SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web
.pdfПусть в |
рассматриваемом |
n -мерном |
пространстве заданы векторы |
e1 1,0,...,0 , |
e2 0,1,...,0 , … en |
0,0,...,1 , |
которые называются базисными |
векторами. Норма каждого из них равна единице, это видно из формулы (56).
Кроме того, каждые два из этих векторов ортогональны. Указанные векторы |
|||
умножим соответственно на a1, a2 , , an |
– координаты вектора a – и сложим |
||
полученные |
произведения. |
Получим |
a1 e1 a2 e2 an en |
a1, 0, ,0 0, a2 , , 0 0,0, , an a1, a2 , ,an a . |
Итак, |
||
a a1 e1 a2 e2 an en |
. Это есть разложение вектора a по базисным векторам в |
n -мерном пространстве.
Как и в трёхмерном пространстве, каждой точке M x1 , x2 , , xn будем ставить в соответствие её радиус-вектор r x1, x2 , , xn , концом которого является точка M , а началом – точка O 0, 0, , 0 .
Пусть в n -мерном пространстве заданы точка M0 своим радиус-вектором r0 и ненулевой вектор a . Прямой в этом пространстве называется множество
точек, радиус-векторы которых определяются формулой r r0 at , где t – скаляр (параметр), который принимает любые действительные значения.
Пусть в пространстве заданы точка M0 своим радиус-вектором r0 и два
ненулевых вектора a и b , для которых не выполняются условия коллинеар-
ности a1 / b1 a2 / b2 an / bn .
Плоскостью в n -мерном пространстве называется множество точек, ра-
диус-векторы которых определяются формулой r r0 at bs , где t , s – дей-
ствительные скалярные величины, принимающие любые действительные значения.
Аналогично можно ввести понятие сферы в n -мерном пространстве.
§ 18. Поверхности второго порядка. Сфера. Цилиндр
Поверхностью второго порядка в пространстве Oxyz называется по-
верхность, определяемая уравнением второй степени относительно текущих
координат a11x2 a22 y2 a33z2 2a12 xy 2a13 xz 2a23 yz 2a14 x 2a24 y 2a34 z a44 0.
Здесь a11, a22 , ... – действительные числа, называемые коэффициентами. В зависимости от коэффициентов это уравнение может определять поверхность или точку (например, уравнению x2 y2 z2 0 отвечает точка O(0,0,0) ) или пару плоскостей (например, уравнению x2 y2 0 отвечает пара плоскостей
51
5354.ru
x y 0 и |
x y 0 ), а также может не определять никакого множества точек |
|||||||
(например, |
x2 y2 z2 1 0 ). Рассмотрим частные виды поверхностей второго |
|||||||
порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Сфера с центром в точке O1 (x0 , y0 , z0 ) |
и радиусом R имеет уравнение |
|||||||
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 , где x0 , |
y0 , |
z0 , |
R – заданные числа (см. рис. 32). |
|||||
Раскрыв скобки и перенеся число R2 |
в левую |
|
|
|||||
часть, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 z2 2x x 2 y |
y 2z |
z x2 |
y2 |
z2 R2 0. |
|||
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
Рис. 32
Нетрудно проверить, что уравнение второй степени относительно x, y, z, в котором коэффициенты при x2 , y2 , z2 равны между собой, а члены с произ-
ведениями координат отсутствуют, представляет собой уравнение сферы (если не имеет место случай, когда это уравнение не определяет поверхность).
Цилиндры второго порядка. Цилиндрической
называется поверхность, описываемая прямой, остающейся параллельной некоторому направлению и пересекающей данную линию. Последняя называется
направляющей цилиндрической поверхности, а прямая
– образующей.
