SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский государственный архитектурно-строительный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Эта формула позволяет вычислить длину дуги кривой

AB, заданной уравне-

нием y f x ,

a x b, a, b – абсциссы точек A, B. В формуле (35), как ясно

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

3.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 4023 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

§ 5. Замена переменной в определённом интеграле. Интегрирование по частям

Теорема 5. Пусть дан интеграл ab f (x)dx, где f x – непрерывная функция в интервале a, b . Пусть переменная интегрирования x заменена по

формуле x t , причём:
	a, b (иначе говоря, значения t	и t отвечают соот-

ветственно x a и x b – верхнему и нижнему пределам интеграла);

t непрерывна в интервале , ;

функция t монотонна в интервале , , т. е. в этом интервале

производная t сохраняет знак. Тогда справедлива формула

(16)

dt.

Доказательство. Пусть F x есть

первообразная для f x

– подинте-

гральной функции исходного интеграла. Тогда согласно формуле (14) запишем

b	f x dx F b F a .				(17)
a
С другой стороны, рассмотрим функцию F		t , получаемую из	F	x	заме-
			F	x

ной x t . Она является сложной функцией от t . Возьмём производную от

этой функции по t, получим F t t Fx t f x t f t t . Таким образом, эта производная равна подинтегральной функции в правой части

формулы (16), т. е. для этой подинтегральной функции выражение F t

есть первообразная, поэтому интеграл в правой части формулы (16), согласно формуле Ньютона – Лейбница, равен

f t t dt F F F b F a .

Правая часть этой формулы совпадает с правой частью формулы (17), следовательно, их левые части также равны, т. е. получаем формулу (16). Теорема доказана.

Итак, при замене переменной в определённом интеграле			по формуле
x t	мы должны положить в интеграле x t	и dx t dt.	Кроме того,
	221		5354.ru
			5354.ru

пределы a и b исходного интеграла для x должны заменить соответствую-

щими пределами для переменной t,

а именно, t

и t . Чтобы установить

пределы

для новой переменной, целесообразно выразить из формулы

x t

переменную

через

x , т. е.

найти функцию t t x ,

обратную к

x t .

Тогда t a

и t b После интегрирования возвращаться к ста-

рой переменной необходимости уже нет.

Пример. Вычислить

1 x

Чтобы избавиться от корня, сделаем замену

x tg t. Тогда

dx 1 cos2 t dt.

Нужно найти пределы для t.

Для этого выразим t

через x и получим t arctg x.

При x 0

будем

иметь

arctg 0 0,

а при

x 1

получим

arctg1 / 4.

Учтем, что 1 tg2

x 1 cos2 x , тогда

/ 4

1 cos2 t dt

/ 4

cos tdt sin t

1 x

1 tg t

Интегрирование по частям

Даны две функции U U x

и V V x ,

которые имеют непрерывные про-

изводные

Ux ,

a, b .

Производная

произведения равна

U V x Ux V U Vx , поэтому

b U V x dx b Ux Vdx b U Vx dx.

(18)

По формуле Ньютона – Лейбница будем иметь U V x dx UV ba . Подставим

последнее выражение в левую часть (18) и учтём, что Ux dx dU , Vx dx dV , по-

лучим UV	ba b VdU	b UdV. Отсюда придем к формуле интегрирования по ча-
лучим UV	ba b VdU	b UdV. Отсюда придем к формуле интегрирования по ча-
	a	a
стям определенного интеграла:
				b UdV UV	ba b VdU.	(19)
				b UdV UV	ba b VdU.	(19)
				a	a
Пример. Вычислить 2			x ln xdx.
		1
Положим U ln x,		dV xdx.		Тогда V xdx x2	2 , dU 1 x dx.	Тогда форму-
ла (19) даёт

222

5354.ru

2	x ln xdx ln x	x2	2	2	x2	1 dx 2ln 2	1 ln1	1 x2	2	2ln 2	3 .


