моделирование экономических процесов.-учебник

г~л МОДЕЛИРОВАНИЕ

УИ ПРОИЗВОЛСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

9.1. Производственные функции. Определение и назначение

Производственная функция (функция производства) представля­ ет уравнение, связывающее переменные величины затрат (ресурсов, факторов производства) с величиной выпуска продукции (в дальней­ шем просто «выпуска»). Понятия выпуска и факторов производства конкретизируются в зависимости от характера и масштаба рассмат­ риваемой производственной единицы, цели исследования, доступной информации. Например, выпуск может измеряться в натуральных или стоимостных показателях, в реальных или потенциальных величи­ нах. А ресурсы могут рассматриваться либо фактически затраченные, либо имеющиеся в распоряжении на начало периода производства. Число факторов в производственной функции не обязательно огра­ ничивается заранее, однако требуется их сопоставимость по характе­ ру воздействия на выпуск и уровню агрегирования.

В экономическом моделировании наиболее широко представле­ ны макроэкономические производственные функции. Эти функции являются агрегатными производственными функциями, характеризу­ ющими зависимость показателя совокупного общественного продук­ та или иного обобщающего показателя от основных факторов произ­ водства. В качестве основных факторов производства обычно рас­ сматриваются объем капитала, рабочей силы, а также земли. В ряде макроэкономических производственных функций в качестве от­ дельного фактора учитывается также воздействие научно-техниче­ ского прогресса. Макроэкономические производственные функции исследуются самостоятельно или включаются в сложные эконометрические модели.

Производственные функции применяются для анализа влияния различных сочетаний факторов на объем выпуска и решения про­ гнозных и плановых задач в следующих случаях:

171

Моделирование экономических процессов

•для анализа влияния различных сочетаний факторов на объем выпуска в определенный момент времени (статиче­ ский вариант, который отражает текущие связи между эко­ номическими показателями);

•для анализа и прогнозирования соотношения объемов фак­ торов и объемов выпуска в разные моменты времени (дина­ мический вариант, т. е. выявление тенденций экономическо­ го развития).

Для отдельного предприятия (фирмы) или отрасли, выпускаю­ щей однородный продукт, часто рассматриваются многофакторные производственные функции, связывающие объем валового выпуска (измеренного в натуральных единицах) с затратами:

•рабочего времени по различным видам трудовой деятель­ ности;

•различных видов сырья, энергии, полуфабрикатов, комплек­ тующих изделий (измеренных, как и выпуск, в натуральных единицах).

Такие функции характеризуют действующую технологию или спектр возможных технологий. В отдельной фирме производствен­ ная функция описывает максимальный объем выпуска продукции, которую эта фирма в состоянии произвести при каждом сочетании используемых факторов производства.

При построении производственных функций крупных отраслей, регионов или народного хозяйства обычно пользуются стоимостны­ ми измерителями (как правило, в постоянных ценах), а выпуск изме­ ряют конечным (а не валовым) продуктом. Кроме того, в этих функ­ циях исключают или сводят к минимуму учет текущих затрат, а также включают небольшое количество переменных (по сравнению с мик­ роэкономическим уровнем). Макроэкономические производственные функции, как правило, содержат 2-4 фактора производства, напри­ мер, живой труд, основные средства, научно-технический прогресс, обобщающий показатель вовлекаемых природных ресурсов.

Многофакторные микроэкономические производственные фун­ кции применяются в технико-экономических расчетах и отражают реально действующие или потенциально допустимые производ­ ственные технологии, например, для определения возможных вари­ антов развития предприятий.

172

9.Моделирование и производственные функции

Вприкладных исследованиях основное направление использо­ вания производственных функций — прогнозирование (особенно средне- и долгосрочное) и перспективное планирование.

Для агрегатных экономических единиц производственная фун­ кция строится в предположении, что соответствующий объект мо­ делируется как единое предприятие, функционирующее по прин­ ципу «затраты ресурсов — выпуск продукции» или «имеющиеся ресурсы — результаты деятельности». В первом случае рассматри­ ваются потоки ресурсов, а во втором — их общие объемы, запасы. Тем самым принимается гипотеза о целостности объекта, моделиру­ емого с помощью производственной функции, о его неделимости. Для большинства производственных функций эта гипотеза суще­ ственна и с формальной точки зрения, ибо не удается воспользо­ ваться одной и той же производственной функцией для представле­ ния объекта в целом и в виде совокупности образующих его произ­ водственных единиц. Другими словами, непосредственное агреги­ рование для производственной функции, как правило, неосуществи­ мо. Исключение составляют производственные функции, в которые факторы входят в виде линейной комбинации. Поэтому анализ эко­ номической деятельности как агрегата и как совокупности пред­ приятий ведется изолированно, а совмещение полученных резуль­ татов и их интерпретация представляют самостоятельные и, глав­ ным образом, содержательные задачи. Отраслевые производствен­ ные функции могут отображать функционирование отрасли как целого, либо отображают деятельность ее среднего предприятия.