Пусть, например, образующие цилиндрической поверхности параллельны оси Oz и направляющей служит эллипс (рис. 33) в плоскости Oxy с уравнением
x2 / a2 y2 / b2 |
1 . |
(57) |
Рис. 33 |
52
5354.ru
Эта поверхность называется эллиптическим цилиндром. Пусть M (x, y, z) – произвольная точка этого цилиндра, а точка K(x, y) – проекция M на плоскость Oxy. Ясно, что абсциссы и ординаты точек M и K совпадают. Так как точка K лежит на эллипсе, то её координаты x и y удовлетворяют уравнению (57). Но тогда этому уравнению удовлетворяют координаты x и y точки M цилиндра. Значит, (57) есть уравнение цилиндра.
Итак, уравнение (57) на плоскости Oxy определяет эллипс, а в пространстве Oxyz – эллиптический цилиндр с образующей, параллельной Oz, направ-
ляющей которого является указанный эллипс. |
|
Изобразите самостоятельно гиперболический |
цилиндр с уравнением |
x2 / a2 y2 / b2 1 и образующей, параллельной оси Oz, |
а также параболический |
цилиндр с уравнением y2 2 pz и образующей, параллельной оси Ox. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 19. Эллипсоид |
Эллипсоидом называется поверхность, определяемая уравнением |
|||||||||
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
1. |
(58) |
|
|
|
a2 |
b2 |
|
||||
|
|
|
|
|
c2 |
|
|||
где a, b, |
c |
– заданные положительные числа. Ис- |
|||||||
следуем форму этой поверхности методом сече- |
|||||||||
ний. При сечении поверхности (58) плоскостью |
|||||||||
z h ( h |
– |
постоянная, c h c ), проходящей че- |
рез точку z h |
|
на оси Oz |
параллельно плоскости |
|
|
|
|
|
|
Рис. 34 |
|||||||||||||||||||
Oxy, получим кривую, которая определяется сово- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
купностью двух уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
или |
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
x |
|
/ a |
|
y |
|
/ b |
|
z |
|
/ c |
|
1, |
x |
|
/ a |
|
y |
|
/ b |
|
h |
|
/ c |
|
1, |
||||
z h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z h. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В первом уравнении перенесём h2 c2 |
вправо и поделим обе части уравнения |
||||||||||||||||||||||||||||
на 1 (h2 c2 ), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 (1 |
h2 |
/ c2 ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a2 (1 h2 / c2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z h. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта система уравнений определяет эллипс с полуосями |
a1 a(1 (h2 |
c2 ))1/ 2 |
и |
|
b1 b(1 (h2 c2 ))1/ 2 , расположенный в плоскости z h. При |
h 0 |
значения a1 |
и |
|
b1 , очевидно, достигают своих наибольших значений a1 a и |
b1 b, |
т. е. |
на |
|
53 |
|
|
5354.ru |
|
|
|
|
плоскости Oxy получаем эллипс наибольших размеров. При | h | c значения a1 и b1 достигают наименьших значений a1 0 и b1 0. Это означает, что плоскости z c и z c имеют с эллипсоидом по одной общей точке (0,0,c) и (0,0, c) соответственно. При | h | c эллипсоид с плоскостью z h общих точек не
имеет. |
Аналогичная картина будет при сечении эллипсоида плоскостью x h1 |
( a h1 |
a ) и плоскостью y h2 ( b h2 b ) (рис. 34). |
При a b имеем эллипсоид вращения, поскольку в плоскости z h вместо эллипса получаем окружность. Эта поверхность получается при вращении
вокруг оси Oz эллипса ax22 cz22 1, расположенного в плоскости Oxz.
§ 20. Конус
Конусом второго порядка называется поверхность, определяемая уравнением
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
0. |
(59) |
|
a2 |
b2 |
c2 |
|||||
|
|
|
|
где a, b, c – заданные положительные числа (см. рис. 35). Исследовав форму
этой поверхности, как и эллипсоида, методом сечений, получим, что при сечении плоскостью z h ( h – постоянная) получается эллипс с полуосями a1 a | h |c и b1 b | h |c. Очевидно, что при h 0 a1 b1 0, т. е. конус (59) имеет с плоскостью Oxy одну общую точку – начало координат. С увеличением | h | значения a1 и b1 увеличиваются. Покажем теперь, что
при сечении поверхности (59) плоскостью с уравнением y kx ( k – постоянная), проходящей через Oz, получается пара прямых, проходящих через начало координат.
