SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web
.pdf
|
|
|
|
|
|
V b S x dx. |
|
(40) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
Объём тела вращения |
|
|
|
||||
Пусть в плоскости Oxy кривая AB |
задана уравнением |
y f x , a x b, |
|||||||||
a, b – абсциссы точек A и B соответственно. Будем считать, что f x |
непре- |
||||||||||
|
|
|
|
рывна в интервале a, b |
и всюду |
f x 0. При вра- |
|||||
|
|
|
|
щении этой кривой вокруг оси абсцисс получим |
|||||||
|
|
|
|
поверхность, ограничивающую тело вращения (см. |
|||||||
|
|
|
|
рис. 125). Требуется найти его объём. |
|
||||||
|
|
|
|
|
Через точку x интервала a, b проведём плос- |
||||||
|
|
|
|
кость, перпендикулярную к оси Ox. Эта плоскость |
|||||||
|
|
|
|
пересекает тело по кругу (он показан на рис. 125), |
|||||||
|
Рис. 125 |
|
|
||||||||
радиус которого равен |
f x – ординате точки кривой AB с |
абсциссой x. Яс- |
|||||||||
но, что площадь этого круга равна S x f |
x 2 . |
Таким образом, для каждо- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
го x из интервала a, b |
известна площадь сечения S x , поэтому для нахож- |
||||||||||
дения |
искомого |
объёма |
можем |
воспользоваться |
формулой |
(40): |
|||||
V b f x 2 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Вычислим объём тела вращения, по- |
|
|
|
||||||||
лученного вращением вокруг оси Ox |
кривой на |
|
|
|
|||||||
плоскости Oxy с уравнением |
y sin x, |
0 x (см. |
|
|
|
||||||
рис. 126). Итак, a 0, |
b |
f x sin x. При вы- |
|
|
|
||||||
числении нужно учесть, что |
sin2 x (1 cos 2x) / 2. |
|
Рис. 126 |
||||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V sin 2 xdx ( / 2) (1 cos 2x)dx |
( / 2) |
dx |
cos 2xdx |
|
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( / 2) (1/ 2) |
cos 2xd 2 x 2 / 2 ( / 4)(sin 2 sin 0) |
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 / 2.
231
5354.ru
§ 10. Приближенное вычисление определенного интеграла методом трапеций
Если |
известна первообразная F x для функции |
f x , то интеграл |
ab f (x)dx |
вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница: ab f (x)dx F (b) F (a). |
|
Но F x |
не всегда можно представить через элементарные функции, в этих |
случаях определённый интеграл вычисляют приближённо. Рассмотрим лишь
один из таких приближённых методов – метод трапеций. |
|
|
||||
|
Итак, нужно приближённо вычислить интеграл |
|||||
|
ab f (x)dx, где a и |
b – заданные числа и a b, а |
||||
|
f x – |
заданная |
в интервале a, b непрерывная |
|||
|
функция. Для простоты предположим, что кривая |
|||||
|
AB с уравнением |
y f x , a x b, лежит выше |
||||
Рис. 127 |
оси Ox, |
a, b – абсциссы точек A, |
B (рис. |
127). Из- |
||
вестно, |
что в рассматриваемом |
случае |
искомый |
|||
|
интеграл равен площади SaABb криволинейной трапеции, основание которой – отрезок ab оси Ox, а сверху она ограничена кривой AB с уравнением y f (x). Разделим интервал a, b на n равных частей длины x b a n, число n за-
дадим по нашему усмотрению. |
Обозначим a x0 , b xn . Определим точки де- |
|||
ления x0 a, |
x1 x0 x, |
x2 x1 |
x, ... , xn 1 xn 2 x, xn b. |
Вычислим в них |
значения подинтегральной функции, которые обозначим |
f (x0 ) y0 , f (x1 ) y1, |
|||
f (x2 ) y2 , ..., |
f (xn 1 ) yn 1, |
f (xn ) yn . Эти числа представляют собой ординаты |
точек кривой AB, абсциссы которых есть соответственно x0 , x1, x2 , ... , xn 1, xn . Обозначим точки
M 0 x0 , y0 , M1 x1, y1 , M 2 x2 , y2 , ... , M n 1 xn 1, yn 1 , M n xn , yn .
