SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

И в дальнейшем пределы берутся при t t0 , но это условие для простоты за-

квадрата, и под корнем мы получим сумму пределов квадратов, которая равна пределу суммы. Поэтому имеем

В свою очередь, знаки корня и предела можно переставить, так как квадратный корень – непрерывная функция своего аргумента. В правой части после

Oxyz. Тогда при изменении t эта векторная функция изменяется по длине и направлению, и конец этой векторной функции (точка M ) в системе координат Oxyz описывает некоторую линию. Каждому значению параметра t отвечает определённый вектор r t с концом M, координаты которой равны про-

екциям вектора r t на оси координат, т. е.

x x t , y y t , z z t . (19)

Наряду с указанным выше значением параметра t возьмём новое его значение t t. Этому значению на кривой отвечает точка M1 , радиус-вектор

Эта формула определяет производную от векторной функции r t , заданной (16). Выясним геометрический смысл этой производной. Предположим, что

152

5354.ru

а соотношения (19) представляют собой параметрические уравнения линии.

Правила дифференцирования векторной функции. Пусть даны две диффе-

ренцируемые векторные функции r1 r1 t , r2 r2 t , т. е. функции, которые

имеют производные, вычисляемые по формуле (23). Для них справедливы формулы

Эти соотношения устанавливаются непосредственной проверкой.

§ 6. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для пространственной кривой

торной функции (16). Подставив значение t t0 , отвечающее точке M0 ,

найдём вектор r t0 x t0 i y t0 j z t0 k, направленный по касательной к кривой в точке M 0 . Проекции этого вектора x t0 , y t0 , z t0 – известные

числа. Зная проекции этого вектора, лежащего на касательной, и координаты точки M0 касательной, запишем канонические уравнения этой касательной

153

5354.ru

Плоскость, проходящая через точку M0 перпендикулярно к касательной рассматриваемой кривой, называется нормальной плоскостью для этой кривой в точке M 0 . Зная координаты точки M0 и проекции нормального вектора

r t0 для этой плоскости, получим уравнение этой нормальной плоскости:

x t0 x x0 y t0 y y0 z t0 z z0 0.

154

5354.ru

ГЛАВА 9. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 1. Функции двух переменных и способы их задания

Пусть M – некоторое множество пар x, y действительных чисел, N –

некоторое множество действительных чисел z.

Функцией двух переменных x, y называется правило, согласно которому каждой паре чисел x, y из множества M отвечает одно определённое число

ции z f x, y f P – на плоскости Oxy отвечает некоторое множество точек.

Будем также называть его областью определения рассматриваемой функции.

Как правило, будем рассматривать функции двух переменных, для которых указанное множество точек, отвечающих M, на плоскости Oxy образует область.

Пусть плоскость Oxy разбита простой (т. е. без точек самопересечения) замкнутой кривой L на две части: внутреннюю D и внешнюю (см. рис. 88). Каждую из этих частей называют областью, кривую L – границей области. Точки области, не лежащие на границе L, называ-

ются внутренними точками области, а точки гра-

ницы – граничными. Если в область входят также Рис. 88 все точки её границы L, то эту область называют

155

5354.ru

замкнутой.

Область называется конечной (ограниченной), если все ее точки расположены на конечном расстоянии от начала координат. Напимер, область D, внутренняя для кривой L, является конечной, а область, внешняя по отношению к кривой L, – бесконечной. Другими примерами бесконечных областей служат вся плоскость Oxy и верхняя полуплоскость с осью Ox в качестве границы. В дальнейшем области, внешние к замкнутой кривой, не рассматриваются. Строгое математическое определение области мы не приводим.

Способы задания функции двух переменных Табличный способ задания функции заключается в том, что значения

функции задают с помощью таблицы. Например, таблица может иметь следующий вид: в первом столбце указывают ряд значений x, а в первой строке

– ряд значений y. На пересечении строк и столбцов записывают соответствующие значения функции f x, y .

Аналитический способ задания функции – это способ задания функции с помощью формул. Пусть, например, функция двух переменных задана формулой

определения, то под областью определения понимают совокупность всех то-

воляет найти соответствующее значение функции.

Найдём область определения функции, заданной формулой (1). Ясно, что в любой точке P x, y значение рассматриваемой функции можно найти, если

для координат x, y этой точки выражение под корнем положительно или равно нулю, т. е. 1 x2 y2 0 или

156

5354.ru

поэтому в этих точках z 0, т. е. функция (1) определена также во всех точках границы области определения. Значит, последняя есть замкнутая область.

