SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

x1 x10 2 x2 x20 2 xn xn0 2 .

Для предела функции многих переменных справедливы все теоремы, доказанные для предела функции одной переменной. Они формулируются и доказываются аналогично.

§ 5. Непрерывность, точки и линии разрыва функций

Для непрерывных функций многих переменных справедливы теоремы о непрерывности алгебраической суммы, произведения, частного непрерывных функций, а также теорема о непрерывности сложной функции, составленной из непрерывных функций, доказанные ранее для функций одной переменной. Эти теоремы формулируются и доказываются аналогично случаю функций одной переменной. Условие (4) для функций двух переменных, например, можно записать, выделив аргументы следующим образом:

(5), затем предел перенесём влево и разность пределов в левой части запишем

Здесь выражение в квадратных скобках есть полное приращение z функции

полное приращение z этой функции в точке P0 , соответствующее приращениям стремится к нулю, когда и одновременно. Это утверждение справедливо и для функций трёх и большего числа переменных. Его можно принять за второе определение непрерывности функции в точке.

Точка P0 называется точкой разрыва функции U f P многих перемен-

ных, если в этой точке нарушается хотя бы одно из трёх вышеуказанных условий непрерывности. Так, для функции двух переменных z f x, y таких

точек разрыва может быть несколько и даже бесконечное множество. В частности, такие точки разрыва на плоскости Oxy могут образовать даже линии.

Эти линии называются линиями разрыва функции двух переменных z f x, y

(для функции трёх переменных U f x, y, z в пространстве Oxyz точки разрыва могут образовывать поверхности разрыва). Например, для функции двух

ция z не определена. Нарушается первое условие в определении непрерывности функции.

§ 6. Свойства функций, непрерывных в конечной (ограниченной) замкнутой области

Функция U f P называется непрерывной в области, если она непре-

рывна в каждой точке этой области. Функция называется непрерывной в замкнутой области, если она непрерывна во всех точках области, включая точки границы области (см. § 1).

Приведем без доказательства следующее утверждение.

Теорема 1. Если функция непрерывна в замкнутой конечной (ограниченной) области, то:

по крайней мере в одной точке P1 области она принимает своё

тром в начале координат. Граница круга входит в область определения. График этой функции – верхняя часть сферы радиуса r 1 с центром в начале координат.

Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точке 0 0, 0 . В самом деле, как видно из

формулы (6), во всех остальных точках значения функции будут меньше 1, так как 1 x2 y2 1. Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает в точках границы области определения – на

окружности с уравнением x2 y2 1. Любое значение Рис. 92 , 0 1, эта функция принимает в точках x, y ,

для которых z в формуле (6) равно , т. е. 1 x2 y2 или x2 y2 1 2 . Эти точки образуют окружность с центром в начале координат 0, 0 и радиусом r 1 2 (рис. 92).

§ 7. Частные производные

Дана функция z f x, y . Частной производной по x этой функции называется её производная по x, вычисленная в предположении, что y const. Эта

функцию z f x, y одного аргумента x. Указанную производную определим известным способом – для данного приращения x возьмем приращение рас-

163

5354.ru

Частной производной по y функции z f x, y называется её производная по y, вычисленная в предположении, что x остается постоянной. Эта произ-

только x1 , а все остальные аргументы остаются постоянными. Тогда мы можем вычислить частную производную по x1 этой функции

Пример. Найти частные производные функции z xy .

Частная ее производная по x вычисляется в предположении, что y const. Тогда получим степенную функцию вида xn , поэтому zx yx y 1. Частная производная по y этой функции берётся при x const, т. е. мы получим показательную функцию вида ay , следовательно, zy x y ln x.

§ 8. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных

точке P1 равно P1M1 – расстоянию от точки P1 до точки M1 поверхности. Разность этих значений f x, y y f x, y y z есть частное приращение функции z f x, y в точке P x, y , соответствующее приращению y. Это значение равно расстоянию KM1.