Каждые две соседние из них соединим хордой. Получим фигуру, состоящую из n трапеций, высоты которых одинаковы и равны x. Длины оснований трапеций равны y0 , y1, y2 , ... , yn 1, yn . Площадь фигуры Sn , состоящей из этих n трапеций, равна сумме площадей трапеций:
Sn x ( y0 yn ) / 2 y1 y2 ... yn 1 .
232
5354.ru
Ясно, что найдённую площадь Sn приближённо можно взять в качестве площади криволинейной трапеции SaABb , следовательно, приближённо можно принять ее равной искомому интегралу. В итоге получим формулу
b |
y |
0 |
y |
n |
|
|
|
b a |
|
|
f x dx x |
|
|
y1 y2 |
... yn 1 |
, x |
n |
. |
|||
|
|
2 |
|
|||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
Она называется формулой трапеций для приближённого вычисления опреде-
лённого интеграла. Чем больше число делений n, тем формула точнее. Пред-
лагаем самостоятельно, использовав ее, вычислить интеграл sin xdx, взяв
0
n 6.
233
5354.ru
ГЛАВА 13. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Объём цилиндрического тела
Пусть на плоскости Oxy, в области D, задана функция двух переменных z f x, y , непрерывная и положительная всюду в D. В пространстве Oxyz уравнение z f x, y определяет поверхность. Так как f x, y 0 в области D, то указанная поверхность расположена выше плоскости Oxy (рис. 130).
Рис. 130
Требуется найти объем цилиндрического тела, основанием которого является область D, сверху оно ограниченно поверхностью с уравнением z f x, y , а с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, парал-
лельными оси Oz и проходящими через границу области D.
Разобьем область D на n частей, которые будем называть частичными областями. Эти области и их площади обозначим 1, 2 , ... , i , ... , n .
Через границу каждой частичной области проведём цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz. Тем самым рассматриваемое цилиндрическое тело разобьём на n частей – цилиндрических тел. Внутри ча-
стичной области i возьмём произвольную точку Pi i , i . |
В этой точке вы- |
||||
числим |
значение заданной функции |
f i , i f Pi |
. Это |
значение равно |
|
f i , i |
f Pi Pi Mi |
– расстоянию от |
точки Pi до |
точки |
Mi поверхности |
z f x, |
y . Точка Pi |
– проекция точки Mi на плоскость Oxy при проектирова- |
|||
нии параллельно оси Oz. Через точку |
Mi проведём плоскость параллельно |
плоскости Oxy . На этой плоскости цилиндрическая поверхность, проведённая
234
5354.ru
через границу области i с образующими, параллельными оси Oz, отсечёт фигуру с площадью i (см. рис. 130). Таким образом получится цилиндр с площадью основания i , высотой f i , i , и, следовательно, объёмом, равным f i , i i . Этим цилиндром заменим i –ю часть цилиндрического тела с основанием i . Такое же построение выполним для всех частей области D, на которые мы её разбили. Тогда получим ступенчатое тело, состоящее из n цилиндров. Объём этого тела обозначим Vn . Он равен сумме объёмов цилиндров, из которых тело состоит:
|
n |
|
Vn |
f i , i i . |
(3) |
|
i 1 |
|
Диаметром частичной области |
i называется наибольшее расстояние |
между точками границы этой области. Например, для прямоугольника диаметром является длина диагонали, а для прямоугольного треугольника – это длина гипотенузы.