Впервом случае производственная функция связывает временные ряды отраслевых агрегатов выпуска и ресурсов, а внутренняя структура отрасли обычно не учитывается. Во втором случае про­ изводственная функция «пространственно» измеряет показатели для образующих отрасль предприятий. Объединение этих подхо­ дов в рамках одного эконометрического исследования технически сложно и требует более жестких предположений о характере эмпи­ рических данных.

Производственная функция является обобщением таких традици­ онных экономических показателей как производительность труда, фондоотдача, материалоемкость и т. п. Иногда, вместо производствен­ ных функций используются соотношения, связывающие между собой

173

Моделирование экономических процессов

не объемы, а темпы прироста ресурсов и выпуска или темпы и объемы одновременно. Такие соотношения обычно называются темповыми производственными функционалами. Широко распространения в эко­ номико-математических исследованиях они не получили.

9.2.Основные требования, предъявляемые

кпроизводственным функциям

Производственная функция, устанавливающая зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов, назы­ вается функцией выпуска. Частными случаями производственной функции являются:

•функция издержек, описывающая связь между объемом вы­ пуска и издержками производства;

•инвестиционная функция, описывающая зависимость необ­ ходимых инвестиций от производственной мощности буду­ щего предприятия.

Формально производственная функция может быть записана следующим образом:

Г = /(*1'Х2 х„\

где Y— объем выпуска; ху — объем ресурса j .

Предполагается, что функция Дх) удовлетворяет некоторым ус­ ловиям, вытекающим из общеэкономических соображений. Вид функции и некоторые ограничения на значения параметров выте­ кают, как правило, из теоретических представлений о структуре и функционировании моделируемого объекта, а конкретные числен­ ные значения параметров находятся в результате обработки, имею­ щейся в распоряжении исследователя информации. Это могут быть:

•результаты пространственных выборок, данные о техникоэкономических характеристиках используемых, потенциаль­ но доступных или проектируемых технологий, агрегатов, производственных комплексов (в этом случае рассматрива­ ются статические модели);

•временные ряды (ряды динамики) или результаты простран­ ственно-временных выборок показателей ресурсов и выпус­ ка (тогда речь идет о динамических моделях).

174

9. Моделирование и производственные функции

Параметры функции оцениваются, в основном, методами корре­ ляционно-регрессионного анализа. Полученные таким образом про­ изводственные функции представляют статистические зависимости между ресурсами и выпуском. Причем, часто оценка погрешности такова, что пользоваться полученными зависимостями на практике не представляется возможным, особенно в случае множественной регрессии. Поэтому полученные зависимости отражают только предполагаемые тенденции развития и обладают низкой достовер­ ностью. В работах западных экономистов неоклассического направ­ ления значения параметров производственной функции часто оп­ ределяют исходя из гипотезы:

•о равенстве отношения предельных производительностей ресурсов, отношению цен на них. Например, в качестве «цены труда» рассматривают среднюю ставку заработной платы, а «цены капитала» — норму процента;

•о равенстве эластичностей выпуска по ресурсам и долей их владельцев в доходе.

Иногда производственную функцию записывают в более об­ щем виде:

G(y,xltxz х„)=0.

Тогда последнее выражение называют уравнением производ­ ственной поверхности. Его можно обобщить на случай совместного производства нескольких видов продукции:

G(y,1,lr2,...,iirm,x1,x2,...,xI1)=0.

Но такие многопродуктовые производственные поверхности встречаются лишь в сугубо теоретических работах.

Производственная поверхность — это геометрическое пред­ ставление производственной функции. В простейшем двумерном случае (один ресурс — один продукт) применяется термин «произ­ водственная кривая». Эта кривая позволяет оценить объем произ­ водства продукта при наличии определенного количества ресурсов. Если факторов и товаров более одного, например п, т, то можно говорить уже не кривой, а о некоторой гиперповерхности, описыва­ ющей все возможные комбинации рассматриваемых товаров, кото­ рые можно произвести при полном использовании имеющихся фак-

175

Моделирование экономических процессов

торов производства. Эта гиперповерхность соединяет точки, пока­ зывающие, что дальнейшее наращивание выпуска одного товара возможно только за счет сокращения выпуска других. Примером может служить граница области допустимых значений в задаче ли­ нейного программирования. Другой термин для обозначения этого понятия: кривая (поверхность) производственных возможностей.

Производственная функция может быть также представлена множеством изоквант, связанных с различными уровнями объема производства.