В самом деле, при таком сечении получается линия, определяемая системой уравнений
|
|
2 |
/ a |
2 |
y |
2 |
/ b |
2 |
|
z |
2 |
/ c |
2 |
0, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
y kx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Заменим в первом уравнении y |
на kx, получим |
|
|
|
Рис. 35 |
||||||||||||||||||||||
|
2 |
/ a |
2 |
(kx) |
2 |
/ b |
2 |
z |
2 |
/ c |
2 |
0, |
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
y kx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Но первое уравнение равносильно совокупности двух уравнений |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
1 |
k2 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
и |
x |
1 |
k2 |
|
z |
. |
|||||
|
|
|
|
a2 |
|
c |
|
|
|
|
|
a2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
c |
54
5354.ru
Поэтому последняя система равносильна совокупности двух систем
|
1 |
|
|
k |
2 |
|
z |
|
|
|
1 |
|
k |
2 |
|
z |
|
||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
и |
x |
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
a |
2 |
|
|
b |
2 |
|
c |
|
|
a |
2 |
|
b |
2 |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y kx |
|
|
|
|
|
|
|
y kx. |
|
|
|
|
|
Все уравнения в этих системах определяют плоскости, проходящие через начало координат. Значит, каждая система определяет в пространстве прямую, проходящую через начало координат. При a b получаем конус вращения (вокруг оси Oz ).
§ 21. Однополостный и двуполостный гиперболоиды
Однополостный гиперболоид – это поверхность, определяемая уравнени-
ем
|
|
|
x2 / a2 y2 / b2 z2 / c2 1, |
(60) |
где a, b, c |
– заданные положительные числа. Исследуем форму этой поверх- |
|||
ности. |
В |
сечении ее |
плоскостью z h получается эллипс |
с полуосями |
a(1 (h2 |
c2 ))1/ 2 и b(1 (h2 |
c2 ))1/ 2 . С увеличением h эти полуоси увеличиваются. В |
сечениях поверхности (60) плоскостью Oyz (с уравнением x 0 ) и плоскостью Oxz ( y 0 ) получаются гиперболы
y2 / b2 z2 / c2 1 и x2 / a2 z2 / c2 1
соответственно. Поверхность имеет вид, указанный на рис. 36. При a b по-
лучаем однополостный гиперболоид вращения ( Oz – ось вращения).
Рис. 36 |
Рис. 37 |
|
На рассматриваемой поверхности лежат семейства прямых, которые называются прямолинейными образующими. В частности, система уравнений
x / a z / c k(1 y / b), |
(61) |
|
|
|
|
x / a z / c k 1 (1 |
y / b), |
|
55 |
|
5354.ru |
|
|
где k – произвольное заданное число, в пространстве Oxyz определяет прямую. Перемножив почленно уравнения системы, перейдём к уравнению (60). Следовательно, координаты любой точки M (x, y, z) этой прямой удовлетворяют уравнению (60), т. е. точка M принадлежит поверхности (60). Таким образом, прямая (61) лежит на поверхности. Изменяя значение величины k в системе (61), получим семейство прямолинейных образующих однополостного гиперболоида (60). Другое семейство прямолинейных образующих этого гиперболоида определяется системой
x / a z / c l(1 y / b),x / a z / c l 1 (1 y / b),
где l – произвольное число.