Обозначим через di диаметр области i . Пусть max di есть наибольший
из всех диаметров частичных |
областей области D. Пусть число |
делений |
n так, что max di 0, т. е. |
все частичные области стягиваются |
в точки. |
Тогда вышеуказанное ступенчатое тело по форме будет приближаться к исходному цилиндрическому, поэтому естественно за объём V цилиндрическо-
го тела принять lim Vn V. Подставим сюда сумму из формулы (3) и полу- |
|||
n , |
|
|
|
max di 0 |
|
|
|
чим |
|
|
|
|
n |
i . |
|
V lim |
f i , i |
(4) |
|
n , |
i 1 |
|
|
max di 0 |
|
|
|
§ 2. Двойной интеграл и его геометрический смысл |
|||
Пусть в области D задана функция f x, y f P , где |
P x, y |
– любая точка |
области. Будем считать, что эта функция принимает любые значения. Область D разобьём на n частей с площадями , 2 , ... , n . Внутри области i возьмём произвольную точку Pi с координатами i , i и вычислим в ней значение заданной функции, т. е. найдём f i , i f Pi . Это значение умножим на площадь i i -й частичной области. Подобные вычисления проведем для всех частей, на которые разбили область D. Просуммируем все произведения,
235
5354.ru
|
n |
|
|
|
|
получим |
f i , i i . Эта |
сумма |
называется |
интегральной суммой для |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
функции |
f |
x, y и области D, |
в которой функция задана. Пусть, как и рань- |
||
ше, max di – |
наибольший из диаметров частичных областей , 2 , ... , n . |
||||
Пусть число делений n так, что |
max di 0, |
т. е. все частичные области |
стягиваются в точки. Тогда, если существует конечный предел вышеуказанной интегральной суммы и он не зависит ни от способа разбиения области D ,
ни от выбора точек Pi ( i , i ) , |
то его называют двойным интегралом от функ- |
||||||||||||
ции f x, y f P |
по области D и обозначают |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
f P d f x, |
y dxdy. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
D |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
P d |
|
f |
x, y dxdy lim |
|
n |
f |
, |
. |
(5) |
|
|
|
|
|
n |
|
|
i |
i |
i |
|
|
|
||
D |
|
|
D |
|
max di 0 |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь D – область интегрирования, элемент площади d dxdy |
в связи с тем, |
||||||||||||
что область интегрирования расположена на плоскости Oxy ; |
f P d – по- |
||||||||||||
динтегральное выражение; x, y – переменные интегрирования. |
|
||||||||||||
Отметим частный случай формулы (5), когда |
f x, y 1 |
всюду в области |
|||||||||||
D, тогда сумма под знаком предела в правой части формулы (5) будет равна |
|||||||||||||
сумме площадей всех частичных областей, |
т. е. площади S области D. Пре- |
||||||||||||
дел этой площади тоже равен S, так как предел постоянной равен ей самой. |
|||||||||||||
Итак, интеграл dxdy S |
– площади области интегрирования D. |
|
|||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если всюду в области D функция f x, |
y f P 0, |
то согласно формуле |
(4) предел правой части (5) равен V – объёму соответствующего цилиндрического тела. Итак, объём цилиндрического тела, основанием которого служит
область D и которое сверху ограничено поверхностью z f x, y , где |
f x, y |
|
– положительная функция, заданная в D, |
определяется формулой |
|
V f P d f x, y dxdy. |
(6) |
|
D |
D |
|
В этом заключается геометрический смысл двойного интеграла.
236
5354.ru
§5. Тройной интеграл и его механический смысл. Теорема существования кратных интегралов
Пусть в области V с границей S в пространстве Oxyz задана функция f x, y, z f P , где P(x, y, z) – любая точка области V (рис. 131).
|
|
|
|
Рис. 131 |
|
Разобьем область V |
на n частей, объёмы которых и сами области обо- |
||
значим V1, |
V2 , ... , Vn . |
Внутри области Vi возьмём произвольную точку |
||
Pi |
i , i , i |
и |
вычислим |
в ней значение заданной функции, т. е. найдём |
f |
i , i , i |
f |
Pi . Это значение умножим на Vi – объём i -й части. Подобную |
операцию проделаем со всеми частями, на которые разбили область V , и, сложив все произведения, получим интегральную сумму для заданной функ-
|
n |
ции f x, y, z f P и области V |
ее задания: f i , i , i Vi . Пусть, как и |
|
i 1 |
раньше, di – диаметр области Vi , т. е. наибольшее расстояние между точками границы области Vi , и max di есть наибольший из всех диаметров частичных областей Vi области V .
Если существует конечный предел вышеуказанной интегральной суммы при n , max di 0 и он не зависит ни от способа разбиения области V , ни от выбора точек Pi i , i , i , то этот предел называют тройным интегралом по
области V от функции f |
x, y, z f P |
и обозначают |
f |
P dV . |
Итак, |
||||
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
f P dV |
|
f |
x, y, z dxdydz |
lim |
n |
f |
, , |
V . (7) |
|
|
|
n |
|
i |
i i |
i |
||
V |
|
V |
|
|
max di 0 |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
237 |
|
|
|
|
5354.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь dV называется элементом объёма, а остальные термины называют так же, как и в случае двойного интеграла. Поскольку область интегрирования расположена в системе Oxyz , принято dV dxdydz. .
Отметим частный случай. Формула (7), когда всюду в области
V , даёт f P dV dV dxdydz V – величину объёма области интегри- |
||
V |
V |
V |
рования V . В самом деле, в этом случае правая часть формулы (7) под знаком предела содержит сумму всех объёмов частичных областей. Ясно, что эта сумма будет равна объёму области, и предел этого объёма тоже будет равен
V .