								2 2
1	2		1	1	2 x		2		1		4

§ 6. Применение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур

Пусть кривая AB задана уравнением y f x , x
изменяется в интервале a, b ,		в котором f (x) не-
прерывна, где a и b – абсциссы точек A и B соот-
ветственно (рис. 112). Пусть		f x 0 в интервале
a, b , поэтому	AB расположена выше оси Ox. В
этом случае		Рис. 112
b	f x dx SaABb ,	(20)
a

где SaABb – площадь криволинейной трапеции, основанием которой является отрезок ab. Сверху эта трапеция ограничена кривой AB .

Пусть теперь		AB задана уравнением y f x на
интервале a, b ,		причём f x 0		всюду в указанном
интервале (рис. 113). Тогда			AB	лежит ниже оси Ox.
Поступив в этом случае, как и в § 1, 2, нетрудно по-
казать, что b	f x dx SaABb ,		где SaABb – площадь кри-
a					Рис. 113
волинейной трапеции, ограниченной сверху отрезком

ab, а снизу – кривой AB.

Эти формулы используются для вычисления площадей плоских фигур.

Пусть, например, требуется найти площадь SA A B B									заштрихованной фигуры,
					2	1	1	2
ограниченной сверху				кривой	A1B1 с уравнением
y f1 x ,	снизу	–	кривой		A2 B2 с уравнением
y f2 x ,	причём в обоих случаях a x b, а также
отрезками A1 A2 и B1B2 , параллельными оси Oy (см.
рис. 114), при этом			f1 (x) и f2 (x) непрерывны в ин-
тервале [a,b]. Ясно,				что	искомая площадь
SA A B B SaA B b SaA B b .			Площади в правой части,			со-
2 1 1 2	1 1	2 2							Рис. 114
					223				5354.ru
									5354.ru

гласно формуле (20), выражаются через соответствующие определённые ин-

тегралы, поэтому SA2 A1B1B2 b	f1 x dx b	f2	x dx.		Отсюда
a	a
	SA A B B			b	f1 x f2	x dx.	(21)
		2	1 1 2

Эта формула справедлива и в том случае, когда A2 совпадает с A1, а B2 – с B1. В качестве примера найдём площадь конечной фигуры, заключённой между линиями y x и y x2 , пересекающимися в точке O 0, 0 и точке с координатами x 1, y 1, по-

скольку координаты каждой из указанных точек удовлетворяют уравнениям обеих кривых (рис. 115).

между прямыми x a 0 и	x b 1. Её площадь
муле (21), в которой f1 x x,	f2 x x2 . Итак,

Рис. 115

определяется по фор-

		1
	S (x x2 )dx x2 / 2 x3 / 3 10 1/ 6.
		0
Пусть теперь на плоскости Oxy			кривая AB (см. рис. 116) задана парамет-
рическими уравнениями
				x t ,	y t ,	t	.	(22)
При этом
Здесь, как и ранее,		Функция		a ,	b .			(23)
Здесь, как и ранее,	a b.	Функция		(t) и производная		(t) непрерывны в ин-
	a b.
тервале [ , ]. Из первого уравнения (22) выразим t через x							и найдём функ-

цию t t x , обратную к x t . Полученное выражение подставим во второе

уравнение (22) и найдем

y t x .

Воспользуемся формулой (20), где вме-

сто f x

возьмём [t(x)]:

aABb

(24)

dx.

Сделаем

замену x (t)

согласно

первому

уравнению (22),

при этом

и подинтегральная функция

t . По теореме о замене

dx t

переменной в определенном интеграле пределы x a, x b интеграла формулы

224

5354.ru

(24) мы должны заменить соответствующими пределами t , t согласно (23). Следовательно, (24) примет вид


					SaABb t t dt.					(25)