Двуполостный гиперболоид – это поверхность, определяемая уравнением
x2 / a2 y2 / b2 z2 / c2 1, |
(62) |
где |
a, b, c – |
заданные положительные числа. Рассекая поверхность (62) |
плоскостью z h (| h | c ), в сечении получим эллипс с полуосями a 1 h2 / c2 |
||
и b |
1 h2 / c2 |
(см. рис. 37). При | h | c плоскость и поверхность не пересека- |
ются. |
|
|
В сечениях поверхности (62) плоскостью Oyz |
( x 0 ) и плоскостью Oxz ( |
|
y 0 ) будем иметь гиперболы |
z2 / c2 y2 / b2 1 и z2 |
/ c2 x2 / a2 1 соответствен- |
но. При a b получим двуполостный гиперболоид вращения ( Oz – ось враще-
ния).
§ 22. Эллиптический и гиперболический параболоиды
Эллиптический параболоид – это поверхность, определяемая уравнением
x2 / p y2 / q 2z, |
(63) |
где p и q – заданные положительные числа. Расcекая поверхность (63) плоскостью z h ( h ), в сечении получим эллипс с полуосями 2hp и 2hq (см. рис. 38). Поверхность (63) пересекается с плоскостью Oxz ( y 0 ) по параболе x2 2 pz, а с плоскостью Oyz ( x 0 ) – по параболе y2 2qz. При p q получим
параболоид вращения ( Oz – ось вращения).
Гиперболический параболоид – это поверхность, определяемая уравнени-
ем
x2 / p y2 / q 2z, |
(64) |
56
5354.ru
где p и q – заданные положительные числа. Поверхность (64) пересекается с
плоскостью Oxz ( y 0 ) по параболе x2 |
2 pz, |
ветви которой направлены в по- |
||||||||||
ложительную сторону оси |
Oz |
(рис. 39). Рассекая поверхность (64) плоско- |
||||||||||
стью x h , получим кривую, определяемую системой уравнений |
||||||||||||
|
2 |
/ p y |
2 |
/ q |
2z, или |
|
2 |
/ p |
y |
2 |
/ q 2z, |
(65) |
x |
|
|
h |
|
|
|||||||
x h |
|
|
|
x h, |
|
|
|
|
Рис. 39
Первое уравнение запишем так: y2 2q(z h2 /(2 p)). Оно определяет на плоскости x h параболу с ветвями, направленными в отрицательную сторону оси Oz, причём вершина параболы имеет координаты x h, y 0, z h2 (2 p). При
изменении h парабола (65) описывает поверхность, определяемую уравнением (64). Гиперболический параболоид содержит два семейства прямолинейных образующих, определяемых системами уравнений
|
p y / |
q 2kz, |
|
|
p y / |
q 1/ l, |
x / |
и |
x / |
||||
|
p y / |
q 1/ k, |
|
p y / |
q 2lz, |
|
x / |
|
x / |
||||
|
|
|
|
|
|
|
где k и l – произвольные постоянные. Доказательство проводится так же, как и для однополостного гиперболоида.
57
5354.ru
ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. Определители высших порядков
Определитель четвёртого порядка содержит 16 элементов и обозначается
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24 . a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
Как и раньше, элементы этого определителя обозначаются aij , где i – номер
строки, |
j |
– номер столбца, которым принадлежит элемент aij , i 1, 2, 3, 4 , |
j 1, 2, |
3, |
4 . Минором Mij для элемента aij определителя называется опре- |
делитель третьего порядка, получаемый вычёркиванием строки и столбца, которым принадлежит элемент aij . Зная этот минор, определим алгебраическое
дополнение Aij для элемента aij определителя четвёртого порядка
Aij 1 i j Mij . |
(1) |
Определителем четвёртого порядка называется число |
|
a11 A11 a12 A12 a13 A13 a14 A14. |
(2) |
Таким образом, определитель четвёртого порядка выражается через определители третьего порядка. Аналогично, с помощью определителя четвёртого порядка введём понятие определителя пятого порядка, шестого порядка и т. д. Зная определение определителя ( n 1)-го порядка, введём понятие определителя n -го порядка
|
|
a11 |
a1n |
|
a11 A11 a12 A12 ... a1n A1n . |
(3) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
an1 |
|
ann |
|
|
|
Здесь A11, A12 , , A1n – алгебраические дополнения элементов первой строки a11, a12 , ..., a1n . Эти алгебраические дополнения по формуле (1) выражаются через миноры Mij для соответствующих элементов первой строки. Миноры –
определители ( n 1)-го порядка. Таким образом, определительn -го порядка выражается по формуле (3) через определители ( n 1)-го порядка. Соотношение (3) – разложение определителя n -го порядка по элементам первой строки.