Общепринятого мнения, каким именно набором свойств, выте­ кающих из общеэкономических соображений, должна обладать про­ изводственная функция, не существует. Однако обычно требуется, чтобы она обладала всеми или хотя бы некоторыми из следующих свойств:

1.У = /(0,0,...,0) = 0 , т. е. выпуск невозможен при отсутствии ресурсов;

т.е. при увеличении затрат всех ресурсов выпуск также растет;

3.—— > 0, j е 1: п, т. е. при увеличении затрат любого из ре-

dXj

сурсов, при неизменном количестве остальных, выпуск не со­ кращается;

4. —r-^—-<0, je I'.n, т. е. с увеличением затрат любого из ре-

д Xj

сурсов, при неизменном количестве остальных, эффективность вовлечения в производство дополнительной его единицы не возрастает (принцип убывающей отдачи последовательных вло­ жений);

5.— > 0, j,f е 1: п, т. е. эффективность затрат любого из ре-

dXjdXj

сурсов при увеличении затрат какого-либо другого ресурса и неизменном количестве остальных, не снижается;

176

9.Моделирование и производственные функции

6.Y = /(х1,хг,...,хп) — строго квазивогнута;

7.У = /(х1,х2,...,х„) — вогнута (выпукла вверх).

Это более жесткая формулировка принципа убывающей отдачи последовательных вложений, из которой, в частности, следует свойство 4;

8. Y = /(х1,хг,...,хп) — однородна степени X, т. е. /(ах1,ах2,...,ахп)= axf[xvxz,...,xn).

При Ы с увеличением масштабов производства его эффек­ тивность растет (растущая отдача или экономия от масштаба), при X < 1 — падает (падающая отдача или потери от масштаба), при X - 1 — не меняется. В одних случаях значение X оцени­ вается статистически, в других на него накладываются априор­ ные ограничения. В подавляющем большинстве малоразмерных моделей экономического роста предполагается, что X = 1. Однако не все производственные функции и не при всех значе­

ниях входящих в них переменных обладают перечисленными свой­ ствами. Иногда, хотя и редко, применяют производственные функ­ ции, для которых не выполняются первые три свойства, хотя они наиболее «естественны». Часто требуется, чтобы производственная функция обладала указанными свойствами не при всех, а лишь при «экономически осмысленных» или реально достижимых значениях переменных. Множество таких значений называют экономической областью.

Иногда требуется, чтобы производственная функция, помимо указанных выше свойств, обладала и некоторыми другими. Так, до­ вольно часто налагаются ограничения на значения производствен­ ной функции или ее первых производных при стремлении одного из аргументов к нулю или бесконечности (так называемые асимптоти­ ческие условия). Наиболее простое и естественное условие состоит в том, что значение функции равно нулю при нулевом значении любого из аргументов, например, для случая двухфакторной макро­ экономической производственной функции.

Однородную производственную функцию произвольной степе­ ни часто называют неоклассической, если она имеет:

177

Моделирование экономических процессов

•положительные первые частные производные;

•отрицательные вторые частные производные;

•положительные вторые смешанные производные по всем

факторам производства.

Производственная функция позволяет рассчитать ряд важных характеристик, описывающих различные стороны исследуемой про­ изводственной единицы. Наиболее часто рассчитывают следующие характеристики:

1) предельная производительность (предельный продукт) фак-

тора j , ——, J е 1: п. Данный показатель показывает, насколько dXj

увеличивается выпуск при увеличении затрат фактора j на одну единицу, при неизменном количестве остальных факторов;

2) частная эластичность выпуска по фактору j (частная фактор-

процентов увеличится выпуск при увеличении затрат фактора j на 1% и при неизменном количестве остальных факторов. Частная эла­ стичность представляет отношение предельной производительно­ сти к средней;

3) эластичность производства

Эластичность производства показывает, на сколько процентов увеличится выпуск при увеличении на 1% затрат каждого фактора. Этот показатель является локальной характеристикой эффекта мас­ штаба производства. Очевидно, что

Я(Х1'*2 Хп)=±,Ч-~-

4) предельная норма замены (замещения) фактораj фактором i. Этот показатель определяет количество фактора j , которое требует­ ся для замены одной единицы фактора j при сохранении на неиз-

178

9. Моделирование и производственные функции

менном уровне объема выпуска и количества остальных факторов. Обычно обозначается Я,- и, по определению, равна:

dXj Эх,-

5) эластичность замены (замещения) фактораj фактором i. На­ ряду с предельной нормой замещения этот показатель характеризу­ ет возможности замены одного фактора другим. В простейшем слу­ чае определяется как

v J J

Существует и ряд других определений эластичности замещения для многофакторных производственных функций. Все существую­ щие определения эквивалентны только для двухфакторных линей­ но однородных производственных функций. В этом случае все они приводят к формуле:

<W_dY_

3x^X2

Часто конкретный вид производственной функции выводят, ис­ ходя из гипотез о значениях и характере изменения каких-либо из указанных пяти характеристик.

Таким образом, с помощью производственных функций изучает­ ся взаимозаменяемость факторов производства, которая может быть неизменной либо переменной (т. е. зависимой от объемов ресур­ сов). Соответственно, функции делят на два вида:

179