Эта формула позволяет найти площадь криволиней-
ной трапеции, когда кривая				AB задана параметриче-
ски уравнениями (22) (рис. 116). В ней					может быть
как меньше, так и больше ,				важно лишь, что значе-
нию t отвечает точка A с абсциссой a, меньшей
абсциссы b точки B.									Рис. 116
Пример. Вычислим площадь S эллипса,					заданного параметрическими урав-
нениями
x a1 cos t, y b1 sin t,				0 t 2 .	(26)
Точка x, y ,		определяемая по (26), при изме-
нении t от 0 до 2 пробегает весь эллипс, начи-
ная от точки B (см. рис. 117), против хода часо-
вой стрелки. При t 2 точка эллипса совпадает									Рис. 117
с точкой A.									Рис. 117
с точкой A.
Найдём S 4		– площадь четверти эллипса, лежащего в первой четверти
плоскости Oxy. Эта фигура сверху ограничена кривой								AB. Точке A отвечает
t 2, следовательно,			/ 2. Точке B		отвечает t 0,			следовательно,		.
Здесь (t) a1 cos t, (t) b1 sin t,				и по формуле (25) имеем
	S	0		2			2
	S	b1 sin t a1 sin t dt a1b1 sin2 tdt a1b1					1 cos 2t dt
4		b1 sin t a1 sin t dt a1b1 sin2 tdt a1b1					1 cos 2t dt
4		2		0			0	2
		(a b / 2)[t (1/ 2)sin 2t] / 2			a b / 4;		S a b .
		1	1	0	1	1		1	1

225

5354.ru

§ 7. Площадь криволинейного сектора

Пусть в плоскости Oxy задана точка M x, y . Пусть – длина отрезка OM

и – угол между осью Ox и вектором OM , отсчитываемый от оси Ox и считающийся положительным, когда отсчёт ведётся против хода часовой стрелки (рис. 118). Из рис. 118 видно, что

x cos ,

y sin .

(27)

Числа

и – полярные координаты точки M ,

которой x, y

– декартовы координаты. Формула (27),

как отмечалось в § 2 главы 1, связывает декартовы

Рис. 118

координаты M с её полярными координатами.

Пусть полярная координата (полярный радиус) точки M есть функция

f ( ) от полярного угла

. Тогда с изменением

расстояние

точки M до начала координат изменится и M на плоскости опишет некото-

рую линию. Соотношение f

называется уравнением этой линии в по-

лярных координатах.

Пусть кривая AB

на плоскости

Oxy

задана в по-

лярных координатах уравнением f ( ),

где

(рис. 119). Функцию

считаем непрерывной в ука-

занном интервале. Кривая

AB находится между пря-

мыми OA и OB, уравнения которых в полярных коор-

динатах будут соответственно

и (по анало-

Рис. 119

гии с уравнениями x a и x b прямых, параллельных

оси Oy). Получили криволинейный сектор OAB, ограниченный отрезками OA, OB и линией AB. Требуется найти его площадь SOAB .

Разобьём сектор на n частичных секторов, проведя через точку O лучи

1, 2 , ... , n 1, причём 0 1

... n 1 n , где 0

, n . Рассмот-

рим сектор, ограниченный лучами i

и i 1,

с углом

i i 1.

Заме-

ним его круговым сектором, радиус

которого

равен

i , i 1 i

i , и

i 1

, а площадь равна

(1/ 2) f

. Это построение выполним для

всех частичных секторов и получим фигуру, составленную из n круговых

секторов. Вычислим ее площадь S	n	n	1	f		2		. Устремим число секто-
	n		2		i		i
		i 1	2

226

5354.ru

ров n к бесконечности так, чтобы наибольший из углов частичных секторов max i стремился к нулю, при этом все секторы будут стягиваться в отрезки

и ступенчатая фигура по форме будет приближаться к криволинейному сектору. Таким образом, площадь этого криволинейного сектора будет равна

lim

Под знаком предела стоит интегральная сумма

OAB

max i 0,

i 1

( ) / 2 в интервале

Поэтому этот предел

для непрерывной функции

равен определённому интегралу от названой функции, взятой в интервале. Итак,

	(28)
SOAB (1/ 2) f 2 ( )d .