58
5354.ru
Элементы a11, a22 , , ann определителя образуют его главную диагональ.
Можно показать (принимается без доказательства), что определитель раскладывается по элементам любой строки или любого столбца. Например, разло-
жения определителя по элементам i -й строки и |
j -го столбца имеют соответ- |
|
ственно вид |
|
|
ai1 Ai1 |
ai2 Ai 2 ... ain Ain , |
(4) |
a1 j A1 j |
a2 j A2 j ... anj Anj . |
(5) |
Таким образом, определитель равен сумме произведений элементов како- го-либо ряда (строки или столбца) на их алгебраические дополнения.
§2. Свойства определителей
1.Определитель не изменится, если его столбцы сделать строками с теми же номерами (эта операция называется транспонированием):
|
a11 |
a1n |
|
|
a11 a21 |
an1 |
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
an1 |
ann |
|
|
a1n a2n |
ann |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство этого свойства опускаем (оно основано на (4) и (5)).
2. Определитель лишь изменит знак, если поменять местами два какихлибо ряда (две строки или два столбца). Например,
a11 a12 |
a1n |
|
a12 |
a11 |
a1n |
. |
|
|
|
|
|||
an1 an 2 |
ann |
|
an2 |
an1 |
ann |
|
В справедливости последнего равенства убедимся, разложив определители слева и справа по элементам соответственно первого и второго столбцов.
3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю. Чтобы доказать это свойство, достаточно переставить одинаковые ряды и
воспользоваться свойством 2.
4. Множитель, общий для элементов некоторого ряда определителя, можно вынести за знак определителя. Например, пусть – определённое число, тогда
|
a11 |
a1n |
|
|
|
a11 |
a1n |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
an1 |
|
ann |
|
|
|
an1 |
ann |
|
|
59
5354.ru
Чтобы доказать это свойство, достаточно разложить определитель по элементам ряда, содержащим указанный множитель.
5.Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю. Это свойство доказывается разложением определителя по нулевым элементам соответствующей строки (столбца).
6.Если к элементам некоторого ряда (строки или столбца) прибавить соответствующие элементы другого ряда, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится:
a11 a12 |
a1n |
|
a11 a12 |
a12 |
a1n |
. |
|
|
|
|
|
||
an1 an2 |
ann |
|
an1 an2 |
an2 |
ann |
|
Чтобы доказать это свойство, нужно разложить определитель в правой части по элементам первого столбца и учесть третье свойство.
7. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого параллельного ряда равна нулю. Например,
a11 A21 a12 A22 a1n A2n 0.
Рассматриваемое свойство доказывается разложением определителя по элементам второго ряда с последующей заменой его элементов на соответствующие элементы первого ряда.
Приведенные выше свойства для определителей третьего порядка доказываются проверкой.
§ 3. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица
Матрицей называется прямоугольная |
таблица, содержащая mn чисел, |
||
имеющая m строк и n столбцов. Она обозначается |
|||
a11 |
|
a1n |
|
A |
|
|
. |
|
|
|
|
am1 |
amn |
Числа a11, a12 , называются элементами матрицы. Коротко эту матрицу
обозначают так: A aij , i 1, |
2, , |
m, |
j 1, 2, |
, n . Здесь i – номер строки, |
|||||
j – номер столбца элемента aij . Матрицу иногда обозначают и так: |
|||||||||
|
|
a11 |
a1n |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1 amn |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
60 |
|
|
|
|
5354.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|