затрачивается набор продуктов а = (а.у,..., aaJ),J el: т. Все способы могут применяться с любыми неотрицательными интенсивностями. Из п-мерных векторов-столб­ цов а- и b составляются матрицы затрат А = (a,j) и выпуска В = (by). Модель Неймана позволяет учесть непроизводственное потребление только в неявной форме. Элементы матрицы затрат А могут включать часть, направляемую на потребление, например, А = А' + С, где a'j — собственно технологические затраты, а с- — векторы потребления на единицу интенсивности способаj . Векто­ ры с составляют матрицу С.

Траекторией (планом), выходящей из точки у0 = В • zv называет­ ся последовательность m-мерных векторов интенсивности {zt}, t e 1: Т, удовлетворяющих балансовым уравнениям

AzM<Bzt, zt>0, te0:(7-l).

При интенсивностях zt непроизводственное потребление в ин­ тервале t составляет С • zt.

Стационарной траекторией, или траекторией сбалансированно­ го роста, называется такая последовательность zv что zt = af • z, где z — m-мерный вектор, а a — положительное число. На стацио­ нарной траектории неизменны пропорции использования способов

227

Моделирование экономических процессов

затрат и выпуска, экономика растет с постоянным темпом а. Темп а и пропорции z должны удовлетворять условиям

a-Az<Bz, ztO, z*Q.

Особый интерес представляет стационарная траектория, кото­ рой соответствует наибольший темп — максимальный темп техно­ логического роста. Его можно найти из решения задачи математи­ ческого программирования: а -» max. Вектор г", на котором дости­ гается максимум, называется неймановским.

Системе балансовых соотношений сопоставляется двойственная ей система ценностных соотношений

prAkpt+1-B, pt £0, pt *0,

показывающая, что ценность выпуска не превосходит ценности за­ трат. Траектория оценок pt такая, что pt - p- t • р, называется стацио­ нарной. Для нее |3р- А >р- В, р £ 0 , р * 0 .

Оценки р*, удовлетворяющие этим условиям при минимальном р, называются неймановскими ценами. Если модель экономики нераз­ ложима, т. е. для производства любого продукта прямо или косвен­ но используются все продукты, то справедлива теорема двойствен­ ности: тахсс - тиф - ос0. При этом неймановские цены стимулиру­ ют неймановскую траекторию роста:

ct0p* •Az^.p" Bz

длявсехг^О, причем а 0 р * - A- z -p Bz .

Другим примером расширяющейся экономики являются однопродуктовые модели с линейно однородными производственными функциями. Примером однопродуктовой модели долговременного экономического роста является модель Рамсея. В ней поток нацио­ нального дохода создается имеющимися в данный момент производ­ ственными фондами и используемыми трудовыми ресурсами. Этот поток делится на потребляемую и накапливаемую части. Последняя определяет прирост производственных фондов, т. е.

F(K,L) = C + K',

где К' — наличные производственные фонды, С — интенсивность потребления, I — используемые трудовые ресурсы. Все показатели

228

10, Моделирование экономического развития и роста

относятся к моменту времени L Производственная функция F не меняется со временем, т. е. технический прогресс отсутствует.

Английский экономист Ф. П. Рамсей поставил вопрос о том, ка­ кую часть национального дохода общество должно сберегать в це­ лях накопления, и тем самым впервые сформулировал задачу пла­ нирования экономического роста как оптимизационную. Ее целевая функция определялась как интегральная полезность за время суще­ ствования экономической системы; полезность в каждый момент равнялась разности между уровнем удовлетворения потребностей ЩС) и «бременем труда» V(L)). При этом для упрощения было при­ нято, что численность населения не меняется, вклад в целевую фун­ кцию потребления в различные моменты времени рассматривается с одинаковым весом, т. е. дисконт равен 1. Очевидно, что интеграль­ ная полезность за период (0, °°) окажется бесконечной и выбор ра­ циональной политики сбережений будет невозможен. Чтобы пре­ одолеть эту трудность, Рамсей допускал, что функции F, U, V предпо­ лагают достижение максимального уровня полезности в некоторой момент — уровня «блаженства». Теперь можно было бы перейти от максимизации интегральной полезности к минимизации неудовлет­ воренной потребности:

до

j(B-U(C) + V(L))dt-*mn.

о

Задача отыскания К, L, С при заданном К0 представляет собой модель Рамсея. Рамсей показал, что произведение сбережений на предельную полезность потребления равно в каждый момент вре­ мени объему неудовлетворенной потребности (закон Кейнса — Рамсея), т. е.

F(K, L)-C)- U'(C) = В - (U(C) - V(L).

dF

Анализ модели показал, что V'(L) = U'(C)—-, т. е. предельное

аК

«бремя труда» равно произведению его предельной производитель­ ности и предельной полезности потребления, а также

229