Пример. Рассмотрим кривую, определённую
уравнением a , a – заданное положительное чис-
ло. Легко выяснить форму этой кривой. Пусть уве-
личивается, начиная от значения 0. Тогда расстоя-
ние OM a точки M до начала координат увели-
чивается и M отдаляется от 0, 0 (с ростом ) тем	Рис. 120
	Рис. 120

дальше, чем больше , и кривая уходит в бесконечность. Эта кривая называ-

ется спиралью Архимеда (см. рис. 120).

Найдём площадь заштрихованного криволинейного сектора, ограничен-

ного указанной кривой и лучами = 2					и .			По формуле (28) найдем
1		2	1	2 3		a2		3		3		7a2 3
1		2	1	2 3		a2		3		3		7a2 3
SOAB 2		a d 2 a		3		6	(		( / 2)		)		.
SOAB 2		a d 2 a		3		6	(		( / 2)		)	48	.
	2				2
	2				2
§ 8. Вычисление длины дуги кривой
Пусть на плоскости Oxy			кривая AB			задана
уравнением y f x ,		a x b, причём				a, b	–
абсциссы точек A, B соответственно. Будем
считать, что функция	f	x имеет непрерывную
производную всюду в интервале a, b . Кривую
AB (см. рис. 121) разобьём на n частей точка-
ми M1, M2 , ... , Mi 1, Mi , ... , Mn 1,			причём каждая по-									Рис. 121
				227									5354.ru
													5354.ru

следующая точка лежит правее предыдущей. Точки A, B будем обозначать соответственно M0 , M n . Каждые две соседние точки деления соединим хордой

и получим ломаную, состоящую из хорд, вписанных в кривую AB.

Длина ло-

маной,

которую обозначим

ln ,

равна

сумме

длин

ее

звеньев,

т. е.

ln s1

sn , где si – длина звена Mi 1Mi .

Запишем эту длину с по-

мощью символа суммирования: ln si . Пусть число n делений кривой AB

i 1

стремится к бесконечности так, что длина наибольшего звена

max si стремит-

ся к нулю. Тогда ломаная, вписанная в кривую AB,

по форме будет прибли-

жаться к этой кривой, и за длину

l дуги кривой

естественно принять

lim

Здесь при

max s

0 имеем

max x 0,

где

max x

– наиболь-

n ,

max s 0 n

шая из проекций звеньев ломаной на ось Ox. Таким образом, получим

l n , limmax x

0 si .

(29)

max si 0

i 1

Пусть x1, ... , xi 1, xi , ... ,

xn 1

–

абсциссы

точек

соответственно

M1, ... ,

Mi 1,

Mi , ... , Mn 1. Обозначим x0

b и тем самым разобьём интервал a, b

эти-

ми точками на n частей, каждая длиной

xi xi

xi 1.

(30)

Точки M

i 1

, M

имеют соответственно ординаты

f x

. Ясно, что ве-

i 1

личина

f xi f xi 1 yi

(31)

есть катет прямоугольного треугольника, показанного на рис. 119. Другой катет равен xi . Из указанного треугольника находим гипотенузу, равную si – длине i -го звена ломаной:

si xi 2 yi 2 .		(32)
По формуле Лагранжа запишем разность	f xi f xi 1	f i xi xi 1 ,
где xi 1 i xi . Левая часть формулы есть yi	согласно (31), а разность в пра-
вой части равна xi согласно (30). По-этому	yi f i xi .	Подставим по-
следнюю формулу в (32):

228

5354.ru

a b.

si xi	1 f i 2 .								(33)

Использовав (33), запишем (29) в виде
	l	lim		n	1 f		2	x .	(34)
	l	lim	0		1 f		2	x .	(34)
	n , max x		0			i		i
		i		i 1
				i 1

Здесь в правой части под знаком предела стоит интегральная сумма для функции 1 [ f (x)]2 , непрерывной в интервале a, b , записанная для интервала a, b . Поэтому ее предел равен определённому интегралу от этой функции, взятому по интервалу a,b . Следовательно

из предыдущего, берётся положительное значение корня и, кроме того, в ней считают, что