Рассмотрим механический смысл тройного интеграла. Пусть область V
сплошь заполнена веществом и mi – масса вещества, заключённого внутри объёма Vi , содержащего внутри себя точку Pi . Тогда предел lim( mi / Vi ), когда Vi 0 и стягивается в точку Pi , называется плотностью вещества в
точке Pi . Пусть вещество внутри объёма V |
распределено неравномерно, и в |
каждой точке P x, y, z плотность равна |
x, y, z . Пусть функция x, y, z , |
характеризующая распределение плотности по телу, известна всюду в области V. Требуется найти M – массу вещества, заключённого в объёме V (массу тела V ).
Область V разобьем на n частей с объёмами V1, V2 , ... , Vn . Внутри области Vi (см. рис. 131) возьмём произвольную точку Pi i , i , i и найдём в ней значение заданной плотности, т. е. значение i , i , i . В силу малости части Vi приближенно можно считать, что внутри Vi плотность остаётся постоянной и равной i , i , i . Умножив эту плотность на объём Vi , найдём приближенно массу mi вещества внутри Vi . Это проделаем со всеми частями, на которые разбили область V. Сложив, приближенно найдем искомую
n
массу M : M i , i , i Vi . Ясно, что для нахождения точного значения M
i 1
здесь в правой части нужно взять предел, когда |
n и |
max di 0. Итак, |
||
M lim |
n |
Но согласно формуле (7) предел правой части по- |
||
i , i , i Vi . |
||||
n |
i 1 |
|
|
|
max di 0 |
|
|
|
|
следней |
формулы равен |
тройному интегралу по |
области |
V от функции |
x, y, z . Таким образом, масса определяется формулой
238
5354.ru
M x, y, z dxdydz.
V
Теорема (о существовании двойного (тройного) интеграла). Если функция непрерывна всюду в области включая границу, то существует конечный предел интегральной суммы для этой функции и области, в которой
она задана, когда число делений n и |
max di 0. При этом предел не зави- |
сит ни от способа разбиения области, |
ни от выбора точек Pi . Доказатель- |
ство теоремы опускается. |
|
§ 6. Свойства двойного (тройного) интеграла
Запишем эти свойства для двойных интегралов, для тройных интегралов они аналогичны.
1. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла, т. е. если A const, то
Af (x, y)d A f (x, y)d .
D D
2. Двойной интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме двойных интегралов от слагаемых функций. Например, для двух функций
f (x, y) (x, y) d f (x, y)d (x, y)d .
|
D |
|
D |
D |
3. Если f x, y x, y всюду в области D, |
то |
|||
|
|
f x, y d x, y d . |
||
|
|
D |
D |
|
4. Если m, |
M |
– соответственно наименьшее и наибольшее значения |
||
функции f x, y |
в области D, |
то |
|
|
|
|
mS f x, y d MS, |
||
|
|
|
D |
|
где S – площадь области D. |
|
|
||
5. Если f x, y |
непрерывна всюду в области D и на её границе, то в обла- |
|||
сти D найдётся по крайней мере одна точка |
M , , для |
которой справедлива формула
239
5354.ru
f x, y d f , S.
|
D |
|
6. Если область D разбита на две части D1 |
и D2 , то |
|
f x, y d f x, y d f x, y d . |
||
D |
D1 |
D2 |
Для тройного интеграла свойства формулируются так же, только в свойствах 4 и 5 площадь S области D нужно заменить на объём области V . Эти свойства доказываются так же, как соответствующие свойства определённого интеграла с учётом определения двойного интеграла.
§ 7. Вычисление двойного интеграла
Пусть в области D на плоскости Oxy задана функция f (x, y) которая принимает положитель-ные значения всюду в области D (рис. 132).
Рис. 132
Тогда двойной интеграл от этой функции по области D, как мы знаем, ра-
вен объёму цилиндрического тела, ограниченного снизу областью D, |
а свер- |
|
ху – поверхностью с уравнением z f x, y : |
|
|
f x, y d f x, y dxdy V . |
(8) |
|
D |
D |
|
Пусть область D лежит между прямыми x a и x b, параллельными оси Oy и имеющими общие точки с границей области D (это означает, что цилиндрическое тело лежит между плоскостями, перпендикулярными к оси Ox
240
5354.ru