§ 2. Геометрическое представление функции двух переменных

Пусть в области D плоскости Oxy пространства Oxyz задана функция

чим множество точек M x, y, z . Как правило будем рассматривать функции,

для которых это множество образует некоторую сплошную поверхность. Эту поверхность будем называть графиком рассматриваемой функции z f x, y .

По построению, координаты x, y, z любой точки M этой поверхности удовлетворяют соотношению z f x, y , следовательно, последнее соотношение

является уравнением этой поверхности.

Итак, мы показали, что каждой функции двух переменных z f x, y в пространстве Oxyz отвечает поверхность с уравнением z f x, y . Это и есть геометрическое истолкование функции двух переменных.

157

5354.ru

Например, функции, определённой формулой (1), в пространстве Oxyz отвечает верхняя часть сферы радиуса r 1 с центром в начале координат. В самом деле, согласно (1) z 0, т. е. поверхность расположена выше плоскости Oxy, а возведя в квадрат (1), получим уравнение сферы x2 y2 z2 1. Это означает, что координаты любой точки, рассматриваемой поверхности, отвечающей функции (1), удовлетворяют последнему уравнению.

§ 3. Функции трёх и большего числа переменных. Частное и полное приращения функции

Аналогично предыдущему можно ввести понятия функций трёх и большего числа переменных. Например, функции трёх переменных обозначаются U f x, y, z . Мы знаем, что в пространстве Oxyz тройке чисел x, y, z отвеча-

функции трёх переменных, для которых областью определения служит некоторая конечная область - часть пространства ограниченная замкнутой поверхностью (например, сферой). Эту поверхность называют границей области. Определения конечной и замкнутой областей такие же, что и в § 1.

Функцию n переменных будем обозначать U f x1 , x2 , , xn , здесь x1, x2 , , xn – аргументы функции. Мы знаем, что в n -мерном пространстве каждой совокупности n чисел x1, x2 , , xn отвечает точка P, для которой эти числа являются координатами. Поэтому функцию n переменных можно рассматривать как функцию этой точки P в n -мерном пространстве U f P .

Функции трёх и большего числа переменных геометрического истолкования не имеют.

Пусть дана функция двух переменных z f x, y . Пусть из двух аргументов этой функции второй аргумент y – постоянная, а первый аргумент x изменяется и получает приращение x. Тогда соответствующее приращение функции обозначается x z f x x, y f x, y и называется частным приращением по x функции z f x, y в точке x, y соответствующим прира-

соответствующее приращение функции обозначается y z f x, y y f x, y

158

5354.ru

и называется частным приращением по y функции z f x, y в точке x, y соответствующим приращению y.

Пусть теперь оба аргумента x, y изменяются и получают приращенияx, y. Тогда выражение z f x x, y y f x, y называется полным приращением функции z f x, y в точке x, y , соответствующим приращениямx, y. Аналогично определяются частное и полное приращения функции трёх и большего числа переменных.

Рассмотрим функцию n переменных U f x1 , x2 , , xn . Пусть изменяется только x1 и получает приращение x1, а все остальные аргументы остаются

функции, то получаем её полное приращение

U f x1 x1 , x2 x2 , , xn xn f x1 , x2 , , xn .

§ 4. Предел функции

малым оно ни было, найдутся такое положительное число и соответствующая -окрестность точки P0 , что для всех точек P x, y этой окрестности (за

исключением, возможно, точки P0 ) выполняется неравенство

Из приведенного определения ясно, что речь идёт о пределе функции

Замечание. Согласно определению предела функции неравенства (3) должны выполняться для всех точек P x, y из окрестности точки P0 . В про-

тивном случае функция предела не имеет. Возьмем, например, функцию z (x2 y2 ) /(x2 y2 ) и рассмотрим её поведение при P x, y P0 0, 0 . В любой окрестности точки P0 для всех точек, лежащих на Ox, для которых y 0, имеем z 1. Для всех точек оси Oy этой окрестности, для которых x 0, получаем z 1. Таким образом, неравенство (3) не может выполняться ни для одного числа b в окрестности точки P0 . Это означает, что указанная функция при P P0 предела не имеет.

Определение предела функции трёх и большего числа переменных аналогично определению предела для функции двух переменных. Нужно только ввести понятие окрестности точки P0 . Сделаем это для случая функции n пе-

ременных U f x1 , x2 , , xn . Введём n -мерное пространство, в котором возьмём переменную точку с координатами x1 , x2 , , xn . Пусть в n -мерном про-

160

5354.ru