Пример. Найдем длину l

дуги четверти окруж-

ности с центром в точке 0, 0

и радиусом 1,

распо-

ложенной в

первой

четверти

плоскости

Oxy

(рис. 122). Уравнение такой окружности x2 y2

Отсюда y

1 x2

(берем знак «+»,

так как рас-

сматриваем первую четверть). Здесь

a 0,

b 1

Рис. 122

f x 1 x2 . Найдём f x

и подставим в формулу (35). Получим

arcsin1

1 x

§9. Вычисление объёма тела по известным площадям параллельных сечений. Объем тела вращения

Пусть в системе координат Oxyz задано тело, расположенное между плос-

костями, перпендикулярными к оси Ox, уравнения которых x a, x b	(см.
рис. 124). Указанные плоскости с телом имеют общие точки. Пусть S x	есть

площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ox и проходящей

229

5354.ru

через точку x интервала a, b . Будем считать, что эта площадь известна для

любой	точки		x из a, b . Примем, что функция			S x		непрерывна в a, b .
Нужно найти объём V по известной функции S x						в интервале a, b .
Интервал a, b разобьём на n частей точка-
ми x1, x2 , ... , xn 1.			Каждая последующая точка ле-
жит правее предыдущей. Обозначим				x0 a и
xn b. Через точки деления x1, x2 , ... , xn 1				проведём
плоскости, перпендикулярные к оси Ox, и тем
самым разобьём данное тело на n частей. Рас-
смотрим часть, расположенную между плоско-								Рис. 124
стями,	проведёнными через точки xi 1, xi . В ин-
тервале x		, x	возьмём произвольную точку		,	x	i	x . Проведём через
	i 1	i		i		i 1	i	i

нее плоскость, перпендикулярную к оси Ox, и получим сечение, площадь которого равна S i . Через границу этого сечения проведём цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Ox, расположенными между плоскостями, проведёнными через точки xi 1, xi . Получим цилиндр, высота которого равна xi xi xi 1. Его основания лежат на плоскостях, проходящих через точки xi 1, xi , площади которых равны S i . Объём этого цилиндра равен произведению площади основания на высоту, т. е. Vi S( i ) xi . Этим цилиндром заменим часть тела, расположенную между плоскостями, проведёнными через точки xi 1, xi . Такое же построение выполним для всех частей, на которые разбили тело. Получим ступенчатое тело, состоящее из n цилиндров,

n
его объём Vn равен сумме объёмов цилиндров: Vn S i xi .	Число n	устре-
i 1

мим к бесконечности так, что длина наибольшего интервала max xi 0. Тогда ступенчатое тело будет приближаться к заданному, поэтому естественно

за его объём принять V lim Vn . Подставив выражение для Vn , получим
					n , max xi 0
V lim		n	S	x .	В правой части под знаком предела стоит интеграль-
n , max x	0		i	i
i		i 1

ная сумма для непрерывной функции S x и интервала a, b , в котором эта функция задана. Следовательно, предел указанной интегральной суммы равен определённому интегралу от функции S x , взятому по интервалу a, b :

230

5354.ru

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 4023 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.04.2019125.44 Кб2RTsB_test.doc
#
12.05.2015371.27 Кб11rulturologiy 2.pdf
#
14.11.2018293.89 Кб4russkij-yaz.-egye-chast-s-yenciklopediya.doc
#
17.03.2016150.23 Кб9rutrvar56.pdf
#
17.03.2016311.15 Кб4ryady_metod_ukazaniya_kgasu_5354.pdf
#
12.05.20153.88 Mб42SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web.pdf
#
12.05.20153.69 Mб71SalimovRB_matematika_gl_1-9_2011_web.pdf
#
11.05.2015988.67 Кб44Sbornik_testov_s_otvetami_marketing.doc
#
12.05.20159.79 Mб14SGH_i900_service_manual-spaces_ru.pdf
#
12.05.2015526.35 Кб48Shavali_Burova_109_13.pdf
#
11.05.2015710.66 Кб25Shpargalka_po_pravookhranitelnym_organam.doc