SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

§ 3. Касательная и нормаль к кривой. Существование производной

f x0 tg - угловой коэффициент касательной к кривой в точке M 0 . Зная координаты точки M0 и угловой коэффициент касательной, запишем уравнение касательной M0T (см. формулу (31) главы 2):

стороны (для x 0 ) эта секущая стремится к другому положению, то в точке M0 касательная к данной кривой не существует. Ясно, что кривая y f (x) в

этом случае в точке M0 имеет излом. При этом в точке M0 не существует производная f (x) , вычисляемая по формуле (3).

В самом деле, при x 0 , когда x 0 , отношение y x стремится к одному пределу, а при x 0 , x 0 , это отношение стремится к другому пределу, т. е. это отношение имеет разные односторонние пределы при x 0 . Это означает, что обычный двусторонний предел (3) не существует, т. е. в точке M0 с абсциссой x не существует производная f (x) . Последние рассуждения проиллюстрируем на следующем примере.

Пусть функция y f (x) определена формулой

101

5354.ru

учтём, что предел правой части равен произведению пределов сомножителей:

lim y lim ( y / x) lim x. В правой части первый предел, согласно (6), су-

x 0 x 0 x 0

ществует и равен f ( x0 ) (в силу условий теоремы, так как функция в точке x0

lim y 0. Согласно второму определению непрерывности функции в точке

x 0

это означает, что в точке x0 функция y f (x) непрерывна. Теорема доказана.

Отметим, что утверждение, обратное утверждению теоремы, не справедливо, т. е. нельзя утверждать следующее: если функция непрерывна в точке, то она дифференцируема в этой точке. Сказанное продемонстрируем на примере функции y f (x) 3 x. Она непрерывна в точке x0 0 , так как является основной элементарной функцией (степенной функцией), и в точке x0 0 определена (равна нулю). Производная f (x) этой функции, как будет показано дальше, равна x 2 / 3 / 3. Но эта производная в точке x0 0 не существует, т. е. функция в этой точке не дифференцируема, хотя и непрерывна.

§ 5. Производная постоянной. Правила дифференцирования

Здесь при доказательстве теорем будем исходить из определения производной, согласно которому для функции y f (x) производная выражается формулой

–дифференцируемая функция, то (cV) cV .

Всамом деле, когда U c const , имеем U c 0 , и формула ( b ) теоремы

2даёт c V c V c V c V .

§6. Производные тригонометрических и логарифмической

функций

cos x sin x.

Доказательство. Докажем первую теорему (вторая доказывается анало-

Но первый предел равен единице, т. к. представляет собой «первый замеча-

105

5354.ru

§ 7. Производная сложной функции

приращение U x x x , а последнему приращению аргумента U функции y f U отвечает приращение y f U U f U . Таким образом, приращению x аргумента x в конечном счёте отвечает приращение y рас-

ло доказано ранее, она является непрерывной, поэтому, согласно второму

ме того, учтём, что предел правой части равен произведению пределов. В итоге получим

107

5354.ru

Согласно (16) из существования пределов (17) и (18) вытекает существование предела (15). Производные (15), (17) и (18) подставим в (16) вместо соответствующих пределов и придём к формуле (14). Теорема доказана.

гично получается формула для дифференцирования сложной функции, состоящей из трёх и большего числа составляющих функций. Запишем формулу для дифференцирования сложной функции, состоящей из трех составляющих функций.

Пусть y f (U ), U (V ), V (x). Имеем сложную функцию y f { x ]}. Её производная будет равна

y x f U UV Vx f U (V ) ( x).

Коротко правило дифференцирования сложной функции можно записать так:

производная сложной функции равна произведению производных её составляющих по своим аргументам.

§ 8. Производные степенной и показательной функций. Логарифмическое дифференцирование

Теорема 10 (производная степенной функции). Если y xn , n 0 – лю-

бое действительное число, то y nxn 1 или коротко: (xn )x nxn 1.

Доказательство. Пусть x 0. От соотношения y xn , n 0 , возьмём натуральный логарифм: ln y n ln x. Далее продифференцируем эту функцию, при этом показатель степени n как постоянный множитель вынесем за знак про-

изводной: ln y x n ln x x . Отсюда

Здесь производная левой части есть производная сложной функции. Так как логарифм зависит от y, который в свою очередь зависит от x , то по формуле

(14) имеем ln y x ln y y yx . Но ln y y 1 y , поэтому

108

5354.ru

Это выражение подставим в левую часть (19) и получим yx / y n / x или yx ny / x. Подставив сюда y xn , получим то, что требуется. Теорема доказана. При n 1 теорема дает (x)x 1.

Доказательство теоремы проведено для случая x 0. Без обоснования отметим, что утверждение теоремы справедливо и для x 0.

Замечание. При доказательстве теоремы соотношение y xn сначала прологарифмировали, взяв натуральный логарифм от него, а затем полученное соотношение продифференцировали по x. Операция взятия логарифма и последующего дифференцирования называется логарифмическим дифферен-

цированием, а выражение (20) называется логарифмической производной.

Наконец, отметим, что производные от степенно-показательных функций вида y [U x ]v x находятся с помощью логарифмического дифференцирования. Вычислим, например, производную функции y xx . Для этого прологарифмируем, а затем продифференцируем обе части равенства y xx . Получим

§ 9. Неявная функция и её производная

Функция y f x называется неявной, если она определена соотношени-

где F x, y – известное выражение. Например, таковыми являются соотношения

явному заданию. Например, из (22) следует y 1 x2 . Но такой переход не

109

5354.ru

всегда возможен, например, в случае функции, заданной уравнением (23). Однако всегда можно найти производную неявной функции. Для этого достаточно соотношение (21) продифференцировать по x, помня, что в нём y есть

§ 10. Обратная функция и ее производная

Пусть дана функция y f x . Выразим из этого соотношения x через y и получим где y – аргумент, а x – функция. Эта последняя функция называется обратной к функции y f x . Ясно, что на плоскости Oxy этим

функциям отвечает один график, так как они представляют собой разные формы записи одной и той же зависимости. Например, для функции обратной является x y. Здесь каждому значению y отвечают два значения x. В этом случае говорят, что функция x y является многозначной. В данном случае она двузначна. Ясно, что из этой двузначной функции можно получить две однозначные функции, а именно, x y и x y. Эти одно-

значные функции называются ветвями рассматриваемой многозначной функции. В дальнейшем всегда в случае многозначной обратной функции под обратной функцией будем понимать какую-либо выбранную нами однозначную её ветвь. Например, для функции в качестве обрат-

ной можно взять либо x y , либо x y по нашему усмотрению. Функции отвечает парабола (рис. 49).

110

5354.ru