Пусть – угол, образованный секущей MM1 линии ly с прямой PP1 или с осью Oy, так как последняя параллельна прямой PP1. Из рис. 93 видно, что

вим последнее выражение в правую часть (11) и учтём, что левая часть (11), согласно (8), равна zy , следовательно,

Итак, частная производная по y от функции z f x, y равна тангенсу угла , образованного с осью Oy касательной к линии ly в её точке M . Анало-

гично устанавливается геометрический смысл частной производной по x функции z f x, y .

165

5354.ru

§ 9. Полный дифференциал

Для первой разности в правой части (13) (для фиксированного y y ) запишем аналогично

f x x, y y f x, y y f x, y y x.

x

При этом, так как частные производные в правой части формулы (15) непре-

166

5354.ru

Из теории пределов известно, что функцию можно представить в виде суммы её предела и бесконечно малой функции, поэтому

одновременно. Но произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции есть бесконечно малая функция, следовательно, ( x / r) 1 – беско-

конечно малая функция при x 0 и y 0 одновременно. Таким образом, сумма 1 x 2 y есть бесконечно малая функция более высокого порядка,

чем r , при r 0 (образно говоря, эта сумма стремится к нулю «быстрее», чем r ).

Функция z f (x, y) называется дифференцируемой в точке x, y , если

для ее полного приращения справедлива формула (16), в которой сумма есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем r.

При этом сумма первых двух слагаемых в правой части (16) называется пол-

В силу последнего обозначения соотношение (16) примет вид

167

5354.ru

f y' x, y 0 и dx x. Совершенно аналогично, взяв z f x, y y , получим, что dy y. Иначе говоря, приращения независимых переменных равны их полным дифференциалам, и в формуле (17) можно взять dx вместо x и dy вместо y. Из равенства (16) следует, что если функция f (x, y) имеет непрерывные частные производные в данной точке, то она дифференцируема в этой точке и имеет полный дифференциал (17).

Рассмотрим функцию U f x1, x2 , ..., xn n переменных. Ее полное приращение

U f x1 x1, x2 x2 , ..., xn xn f x1 , x2 , ..., xn .

Полный дифференциал этой функции определяется формулой, аналогичной

(17):

пространства. Тогда, поступая так же, как и в случае функции двух перемен-

r ( x1 )2 ( x2 )2 ( xn )2 .

§10. Применение полного дифференциала функции

вприближённых вычислениях

Для полного приращения функции z f x, y мы получили формулу (18), в которой 1 x 2 y есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем r когда r 0. Это означает, что при малых значениях x, y сум-

т. е. при малых x, y полное приращение функции z приближённо можно заменить полным дифференциалом dz этой функции. Это свойство используется в приближённых вычислениях. В формулу (19) подставим выражение (12) для z и выражение (17) для dz и получим

x x y y xy y xy 1 x xy ln x y.

Пример. Необходимо вычислить приближенно величину (1.01)1.02 . Поло-

§ 11. Производная сложной функции

Дана функция

в которой аргументы U, V в свою очередь являются функциями переменных

x, y, т. е.

U x, y , V x, y . (21)

Это означает, что в конечном счёте z является функцией переменных x, y :

(22), а имея лишь исходные функции (20) и (21). Будем считать, что функции (20), (21) имеют непрерывные частные производные по всем своим аргумен-

xU x x, y x, y , xV x x, y x, y . (23)

169

5354.ru

полное приращение z этой функции, которое мы можем записать по формуле, аналогичной (16), в силу непрерывности частных производных от функ-

ношении (25) к пределу при x 0. Предел правой части будет равен сумме пределов слагаемых, каждый из последних пределов равен произведению пределов сомножителей. Кроме того,

Формулы (26) позволяют вычислить производные сложной функции z, зависящей от x, y, когда эта функция задаётся формулами (20), (21).

Пример 1. Дана сложная функция z eU sinV , где U x y, V x2 y2 . По формулам (26) имеем

170

5354.ru